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Licence Sciences et Technologies
PHYSIQUE ET CHIMIE,
parcours
Sciences Physiques
L1-S2
Électromagnétisme
Dominique Bolmont
ELECTROMAGNETISME
1
•From the Greek “elektra” meaning
amber
A - ELECTROSTATIQUE
2
A-I Les charges électriques
A-I.1 Propriétés des charges électriques
Les charges électriques :
Sont portées par des particules matérielles : électrons,
protons pour les plus courantes
Sont indestructibles (algébriquement)
Sont de deux signes: positif (proton) et négatif
(électron)
L’unité de charge électrique est le Coulomb
La plus petite quantité d’électricité est ± e, - e étant la
charge de l’électron : e = 1,602 10-19 Coulomb
Toute quantité d’électricité Q est un multiple de ± e
Q   ne
n entier
Les quarks, éléments à partir desquels sont fabriquées
les particules élémentaires, peuvent avoir des charges
fractionnaires de e, mais comme ils n’existent pas à l’état
isolé, ils ne peuvent intervenir dans les lois de l’électricité
avec de telles charges
(quark up: q = 2/3e ; quark down:q = -1/3e)
Proton
Neutron
3
A-I.2 Triboélectricité
Historiquement première mise en évidence de l’électrisation des corps par frottement
Matériaux donnant des charges positives :
Mains humaines, Amiante, Peau de Lapin, Verre, Mica, Papier, Cheveux
humains, Nylon, Laine, Fourrure, Plomb, Soie, Aluminium…
Matériaux donnant des charges négatives :
Acier, Bois, Ambre, Cire, Caoutchouc, Nickel, Cuivre, Laiton, Argent, Or,
Platine, Acétate de soufre, Rayonne, Polyester, PVC, Silicium, Téflon….
Peau de Lapin
Ébonite
Charge par contact.
Métal
Ébonite
Isolant
Il n’y a pas de
charge par
influence,
contrairement à ce qui
est souvent dit.
4
A-I.3 Phénomènes et Expériences
Électrification en cas d’orage
5
Production d’une étincelle à partir du nez
d’un jeune garçon, électriquement isolé
du sol et chargé par un bâton d’ébonite
manœuvré par l’Abbé Nollet. Avant
l’étincelle, décharge électrique, le jeune
garçon peut attirer de petits morceaux de
papier.
6
Électroscope
Non chargé
Apport
de
charges
Chargé par contact
7
A-I.4 Machines électrostatiques
Générateur italien de 1740
Générateur construit par
Francis Hauksbee 1719
8
Générateur Van de Graaff
9
A-I.5 Distributions de charges
Il est fréquent que les quantités de charges produites sur des
corps électrisés soient constituées d’un très grand nombre de
charges élémentaires. Ces charges, très proches les unes des
autres, peuvent être considérées comme des distributions qui, à
l’échelle du laboratoire, apparaîtront comme des continuums.
La charge totale du domaine
électrisé est la somme algébrique
de toutes les charges. Pour des
distributions continues il faut
procéder à des intégrations
Domaine volumique – 3D : densité de charges par unité de volume

3

Domaine surfacique – 2D :

r

r
densité de charges par unité de surface
S
S
Domaine linéique – 1D :


( r ) : Cm
-2
Élément de surface δS contenant
la charge q  ( r )S
densité de charges par unité de longueur
C
: Cm-
Élément de volume δτ contenant

la charge q  ( r )

r
O

( r )
Élément de longueur δl contenant

la charge q  ( r )

( r )
: Cm-1
10
Exercices:
Calculs de densités de charges électriques
Exemple 1:
Soit un proton de charge +e = 1,6 10-19 C et de diamètre d = 10-14 m
La densité volumique de charge électrique est donnée par, si la charge est uniformément répartie,  
Valeur numérique 3.1023 Cm-3
e
3
4 d
3 2

Exemple 2:
Un condensateur plan (voir plus loin) de capacité C = 1μF, de distance entre les armatures de d = 0,01 mm,
est chargé sous une tension V = 100 V. Nous verrons que la capacité du condensateur plan est donnée par
C  oS . On en déduit que la surface est S = 1,13 m2. La charge électrique est donnée par Q = CV = 10-4 C
d
Soit une densité de charges par unité de surface   Q/S  0,88 104 Cm2
Exemple 3:
Un fil de cuivre de diamètre 1 mm est non chargé. Combien contient-il d’électrons par unité de longueur?
Masse volumique du cuivre  = 8900 kgm-3. N° atomique du cuivre 29. Masse atomique du cuivre M=63,54
g. On en déduit une charge par unité de longueur λ = 1,9 1024 Cm-1.
11
A-II La Force de Coulomb
A-II.1 Définition

F
Propriétés de la force de Coulomb
q1 q 2
1 q1q 2 

r
3
4o r
C’est une loi au caractère fondamental, une des
quatre interactions fondamentales présentes dans la
nature. Elle doit être acceptée comme telle, étant
soumise à, et vérifiée par, l’expérience.

