Chapitre 1 LES RADICAUX D’INDICE n 1.1 Nombres réels et puissances (rappels) Exercice 1.1 Démontrer que l’addition et la multiplication confèrent à l’ensemble des réels une structure de champs ( corps commutatif) Exercice 1.2 Pour quelle(s) raison(s), l’ensemble des naturels muni de l’addition ne possède pas la structure de groupe? Exercice 1.3 Effectuer et à retenir! 1. (a + b)2 = 2. (a − b)2 = 3. (a − b)(a + b) = 4. (a + b)3 = 5. (a − b)3 = 6. (a + b)(a2 − ab + b2 ) = 7. (a − b)(a2 + ab + b2 ) = 8. (a + b + c)2 = Exercice 1.4 Résoudre les équations suivantes : 1. |x| = 4 2. |x| = −7 3. |x + 2| = 6 4. |x − 4| = −5 5. |x − 8| |x + 2| = 0 6. |x − 3| + |x| = 5 3 CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N 4 7. |x| − |x − 3| = 5 8. |x| − |x − 3| = 3 Exercice 1.5 Effectuer 1. a−1 a+3 − a−3 a+1 2. 1 (a−1)2 3. a2 −4b2 a2 −9b2 a+2b a+3b + 1 (a+1)2 − 1 a2 −1 Exercice 1.6 Effectuer 1. −15ab2 −7a2 b . 28a2 c 30ac2 2. a2 −9b2 c2 −4d2 . c−2d a−3b 1.2 4. a+b 1 1 a+b Racines carrées - Radicaux d’indice 2 (rappels) Exercice 1.7 √ Simplifier 180a18 b13 c26 = · · · Exercice 1.8 Préciser sous quelle(s) condition(s) les radicaux suivants existent : √ 1. x ; √ 2. ( − x) ; √ 3. x + 1 ; √ 4. (x − 3) ; √ (x − 1)2 ; 5. Exercice 1.9 Rendre le dénominateur rationnel: Exercice 1.10 Elever au carré √ a+ √ √ √ √a+b+√a−b a+b+ a−b b. Exercice 1.11 Prouver que √ ∀ a, b ∈ IR+ 0 Exercice 1.12 Ecrire sans radicaux les expressions suivantes √ √ 1. x + (x − 1)2 + (x + 1)2 √ 2. (x − 1)2 (2x + 3)2 √ 3. (x − 2)2 (x + 1)2 √ (2x−3)2 4. x2 : √ 1 1 a+ b √ =√ +√ a ab b CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N 1.3 5 Racines cubiques - Racines d’indice 3 Définition La racine cubique d’un nombre réel x est le nombre réel r tel que r3 = x. Exemples : • 2 est la racine cubique de 8 car 23 = 8 ; • −2 est la racine cubique de −8 car (−2)3 = −8 ; • 3 est la racine cubique de 27 car 33 = 27 ; • −3 est la racine cubique de −27 car (−3)3 = −27. Notation √ qui est appelé radical d’indice 3. La racine cubique se note 3 Comme dans le cas des racines carrées, ce qui se trouve sous le radical s’appelle le radicand. Exercices √ √ √ Calculer − 3 −27, 3 −8, 3 64. Remarque On a par exemple √ 3 √ −27 = −3 = − 3 27. Dans la suite , nous utiliserons alors la notation √ √ 3 a = − 3 |a| si a < 0. Cela revient à sortir le moins! Règles de calcul 1. Racine cubique d’un produit ∀ a, b ∈ IR : √ 3 ab = √ √ 3 3 a b. 2. Racine cubique d’un quotient √ ∀ a ∈ IR, ∀ b ∈ IR0 : Exercice 1.13 Effectuer √ √ 3 1. 3 3. 35 = · · · √ √ 2. 3 16. 3 32 = · · · 3. √ 3 160 √ 3 20 4. √ 3 4 2 √ 3 2 = ··· = ··· 3 √ 3 a a = √ 3 b b . CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N 1.4 6 Racines d’indice n Définition La racine nème d’un nombre réel x est le nombre (positif si n est pair) r tel que rn = x, n pouvant prendre toutes les valeurs naturelles à partir de 2 , c’est-à-dire n = 2, 3, 4, · · · Exemples • 2 est la racine quatrième de 16 car 24 = 16 ; • −2 est la racine cinquième de −32 car (−2)5 = −32 ; Propriétés Si n est pair, • le réel 0 admet la racine nème 0; • tout nombre strictement négatif n’admet pas de racine nème . Si n est impair, tout nombre réel admet une racine nème . Notation √ n Si n est pair, la racine nième se note Si n est impair, la racine nème se note ; √ n et on a √ n a=− √ n |a| si a < 0. Règles de calcul 1. Racine nème d’un produit √ n √ √ n a.b = n a. b 2. Racine nème d’un quotient √ √ n a a n = √ n b b { avec { avec a, b ∈ IR+ si n est pair; a, b ∈ IR si n est impair. a ∈ IR+ , b ∈ IR+ 0 si n est pair; a ∈ IR, b ∈ IR0 si n est impair. Exercice 1.14 Simplifier les radicaux suivants si on suppose que a, b, c sont (strictement) positifs. √ 3 1. a7 b3 = √ 2. a7 b8 c = √ 4 3. a8 b5 = √ 3 4. a14 b7 c12 = √ 3 5. 