Simplifier des expressions radicales

Des Expressions Radicaux
•
a est la racine positive de a, et  a
est la racine négative de a parce que
 a   a et  a   a
2
2
• Si a est un nombre positif qui n’est pas un carré
parfait, alors la racine carrée de a est irrationnel.
• Si a est un nombre négative, alors sa racine carrée
 n’est pas un nombre réel.
• Pour tout nombre réel a: a 2  a
La nième racine
• La nième racine de a:
n
a ets la nième racine de a. Cette une valeur qui, à
la puissance de n, est égale à a:
 a  a
n
n
• n est l’ordre du radical.
• Exemple: 5 32  2 parce que 25  32

L’ordre des radicaux
• La racine d’une puissance:
– Si n est pair, alors
n
– Si n est impair, alors
n
a
n
a
n
a
n
a
a
n
• La nième racine d’un nombre négative:
– Si n est pair, alors la nième racine n’est pas un nombre
réel
– Si n est impair, alors la nième racine est négative.
Le graphique d’une fonction de
racine carrée
f ( x) 
(0, 0)
Quel est le lien entre cela et le graphique de y = x2 ?
x
Les exposants rationnels
•
Définitions:
1
n
a n a
m
m
1
 
m
n
a n  a n   a
 
m

1
1
n
a
 m 
m
n
a
an
Toutes les règles d’exposants s’appliquent aux
exposants rationnels.
 
 
•

Des erreurs à éviter avec des
exposants rationnels
•
Faites les corrections nécessaires:
1
a  n
a
m
m
a
n
a  n
a
1
n
a
m
n
 a
m
n
Simplifier des puissances
•
Exemples:
2
3
4
3
5 5  5
25
25
1
4
3
4
 25
24
3
3
13
4 4
6
3
 5  5  25
 25
2
 12

1
25
1
2

1
1

25 5
Comment simplifier des expressions
radicaux:
•
Révision: Expressions vs. Équations:
–
Expressions
1.
2.
3.
–
Pas de signe d’égalité
Simplifie (pas Résous)
Simplifie les fractions en éliminant des facteurs communs.
Équations
1.
2.
3.
Signe d’ègalité
Résous (pas Simplifie)
Isole la variable en faisant des opérations inverses sur les
deux côtés.
Règles pour simplifier des
expressions radicaux
• Règle de produit:
n
a
n
b 
• Règles de quotient:
n
n
a n a

b
b
n
ab
Exemples
• Exemple:
• Exemple:
100
4

48

3
48
 16  4
3

•
Simplifier les radicaux:
1. Si tu peux simplifier les radicaux, fais-le!
9  3 et
3
a4  a3 a
2. Pas de fraction comme radicande.
3. Pas de radical dans un dénominateur.
4. On peut simplifier des exposants rationnels.
4
a2  a
2
4
a
1
2

a
Les binômes conjugués
• Une méthode pour simplifier des
expressions radicaux
a  ba  b  a 2  b 2
a2
ab
ab
b2
a  b a  b  a   b  
2
2
Les binômes non-conjugués
Les binômes conjugués
Les binômes conjugués: essai # 1
EEEK!
Hmmm… un autre essai…
EEEK!
Les binômes conjugués
Essais toi-même!
Simplifier les expressions avec des
radicaux:
• Exemple:
5 3  2 3  (5  2) 3  7 3
On peut seulement combiner des
nombres radicaux qui ont la même
radicande.
3  2 5 ne peuvent pas être simplifiés
3  2
3
3 ne peuvent pas être simplifiés
5 3  27  5 3  9 3  5 3  9
 5 3  3 3  8 3 simplifié
3
Attention!
• Simplification fausse:
x  y  x y
x  y  x y
2
2
2
2
Multiplier et diviser des nombres radicaux
Multiplication avec PIED
• Exemple:
(5 
2 )( 3 
5 3 5 6 
2 3
5 3 5 6 
6
5 36 6 2 3
7 36 6
12
6)
2 6
Simplifier avec le binôme
conjugué
Résoudre des équations avec
nombres radicaux
•
Méthode:
1. Isoler le nombre radical (ou au moins un, s’il y en a
plusieurs).
2. Prendre le carré des deux côtés de l’équation
3. Combiner les termes semblables
4. Répéter étapes 1 à 3 pour éliminer tous les radicaux
5. Résoudre l’équation
6. Vérifier les solutions pour éliminer les racines
étrangères.
Exemple
x  3x  7  1
Résous.
Ajoute 1 au deux côtés: x  1 
Prends le carré:
3x  7
x  2 x  1  3x  7
2
x  x60
(
x

3
)(
x

2
)

0
Factorise (Résous)
Soustrais 3x + 7:
2
Donc x = -2 et x = 3, mais seulement x = 3 est une
vraie racine. (Vérifie)
Les nombres complexes
•
Définition:
i   1 and i  1
2
•
•
•
Nombre complexe: un nombre qui a la forme a +
bi où a et b sont réels
+ / - des termes semblables (réels et imaginaires)
Multiplication: PIED
Des nombres complexes
•
Exemples:
(2  3i )  (1  2i )  (2  1)  (3  2)i  1  5i
(4  5i )  (1  2i )  (4  1)  (5  2)i  3  3i
(2  3i )(1  2i )  2(1)  2(2i )  3i (1)  3(2)i
 2  4i  3i  6  4  7i
2
Binôme conjugué complexe
•
Le conjugué complexe de a + bi est a – bi
On peut multiplier un binôme par son conjugué:
(2  3i)( 2  3i)  2  (3i)
2
2
 4  9i  4  (9)  13
2
•
On peut utiliser le conjugué pour faire la division
aussi!
(tout comme rationaliser le dénominateur)
Des nombres complexes et la
division
Divise:
4  5i 4  5i 2  3i


2  3i 2  3i 2  3i
8  12i  10i  15i 2

22  (3i ) 2
8  2i  15(1) 23  2i 23 2



 i
4  (9)
13
13 13
Les radicaux et la distance
• La formule pour la distance entre 2 points
(x1, y1) et (x2,y2) est:
d  x2  x1    y2  y1 
2
2