F
q1 q 2
Définie entre deux charges ponctuelles (de très
petites dimensions propres par rapport à la distance r
qui les sépare)
répulsive
M2

r  M1 M 2
A la direction de la droite qui joint les charges
Attractive si q1 q 2  0
Répulsive si q1 q 2  0
Varie en intensité comme l’inverse du carré de la
distance qui les joint
Directement proportionnelle à la valeur de
chacune des charges
Le facteur 1 / 4o résulte du choix des unités
1
o 
109
36
C. Coulomb
1736-1806

F
q2
q1 q 2
attractive
M1
q1
12
A-II.2 Intensité relative des forces
La force de Coulomb est incommensurablement supérieure
à la force de gravitation
(à l’échelle des particules)

F
q1 q 2
Force de gravitation entre les deux masses m et m
1
2
m m
Fg  G 1 2 2
G = 6,672 10-11 m3kg-1s-2
r
Force de coulomb entre les deux charges q et q
1
2
1 q1 q 2
Fc 
4o r 2
Rapport Force de Coulomb/Force de Gravitation
Fc
Fg

1
q1 q 2  0
M2

r  M1 M 2

F
m2
q1
m1 m2
M1
q2
m1
q1 q 2
4oG m1 m 2
Entre proton et électron
Fc
Fg
 1040
13
A-II.3 Balance de Coulomb
r
F
q2
-
q1
F
14
A-II.4 Forces entre plus de deux charges
1er Principe : La force de Coulomb qui se produit entre deux charges électriques ponctuelles est
indépendante de la présence de toute autre charge voisine ou pas.
2éme Principe (dit de superposition) : Si plusieurs charges électriques exercent leurs actions sur une
charge donnée, la force totale sur cette dernière est la somme (vectorielle) des forces de Coulomb
produites par les différentes charges prises individuellement.

F
Pour deux charges sur une troisième
q1 q 2 q3

F

F
q1 q3
q 2 q 3

F

F
q1 q3
M3
q 2 q3
q3

r13  M1 M3

r23  M 2 M3
M1
q1
M2
q2


1 q1 q3 
r
3 13
4o r13
1 q 2q 3 
r23
3
4o r23

F
q1  q 2 q3
q3  q1 
q 2  

 3 r13  3 r23 
4o  r13
r23 

Pour une distribution discrète de N charges q i , Mi

i  1, N
qui agissent sur la charge (q , M)

F
 q i q

i r
 3 i
4o i1 ri
q
Nq

ri  M i M i  1, N
15
Exercice 1:
Soit une charge ponctuelle q placée au point M(x,y,z). Une autre charge ponctuelle q’ est placée au point
 
M’(x’,y’,z’). Expression analytique de la force de q sur q’ dans la base (O;i , j ,k)



qq'
qq'
1
Fqq'  1
MM
'

4o MM' 3
4o (x'x)2(y'y)2(z'z)2





3/2 (x'x) i (y'y) j(z'z)k

qq'
Le module de la force est donné par Fqq'  1
4o (x'x)2(y'y)2(z'z)2
Exercice 2:
2
e
Force électrique entre le proton et l’électron de l’atome d’hydrogène distants de d ~ 10-10 m. F  1 2
4o d
Valeur numérique F = 23. 10-9 N
16
A-II.5 Compléments
Les compléments annoncés comme tels font appel à des notions mathématiques un peu plus évoluées
que le cœur du cour. Ils sont souvent utiles pour traiter de problèmes plus généraux leur assimilation peut
être reportée à plus tard quand le reste du cours sera bien compris.
Charge totale d’une distribution continue