8a5 = √ 4 6. 32a4 b7 = √ 3 7. 216a6 b4 = √ 4 8. 3 ab2 = CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N √ 9. √ 10. 11. 12. 13. 4 √ 8 √ 6 12a3 b4 7 = 48a4 b5 c3 = a12 b18 = 8a9 b3 = √ 64a13 b15 c6 9 5 1.5 = Les exposants fractionnaires Définition Si n est un entier non nul, si p est un entier positif supérieur ou égal à 2 , alors pour tout nombre réel strictement positif a , on écrit √ p Remarque Le nombre n p n an = a p . est un nombre rationnel. Exemples 1 • 42 = √ 4=2 √ √ 3 • 8 = 82 = 3 64 = 4 2 3 Exercices Calculer à l’aide des propriétés des radicaux 1 1. 8 3 = 1 2. 16 2 = 1 3. 2 2 = ( ) 24 4. 25 = 16 5 5. 4 2 = 7 6. 2 2 = Règles de calcul Les règles de calcul vues pour les exposants entiers sont étendues aux exposants fractionnaires. Si r et s sont des nombres rationnels, si a et b sont des réels strictement positifs, alors on a −r a ar as ar as s (ar ) (ab)r ( a )r b = = = = = = 1 ar r+s a ar−s ars ar br ar br CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N 8 Exercices 1. Calculer −1 1 1) 8 3 1 2) 16 2 3) 5−1 4) 9 −1 2 5) 27 −1 3 7) 4 2 ( 2 )−1 8) ( 34 ) 12 9) (9 16 ) 12 10) ( 25 )1 25 4 11) 16 2 1 12) 8 3 6) 2 2 −3 13) 16 4 5 14) 36 2 15) 16) 17) 18) 7 22 ( 1 ) 52 ( 25 ) 3 4 −2 ( 9 1 )− 13 4−3 2. Si a est strictement positif, écrire sans exposant fractionnaire : ( 1 1) a 2 a2 1 1 5 3 1 3 5) )3 9) 3 6) (a2 ) 2 2) a 3 a 2 −1 3) a a a 1 4) 2 a3 a2 1 5 −5 2 3 7) (a ) ( a ) 21 10) 11) 8) (a 3 ) 4 1 a3 3. A l’aide de la calculatrice (3 décimales) : √ • 3 17 = √ • 5 −54 = √ 9 • 3 12 = √ • 5 − 211 7 = √ 4 • 75 = Remarque (extension aux réels strictement négatifs) On a par exemple √ √ 1 3 3 (−8) = −2 = − 8 = −8 3 . Si a est négatif, si n est impair et si p est impair, alors on a √ n p an = −|a| p . Exemples √ √ 3 5 5 (−2)3 = −23 = −2 5 . b b a ( a ) 32 ( b ) 23 ( ab ) 21 b a 1 b3 CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N 1.6 9 Quelques exercices supplémentaires... I. Ecrire sous forme d’une puissance à exposant rationnel (a ≥ 0) √ 1) 2 = 2) √13 = √ 3) 3 5 = √ 4) 4 a = 1 5) √ = 3 2 1 6) √ 5 3 = 2 II. Transformer en n’écrivant que des radicaux et des puissances à exposants naturels On a a > 0 1 5 1)a 2 = 2)a 4 = 3)a− 3 = 4) 2 5) 2 3 a− 4 1 = 2 a− 5 6)a0 = = III. Calculer sans machine (transformer l’écriture) 1 1 1)16 2 2)27 3 = 3)0, 01− 2 = 1 4)16− 4 = 1 5)4 2 = 6)100− 2 = 7)8− 3 = ( )−3 8) − 12 = 1 3 1 IV. Simplifier en utilisant les propriétés 1)a 2 .a2 = ( 2 )−5 2) a 5 = ( 2 )6 3) a 3 = ( )3 4) 4a2 2 = 1 5)8a−2 .a− 2 = 1 V. a étant un réel strictement positif, déterminer x tel que : 2 1)a 3 .ax = a 3)a2−3x .a3 = 1 1 1 1 5)a 2 +2x .a 2 +3x = a 4 +4x 2)a− 4 .a2x = a1 4)a1−x .a2−x = a3−x 3 VI. Evaluer à l’aide de la calculatrice (décrire la séquence) √ 1 1)(−0, 4)39 2) 3 −13 3) √ 3 0,122 √ 2 9 4)(−21)22 5) 22 6)0, 21− 7 √ √ 4 8 1 8) √ 7) −52 9) 0, 023 5 −3 √ 4 10) 231 CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N 10 VII. A quelle(s) condition(s) les expressions suivantes désignent-elles des nombres réels? On a n et p ∈ IN0 \ {1} √ 1) n −8 = √ 2) 4 a = √ 3) 6 ab = 4) − √ 5) 4 (−2)n = √ n 6) a3 √ 6 7) a−1 = √ 7 8) a−1 = √ 9) n 2p = √ 10) n −2p = √ 4 a2 = VIII. Si a, b et c ∈ IR+ 0 , simplifier (n ∈ IN0 \ {1}) √ 3 1) a7 b3 = √ 3 2) 8a5 = √ 4 3) a8 b5 = √ 5 4) a10 b9 c8 = √ 5) 3 16a3 + 8a3 b = √ 6) 4 32a8 + 16a4 b = √ 10 7) 5 3a32 √ n 8) 4n an+3 b2n+1 =