x - E-monsite

CHAPITRE 8
Equations, Inégalités
Objectifs:
- Reconnaître si un nombre donné est solution d’une
équation ou non.
- Résoudre une équation du premier degré à
une inconnue.
- Résoudre des problèmes conduisant à une équation
du premier degré à une inconnue.
- Comparer des nombres.
Comment en est-on arrivé là ?
Aujourd’hui
René
Descartes
François Viète
Vers 1640
4x ²+ 3x – 10 = 0
4xx + 3x
10
Vers 1600
4 in A quad + 3 in A aequatur 10
Simon Stevin
Fin XVIe
4 2 + 3 1 egales 10 0
Tartaglia
Nicolas
Chuquet
Début XVIe
4q p 3R equale 10N
Fin XVe
4² p 3¹ egault 10º
Fin XVe
Quattro qdrat che gioto agli tre nº
facia 10
(traduit par 4 carrés joints à 3
nombres font 10)
Luca Pacioli
Diophante
IIIe
Babyloniens et
Egyptiens
IIe millénaire
avant J.C.
Δʸδ ζγ εστι ι
(traduit par inconnue carré 4 et
inconnue 3 est 10)
Problèmes se ramenant à ce genre
d’équation.
I. Notion d’équation
1) Vocabulaire
Inconnue
Equation
c’est une lettre qui cache un nombre cherché →
x
c’est une opération « à trous » dont « les trous »
sont remplacés par une inconnue →
Résoudre une équation
10x  2  2x  3
c’est chercher et trouver le nombre
caché sous l’inconnue.
Solution
c’est le nombre caché sous l’inconnue →
x  0,625
Vérification :
10 x 0,625 - 2 = 2 x 0,625 + 3
donc 0,625 est solution.
Exemple :
Vérifier si 10 et 14 sont solutions de l’équation
4( x  2)  3x  6
On a
4 x (10 - 2) = 32
et
3 x 10 + 6 = 36
Non, 10 n’est pas solution de l’équation car 32 ≠ 36 !
On a
4 x (14 - 2) = 48
et
3 x 14 + 6 = 48
Oui, 14 est solution de l’équation car on trouve 48
des deux côtés de l’équation en remplaçant x par 14 !
2) Problème conduisant à une équation
Une carte d’abonnement pour le cinéma coûte 10€.
Avec cette carte, le prix d’une entrée est de 4€.
1) Calculer le prix à payer pour 2, 3, puis 10 entrées.
pour 2 entrées : 10 + 2 x 4 = 18 €
pour 3 entrées : 10 + 3 x 4 = 22 €
pour 10 entrées : 10 + 10 x 4 = 50 €
2) Soit x le nombre d’entrées.
Exprimer en fonction de x le prix à payer (en comptant l’abonnement).
On a
10 + x x 4
soit encore
4x + 10
3) Ecrire l’équation qui permet de trouver le nombre d’entrées
quand on dispose d’une somme de 70 €.
On a
4x + 10 = 70
Prix à payer en fonction de x
Pour une somme de 70€
II. Résolutions d’équations
1) Les deux règles de résolution
Pour résoudre une équation, on peut appliquer les deux
règles suivantes :
Règle n°1 : On ne change pas les solutions d’une
équation en ajoutant ou en retranchant un même
nombre aux deux membres d’une équation.
Exemple:
On a
5
5
+2
4
+
2
= 1
+ 4
-1
= 1
+ 4
-1
On enlève « une noire » à
+ 2 membre
= 4 de l’équation.
chaque
Règle n°2 : On ne change pas les solutions d’une
équation en multipliant ou en divisant ses deux
membres par un même nombre non nul.
Exemple:
On a
= 400 grammes
÷2
= 400 grammes
On divise par 2 chaque
membre de l’équation.
= 200 grammes
÷ 2
2) Quatre exemples
Résoudre les équations suivantes :
12 x  4  9
12 x  4  4  9  4
Le but est de réunir la « famille des x »
dans le membre de gauche et la « famille
des nombres » dans le membre de droite.
On élimine +4 à gauche en ajoutant
dans chaque membre -4 (Règle n°1 )
12 x  13
12 x
13