Charge totale du domaine 3D

r

Q   ( r )d


r
O
Charge totale du domaine 2D
S
S

Q  S ( r )dS

r
C
Charge totale du domaine 1D


Q  C ( r )d
17
Force qu’une distribution continue de charges exerce sur une charge ponctuelle q
Pour traiter de ce problème
*on décompose la distribution en charges élémentaires quasi-ponctuelles dq’
*on utilise la force de Coulomb entre les deux charges ponctuelles q et dq’
*on effectue la sommation (intégrale) sur l’ensemble de la distribution


r'
dq'
q


r'

r
O
  


q
( r r ') 
Fq
Sommation    3dq'
4o
 r r '

dF
 
rr'

q

r
O
 

q ( r r ')
dFdq'q


3dq'
4o r r '
18
Force d’une distribution continue sur une charge ponctuelle: les trois cas
Force de la charge totale du domaine 3D sur la
charge ponctuelle q


Fq 
q


r'

r
Force de la charge totale du domaine 2D sur la
charge ponctuelle q

r'
O

r

r'
C
  
( r ' )( r  r ' )
   3 d
4o
r  r'
q
S
S
q

r

q

FSq 
  
( r ' )( r  r ' )
S   3 dS
4o
r  r'
q
Force de la charge totale du domaine 1D sur la
charge ponctuelle q

FCq 
  
 ( r ' )( r  r ' )
C   3 d
4o
r  r'
q
19
Exercices
Exercice 1:
Force d’un fil chargé très long, de section très petite, sur une charge ponctuelle voisine.

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Soit un fil rectiligne très grand portant une charge par unité de longueur λ. Une
charge q ponctuelle est placée à la distance a du fil. On cherche la force que le fil
chargé exerce sur la charge ponctuelle.
a
q
M

F?
M
dq’’
Au point M’ du fil, à la distance z du point O,
projection orthogonale de M sur le fil, on
considère une charge élémentaire dq’, portée
par l’élément du fil de longueur dz.
dq'  .dz
dz
r
z

j
O
La force électrique que cette charge élémentaire
dq’ crée sur la charge ponctuelle q est
θ

i
a
q
M

q.dq'
dF  1
M'M
4o M'M 3

En utilisant le repère (O;i , j )
 

q..dz
1
dF 
2a2) 3/2 (z ja i )
(
z
4o
20
Pour trouver la force totale il faut procéder à une intégration le long du fil qui est très grand. Une bonne
variable d’intégration est θ. Nous avons les correspondances
z  a.tg
r  (a2z2) 1/2  a
cos
Pour obtenir la quantité dz, accroissement de la variable de position z, il faut différentier l’expression z(θ)
qui donne
dz  a. d2
cos 
a.d
q
.

.
2
 

cos
Avec ces différentes transformations la force élémentaire peut s’écrire dF  1
(a.tg ja i )
a
4o (
)3
Après les simplifications d’usage 
cos


q
.

.
dF  1
(sin jcos i )d
a
4o
Il faut définir les bornes d’intégration. Comme le fil est très grand et que la charge q est près du fil il est
possible d’intégrer de /2    /2 , intégration élémentaire pour un titulaire du Bac.
/2
/2




q..
q..
q..
1
1
1
F
(sin  jcos i )d 
cos i d 
i
a
a
a
4o
4o
2o
/2
/2


Remarques:

*la force est portée par le vecteur i donc perpendiculaire au fil
*le module de la force est bien en m-2, bien qu’il n’y ait que a au dénominateur, la charge par unité de
longueur étant exprimée en C.m-1.
21
Exercice 2:
Force exercée par une plaque plane chargée uniformément sur une charge ponctuelle.
La plaque est supposée de grandes dimensions, la charge ponctuelle q est à faible distance a de la plaque.
Un petit élément dS’ de la surface chargée est considéré au point M’
à la distance ρ du point O, projection orthogonale du point M, où se
trouve la charge ponctuelle, sur le plan. Ce petit élément de surface
porte la charge élémentaire dq'  .dS'
Charge σ Cm-2
La force électrique que cette charge élémentaire dq’ crée sur la
charge ponctuelle q est
dS’ M’
ρ
O

ρ i
dS’’ M’’

q.dq'
1 q.dq'M'M
dF'  1
M
'
M

4o M'M 3
4o r 3
r
a
θ
q M
Considérons la charge élémentaire dq’’ symétrique de dq’ par rapport
au point O, donc placée en M’’ tel que
OM'  - OM' '
La force électrique que cette charge élémentaire dq’’ crée sur la
charge ponctuelle q est 
q.dq'
q.dq'
1
dF'  1
3 M' M 
3 M' M
r
4o M'M
4o
L’ensemble des deux charges élémentaires dq’ et dq’’ crée une force totale sur la charge ponctuelle




q.
dF'  dF'  1 3 dq'M'M  dq'M'M
4o r
22
Si on considère que les deux petites surfaces élémentaires dS’ et dS’’ sont égales avec dS’ = dS’’ = dS, il est
possible d’écrire la force précédente sous la forme






q..dS
1 q..dS M'O  OM M'O  OM  1 q..2dSOM
dF'  dF'  1
M
'
M

M
'
M

4o r 3
4o r 3
4o r 3
Si la plaque est supposée de très grandes dimensions, à toute surface élémentaire dS’ il sera possible de
trouver la surface symétrique dS’’. Il en résulte donc que la force totale de la plaque chargée sur la charge
ponctuelle est dirigée suivant OM , donc perpendiculaire à la plaque.
dS’
dρ
M’
ρ
O

i
Tous les éléments de la couronne circulaire définie par la surface
élémentaire dS’ en tournant autour de O à distance constante ρ
contribuent par couple à la force totale suivant l’expression ci-dessus. Il
est donc possible de remplacer la quantité 2.dS par la surface totale de la
couronne donnée par d  2.d
r
a
θ

q..2.d 
1
dF 
ai
3
r
4o
q M
a
En effectuant les changements de variables à l’aide de l’angle θ nous avons   a.tg r  cos

d  a. d2
cos 
a.d
q
.

.
a
.
tg

.


cos2  1
1
dF 
ai 
q..sin .d i
3
2o
2o
a
cos
 
Pour décrire l’ensemble de la plaque de grandes dimensions vue à faible distance il faut prendre en compte
23
l’ensemble des éléments annulaires depuis le point O (θ = 0) jusqu’à une valeur qui peut être θ = π/2
L’intégration donne immédiatement
Remarques:
/2



1
1
F
q. sin .di  q. i
2o
o
0

*la force est bien perpendiculaire au plan
*la force ne dépend pas de la distance au plan
*la force est bien en m-2, puisque σ est en C.m-2.
Exercice 3:
Force exercée par une sphère uniformément chargée en volume sur une charge ponctuelle q extérieure à la
sphère.
Avant de traiter de ce problème, cherchons la force créée par une
sphère uniformément chargée en surface par σ Cm-2 sur une
charge ponctuelle placée à l’extérieur .
R
Pour répondre à cette question, cherchons la force créée par un
fil très fin, formant un cercle, et chargé uniformément par λ Cm1, sur une charge ponctuelle placée sur son axe. Soit Q la charge
totale du fil.
O
q
M
Charge uniforme ρ Cm-3
24
Sur le cercle en question, deux points symétriques M’ et M’’
portant des charges égales dQ’ = dQ’’ = dQ donnent une force
totale sur la charge ponctuelle q de l’axe
M’
dQ’

d
O’
b
M’’
dQ’’
c



q.dQ
dF'  dF'  1
3 M'M  M' M 
d
4o
M


q.dQ
1 q.2dQO'M
 1
M
'
O
'

O
'
M

M
'
O
'

O
'
M

4o d 3
4o d 3
q
Pour trouver la force totale il suffit de procéder à la sommation sur
toutes les charges dQ du fil, les autres paramètres étant constants.

F
r
c
d
O
O’
b
q
M
1 q.QO'M
4o d 3
Revenons à la force créée par une sphère de rayon r chargée en
surface. On découpe la surface de la sphère en fils circulaires
comme ceux utilisés ci-dessus. Pour trouver la force totale créée
par la surface sphérique il faut faire la somme sur tous les fils
circulaires. Sur le dessin qui suit sont représentés en coupe les
paramètres en question dans ce découpage.
Charge uniforme σ Cm-2
25
d
dθ
c
θ
O
q

i
O’
b
r
M
a
Charge uniforme σ Cm-2
En utilisant la variable θ les paramètres suivants peuvent s’écrire


O'M  b i  (a - r.cos) i
d2  a2  r2 -2a.r.cos
c  r.sin
dS  2c.r.d  2r2sin.d
dS étant la surface découpée par le fil sur la sphère. La force élémentaire créée par le fil circulaire pris sur la
surface est
2

dF 

q..2r sin .d
1
2  r2 -2a.r.cos) 3/2 (a - r.cos) i
(a
4o
26
La force est donnée par l’expression

 q.r2 
sin

F
2  r2 -2a.r.cos) 3/2 (a - r.cos)d i
(a
2o 0

Bien que l’expression puisse apparaître comme compliquée, le calcul de l’intégrale ne pose pas de problème
si on pose comme variable d’intégration u  a2  r2 -2a.r.cos avec du  2a.r.sin.d et
a2  r2u
cos 
2a.r
Il reste à trouver des primitives de u-1/2 et u-3/2. Après quelques calculs on trouve