12
12
On élimine 12 (qui est multiplié à x) à
gauche en divisant chaque membre par
12 (Règle n°2 )
13
x
12
La solution de cette équation est x  
13
12
Le but est de réunir la « famille des x »
dans le membre de gauche et la « famille
des nombres » dans le membre de droite.
4 x  13  5x  1
4 x  13  13  5x  1  13
On élimine -13 à gauche en ajoutant
dans chaque membre +13 (Règle n°1 )
4 x  5x  14
4 x  5x  5x  14  5x
On élimine -5x à droite en ajoutant
dans chaque membre +5x (Règle n°1 )
9 x  14
9 x 14

9
9
14
x
9
On élimine 9 (qui est multiplié à x) à gauche en
divisant chaque membre par 9
(Règle n°2 )
La solution de cette équation est x 
14
9
4x  2  5  x  63  x 
4 x  8  5  x  18  6 x
4 x  13  5x  18
On va d’abord développer et réduire
chaque membre de l’équation avant de
passer à la résolution.
On peut maintenant passer à la résolution
comme pour l’exemple n°2.
4 x  13  13  5x  18  13
4 x  5x  5
4 x  5x  5x  5  5x
9 x  5
9x
5

9
9
5
x
9
La solution de cette équation est x  
5
9
x 2x1 1x7
 
14 2x7 2x7
On va d’abord réduire chaque membre
de l’équation au même dénominateur, ici 14.
x
2
7


14 14 14
x2 7

14
14
On peut supprimer maintenant les
dénominateurs qui sont égaux (Règle n°2 )
x2  7
On peut maintenant passer à la résolution
comme pour l’exemple n°1.
x22  72
x9
La solution de cette équation est
x9
III. Ordre et inégalités
1) Vocabulaire et notation
x<4
signifie que
x est strictement inférieur à 4
x > 5 signifie que
x est strictement supérieur à 5
a ≤ 3 signifie que
a est
inférieur ou égal
a ≥ b signifie que
a est
supérieur ou égal
à3
àb
2) Signe d’une différence
Si
Si
a–b<0
a–b>0
alors a < b
alors a > b
Remarque : Les réciproques sont également vraies.
Exemple : Avec la calculatrice on trouve que
28412 9470

≈ -0,000957…
12345 4113
Donc
28412 9470

12345 4113
‹
D’où
28412
12345
9470
4113
‹
0
3) Ordre et opérations
a) Ordre et addition
Les nombres a + c et b + c sont dans le même ordre que a et b.
Si
Exemple :
a<b
alors
a+c<b+c
On sait que x ≤ 8
En déduire une inégalité vérifiée par chacune
des expressions suivantes :
x + 3
et
x - 9
on a
x + 3
≤
8 + 3
d’où
x + 3 ≤ 11
on a
x - 9
≤
8 - 9
d’où
x - 9 ≤ -1
b) Ordre et multiplication
Si c > 0, alors les nombres a x c et
même ordre que a et b.
a < b et c > 0
Si
Exemple :
< ou >
Compléter par
1,05 x .... 1,5 x
alors
(x étant strictement positif)
Comme
Comme
1,05
π
>
<
1,5 et
3,14
x>0
50
et 51
>
b x c sont dans le
axc
bxc
50
50
  ....
 3,14
51
51
alors
0
<
alors
1,05 x x
50

51
<
1,5 x x
>
50
 3,14
51
Si c < 0, alors les nombres a x c et
sens inverse de a et b.
Si
Exemple :
Comme
a < b et c < 0
Compléter par
π > 3,14
alors
alors
< ou >
et
b x c sont dans le
-3
axc
>
bxc
3   .... _ 3  3,14
<
0
3  
<
3  3,14