F
q.Q 
i
4oa2
Q étant la charge totale portée par la sphère sur sa surface. Ce résultat est remarquable à plus d’un titre, tout
ce passe comme si la charge de la sphère était concentrée en son centre, à la distance a de la charge
ponctuelle. Ce résultat est général pour les distributions à symétrie sphérique, nous reviendrons sur ce
résultat par une méthode d’obtention plus directe.
Reste à calculer la force due à la sphère chargée en volume de manière uniforme. Si on décompose cette
sphère comme une succession de surfaces sphériques concentriques, d’épaisseurs infinitésimales, comme un
oignon, de rayons compris entre 0 et R. Chaque surface sphérique donne une contribution du type de celle
qui vient d’être calculée et qui se somment toutes sans difficulté. Il vient pour la force totale de la sphère
chargée en volume avec une charge que nous noterons aussi Q

F
q.Q 
i
2
4oa
Nous traiterons plus tard le cas où la charge ponctuelle est placée à l’intérieur de la sphère chargée.
27
A-II.6 Exercices à faire
N°1- Action de deux charges ponctuelles sur
une troisième
En A et B charges q > 0 , OA = OB = a fixe
En M charge q > 0 , OM = x
q
A
O
q
q
M
B
1- Donner l’expression de la force F(x) de A+B sur M
2- Tracer F(x) pour toutes valeurs de x.
3- Donner une expression linéarisée de F(x) pour
0<|x|<<a
N°2- Action de quatre charges ponctuelles
sur une cinquième
y
q
q
B
A

j
q
O
M
x

i
q
q
D
C
En A,B,C,D sur un carré, centré en O, de côtés 2a
parallèles aux axes, quatre charges q > 0 , fixes.

En M, dans le même plan, charge q > 0 , OM  r M(x,y)

1- Donner l’expression de la force F( x, y) du carré sur M
 
2- Donner une expression linéarisée de F( r ) pour r <<a.

On cherchera à écrire F( r )  kr
k étant une
constante à déterminer
28
A-III Le Champ Électrique
A-III.1 Définition - Propriétés
Les notions de champ ont été introduites dans les classes du Lycée. Le plus
commun est celui de champ de pesanteur créé au voisinage d’un astre.
Par analogie une charge électrique q placée en un point M’ de l’espace va créer
ce que l’on appelle un champ électrique en tout autre point M de l’espace.
La valeur de ce champ électrique peut être rattachée rigoureusement à la force
de Coulomb de la manière suivante.

Fqq '
M

r  M' M
M'
q
q'
La force de Coulomb que la
charge q exerce sur q’ est

1 qq' 
Fqq ' 
r
3
4o r

Le champ électrique E créé
par la charge q en M est
défini de la manière suivante


Fqq '

1 qr
E qM  lim

4o r 3
q '0 q '

E q M

r  M' M
M
M'
q
29
Une telle définition du champ électrique conduit à la relation


FE q  qE
valable pour la force exercée sur une charge ponctuelle q

placée là où existe un champ électrique E la source du

champ E n’étant pas précisée.
M
q
Propriétés du champ électrique

E q M
C’est une grandeur physique vectorielle, créée par des charges
électriques, et attachée à un point de l’espace. On dit que le champ
électrique modifie les propriétés de l’espace. Il serait plus rigoureux
de dire que le champ électrique représente les modifications des
propriétés de l’espace induites par les charges électriques.
Défini pour une charge ponctuelle (de très petites dimensions
propres par rapport à la distance r d’observation)
M
q0
A la direction de la droite qui joint la charge au point considéré
M

E q M
A un sens donné par le signe de q
Varie en intensité comme l’inverse du carré de la distance à la
charge

E

FE q
q0
Intensité directement proportionnelle à la valeur de la charge
L’unité est en : Volt/mètre
;
Vm-1
30
Les lignes de champ
Ce sont les courbes mathématiques qui en chaque point de
l’espace sont tangentes au vecteur champ électrique.
Propriétés des lignes de champ

E

E

E

E
Elles ont localement l’orientation du champ
Elles ne peuvent se croiser, condition pour que le champ
soit défini univoque partout
En général elles ont le même sens sur toute leur longueur.
Si elles changent de sens cela ce produit en des points
particuliers : sur des domaines chargés, ou là où le champ
s’annule.
Quelques exemples de spectres
31
A-III.2 Champ créé par un ensemble de charges
Distribution discrète de charges
La définition retenue plus haut nous permet de
passer directement des forces entre charges au
champ créé par plusieurs charges
Pour deux charges

E

E
q1 q 2 M

E

E
q 2 M

E
q1 M
M
q1 M
q 2 M
1 q1 

r
3 1
4o r1

E
1 q2 

r
3 2
4o r2

r1  M1 M
q1  q 2 M
1  q1  q 2  

 3 r1  3 r2 
4o  r1
r2 

Pour une distribution discrète de N charges q i , Mi

r2  M 2M

i  1, N
M1
q1

E
 q i M

i r
i
4o i1 ri3
1
Nq


ri  M i M i  1, N
M2
q2
32
A-III.2 Flux du champ Électrique – Théorème de Gauss

E
Définition du flux d’un vecteur à travers une surface
Flux élémentaire
Soit un élément de surface, très petit disque, orienté
par un vecteur S qui lui est perpendiculaire, dans
un sens choisi, et dont l’aire est donnée par la norme
S

S
S  S

Le flux élémentaire du vecteur E au travers la
surface S est donné par


  E.S  E S cos 
C’est une grandeur algébrique positive ou négative

suivant l’orientation de E par rapport à S .
S

E
Flux à travers une surface finie
Pour une surface finie S, la définition du flux du

champ de vecteur E qui la traverse n’échappe pas
à une formulation intégrale, avec laquelle il faudra
se familiariser, mais que l’on se rassure, les calculs
mis en œuvre à ce niveau du cours seront toujours
simples, de par la haute symétrie des surfaces
utilisées.
S

 E S  S E.dS
33
S
Flux élémentaire issu d’une charge ponctuelle
Soit en O une charge ponctuelle q (prise
positive pour les besoins
du dessin). Elle crée

en M un champ E . On place en M une
surface élémentaire S . Il est possible de
calculer explicitement le flux élémentaire 

du champ E au travers de cette surface S .

E q M
M

r  OM
S' ' '
O
q0
S"


q r .S
  E.S 
4o r 3
La quantité purement géométrique
 
S

r .S
r3
s’est vue honorée d’une attention très particulière en
théorie physique, l’une des grandeurs bêtes noires
des étudiants en sciences. Cette quantité sans
dimension, comme celle jouée par les angles en
géométrie plane, s’appelle : l’angle solide sous
lequel du point O est vue la surface S placée en
M, tel que r  OM
r 1
S'
Sphère de rayon unité
O
Cône s’appuyant sur différentes surfaces
élémentaires définissant le même angle
solide en valeur absolue. Parmi ces
différentes surfaces celle S correspondant
à la sphère de rayon unité centrée en O
donne directement
  S
34
S
Propriétés de l’angle solide
C’est une grandeur sans dimension
Mais qui a une unité : le stéradian
C’est une grandeur algébrique, donc positive ou
négative, au même titre que le flux.
OS  S
Pour estimer l’angle solide sous lequel d’un point
O est vue une surface finie S il faut procéder à un
calcul d’intégration.
Deux cas particuliers importants
Surface fermée S vue d’un point intérieur O.
L’angle solide est donné par la surface de la
sphère de rayon unité centrée en O, soit

Oint Sfermée
S
Oext Sfermée
0
S 

Surface fermée
O
Sphère de centre
O de rayon unité
Point intérieur
Surface fermée S vue d’un point O extérieur.
Pour tout angle solide élémentaire 

r3
O
 4
les surfaces découpées sur S entrante Se et
sortante Ss donnent des angles solides égaux
en module mais de signes contraires, soit au
total zéro. Pour l’ensemble de la surface fermée

r .dS
Ss

O
Se
S
Surface fermée
35
Calculs d’angles solides
1- Angle solide sous lequel est vu un disque depuis un point de sont axe
Soit un disque de rayon R de centre O vu depuis un point M de
son axe, OM = a, sous un demi-angle au sommet θ.
O
a
R
Calculer l’angle solide Ω sous lequel le disque est vu du point M.
M
θ
2- Angle solide sous lequel est vu le demi-espace
De l’exemple précédent déduire l’angle solide sous lequel est vu le demi-espace.
3- Angle solide sous laquelle est vue une plaque carrée depuis un point de son axe
Soit une plaque carrée de côté 2c, de centre O, vue d’un point M de
son axe à la distance a de O.
2c
O
2c
a
Calculer l’angle solide Ω sous laquelle la plaque est vue du point M.
M
En déduire l’angle solide sous lequel est vu le demi-espace.
36
S
Théorème de Gauss
Flux du champ électrique créé par des charges.
Nous avons vu que le flux élémentaire pouvait s’écrire
grâce à l’angle solide

  E.S 
q
4o

Pour une surface fermée S deux cas se présentent
M

E q M

r  OM
O
q0
La charge est placée à l’intérieur de S. L’angle
solide sous lequel la surface est vue est 4π. Il en
résulte que le flux est
q


qint S 
o
La charge est placée à l’extérieur de S. L’angle
solide sous lequel la surface est vue est nul. Il en
résulte que le flux est

0
q ext S
S
q
S
Surface fermée
Surface fermée
q
Charge intérieure
Charge extérieure
37
Théorème de Gauss (suite)
Généralisation à une distribution quelconque de
charges, discrète comme continue
Les deux cas précédemment cités nous permettent
de présenter les deux volets du théorème de Gauss
q 3ext
q ext
2
S
q int
2
Pour les charges placées à l’intérieur de S. L’angle
solide sous lequel la surface est vue est 4π pour
chaque charge. Il en résulte que le flux total du au
champ créé par toutes les charges intérieures est

Qint S

Qint
o
Q int étant la charge totale intérieure à S
Pour les charges placées à l’extérieur de S.
L’angle solide sous lequel la surface est vue est nul
pour chaque charge. Il en résulte que le flux total dû
au champ créé par toutes les charges extérieures est

Qext S
0
q1ext
q iext
q int
3
q1int
q int
i
q int
j
q int
N
q ext
j
q ext
N
Remarque sur l’application du Théorème de Gauss
Comme méthode pour déterminer le champ
électrique, le théorème de Gauss ne s’applique
qu’aux systèmes à haute symétrie : sphérique,
cylindrique, plane.
38
Tubes de flux
Lignes de champ
Cette notion nous sera très utile pour l’étude des
systèmes de conducteurs à l’équilibre.
Un tube de flux est une sorte de tube à section en
général variable dont la surface latérale est constituée
par des lignes de champ et qui ne renferme pas de
charge en son intérieur.

E
Il en résulte
  0
SA

SB
SA

E
SA
Sections du tube de flux
Soit une surface de Gauss formée par les deux
sections du tube de flux S A et S B et la surface
latérale du tube compris entre ces deux sections.
Sans charge dans le volume ainsi défini le flux à
travers cette surface de Gauss est nul. Comme le
champ est tangent à la surface latérale il y induit un
flux nul.
SB
Dessins en coupe

E
SA
 

n

E

n
SB
SB
Comme les normales sur les deux bases sont opposées
on en déduit la conservation du flux le long du tube.

E
S  S'
Pour toutes sections S, S’, ……
Le flux le long d’un tube de flux se conserve.
S

n

n'
S'

E
39
A-III.3 Compléments
a- Champ d’une distribution continue de charges
M


r'
O
 
E( r ) 
  
( r ' )( r  r ' )
   3 d
4o
r  r'
1
Le champ de la charge totale du domaine 2D
est donné au point M par

r'
 
E( r ) 
S
S
M

r'
C
Le champ de la charge totale du domaine 3D
est donné au point M par


r

r
Les calculs du champ électrique en un point M sont
valables que le point M soit situé hors ou dans le
domaine de la distribution de charges (résultat admis, il
n’est pas interdit de réfléchir sur sa démonstration)

r

  
( r ' )( r  r ' )
S   3 dS
4o
r  r'
1
Le champ de la charge totale du domaine 1D
est donné au point M par
M
 
E( r ) 
  
( r ' )( r  r ' )
C   3 d
4o
r  r'
1
40
b- Formulation générale du théorème de Gauss

1
S E.dS   d
o
Surface de Gauss
fermée limitant le
volume τ
S
c- Théorème d’Ostrogradski

S
Soit un volume τ limité par une surface S (donc fermée).

Soit un champ de vecteur A défini, de même que ses dérivées en
chaque point de l’espace.
On a la relation


S A.dS   divAd
Nous avons utilisé l’opérateur divergence div( ) qui
appliqué à un vecteur écrit en coordonnées cartésiennes



 
A( r )  A x ( x, y, z) i  A y ( x, y, z) j  A z ( x, y, z)k
donne
 A x A y A z
divA 


x
y
z
41
d- Relation locale issue du théorème de Gauss
A partir de la relation globale du théorème de Gauss
l’utilisation de la relation d’Ostrogradski donne

1
S E.dS   d
o

1
 divEd    d
o
Comme le volume τ peut être quelconque, le passage
à la limite   0 donne une relation locale au point
M entre les propriétés de divergence du champ
électrique et la densité volumique de charges.

(M)
divE(M) 
o
Cette dernière relation est une des quatre relations de
l’électromagnétisme (voir cours L2-S2)
En particulier là où la densité de charges est nulle le
champ électrique répond à la relation

divE(M )  0
42
e- Relation locale issue du théorème de Gauss (suite)
Le champ électrostatique a une autre propriété que l’on peut taxer de fondamentale, puisqu’elle se
retrouve sous forme réduite dans une des quatre équations de l’électromagnétisme (voir cours L2-S2).
Nous en donnons ici une présentation à titre d’exercice d’analyse vectorielle. Elle ne fait pas partie du
corpus de notions à acquérir dès la première année universitaire.



 
Soit un vecteur écrit en coordonnées cartésiennes E( r )  E x ( x, y, z) i  E y ( x, y, z) j  E z ( x, y, z)k


Considérons un nouvel opérateur vectoriel agissant sur ce vecteur noté rotationnel(E)  rotE
défini de la manière suivante

E q M

r  M' M
  E z E y    E x E z    E y E x  
i  
k
 j  
rotE  




 y
z   z
x   x
y 



1 qr
Pour le champ créé par une charge ponctuelle E qM 
4o r 3

Le calcul de rotE donne
 1 qr 
 r  
q

rot
rot 3   0
3
 4 r  4
r 
o
o


 
M
 
rotE  0
M'
q
Calculons la première composante à titre d’exercice
 
E z E y
q  
z



y
z
4o  y  x 2  y 2  z 2
 


3/2


  
y

 z  2

 x  y2  z2




3/2


q


4o



 3zy

 x 2  y2  z2



5/2

x
 3yz
2
 y2  z2


0
5/2 

43
A-III.4 Méthodes de calcul du Champ Électrique
On peut distinguer trois méthodes
Plan
Calcul direct à partir de la définition (ici à 3D)
 
E( r ) 
  
( r ' )( r  r ' )
   3 d
4o
r  r'
1
Calcul à partir du théorème de Gauss

1
S E.dS   d
o
z
R
Cylindre
L
Sphère
Calcul à partir du potentiel électrique scalaire
(voir plus loin)
44
A-III.5 Exercices à faire
N°1- Champ créé par un fil rectiligne

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Soit un fil rectiligne très très grand, de section
négligeable, portant une charge par unité de longueur λ
constante.
1- Calculer par une méthode directe le champ électrique
en un point M à la distance a du fil.

E?
a
2- Retrouver ce résultat en appliquant le théorème de
Gauss.
M
N°2- Champ créé par un disque chargé
 + ++ +
++++
+++++
a
M
+++++
R
++++
+++
+
Soit un disque de rayon R portant une charge par
unité de surface σ uniforme

E?
1- Calculer par une méthode directe le champ
électrique en un point M de l’axe du disque à la
distance a de son centre.
2- Étudier et tracer E(a).
3- Réfléchir sur la valeur du champ au centre du
disque correspondant à a = 0
45
N°3- Champ créé sur son axe par une plaque carrée uniformément chargée
2c
Soit une plaque carrée de côté 2c, de centre O, portant une charge
électrique  par unité de surface.

O
a
2c
Calculer le champ électrique créé en un point M de l’axe à la
distance a = OM.
M
On pourra utiliser le résultat de l’exemple 3 du calcul d’angles
solides proposé plus haut, en ayant avant remarqué que certaines
intégrales disparaissent pour des questions de parité.
Le passage de M en O doit redonner le résultat de l’exercice
précédent avec le disque chargé.
N°4- Champ créé par une sphère chargée en volume
Soit une sphère de rayon R portant une charge
uniformément répartie dans tout son volume avec une
densité ρ constante.

E?
O
R
M
1- Calculer par une méthode directe le champ
électrique en un point M à la distance r du centre O
de la sphère avec OM = r.
2- Étudier et tracer E(r) pour r variant de 0 à 
3- Retrouver l’expression du champ en utilisant le
théorème de Gauss.
46