Radicaux d'indice n : Exercices de mathématiques

Chapitre 1
LES RADICAUX D’INDICE n
1.1 Nombres r´eels et puissances (rappels)
Exercice 1.1
D´emontrer que l’addition et la multiplication conf`erent `a l’ensemble des r´eels une structure de champs
( corps commutatif)
Exercice 1.2
Pour quelle(s) raison(s), l’ensemble des naturels muni de l’addition ne poss`ede pas la structure de
groupe?
Exercice 1.3
Effectuer et `a retenir!
1. (a+b)2=
2. (a−b)2=
3. (a−b)(a+b) =
4. (a+b)3=
5. (a−b)3=
6. (a+b)(a2−ab +b2) =
7. (a−b)(a2+ab +b2) =
8. (a+b+c)2=
Exercice 1.4
R´esoudre les ´equations suivantes :
1. |x|= 4
2. |x|=−7
3. |x+ 2|= 6
4. |x−4|=−5
5. |x−8| |x+ 2|= 0
6. |x−3|+|x|= 5
3

CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N4
7. |x|−|x−3|= 5
8. |x|−|x−3|= 3
Exercice 1.5
Effectuer
1. a−1
a+3 −a−3 a+1 2. 1 (a−1)2+1 (a+1)2−1 a2−1
Exercice 1.6
Effectuer
1. −15ab2
−7a2b.28a2c 30ac2
2. a2
−9b2
c2−4d2.c−2d a−3b
3.
a2−4b2
a2−9b2
a+2b
a+3b
4. a+b
1
a+1 b
1.2 Racines carr´ees - Radicaux d’indice 2(rappels)
Exercice 1.7
Simplifier √180a18b13c26 =···
Exercice 1.8
Pr´eciser sous quelle(s) condition(s) les radicaux suivants existent :
1. √x;
2. (−x) ;
3. √x+ 1 ;
4. (x−3) ;
5. (x−1)2;
Exercice 1.9
Rendre le d´enominateur rationnel: √a+b+√a−b
√a+b+√a−b
Exercice 1.10
Elever au carr´e √a+√b.
Exercice 1.11
Prouver que
∀a, b ∈IR+
0:√a+√b
√ab =1 √b+1 √a
Exercice 1.12
Ecrire sans radicaux les expressions suivantes
1. x+(x−1)2+(x+ 1)2
2. (x−1)2(2x+ 3)2
3. (x−2)2(x+ 1)2
4. (2x−3)2
x2

CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N5
1.3 Racines cubiques - Racines d’indice 3
D´efinition
La racine cubique d’un nombre r´eel xest le nombre r´eel rtel que r3=x.
Exemples :
•2 est la racine cubique de 8 car 23= 8 ;
• −2 est la racine cubique de −8 car (−2)3=−8 ;
•3 est la racine cubique de 27 car 33= 27 ;
• −3 est la racine cubique de −27 car (−3)3=−27.
Notation
La racine cubique se note 3
√qui est appel´e radical d’indice 3.
Comme dans le cas des racines carr´ees, ce qui se trouve sous le radical s’appelle le radicand.
Exercices
Calculer −3
√−27, 3 √−8, 3
√64.
Remarque
On a par exemple 3
√−27 = −3 = −3
√27. Dans la suite , nous utiliserons alors la notation
3
√a=−3
|a|si a < 0.
Cela revient `a sortir le moins!
R`egles de calcul
1. Racine cubique d’un produit
∀a, b ∈IR : 3
√ab =3
√a3
√b.
2. Racine cubique d’un quotient
∀a∈IR,∀b∈IR0:3
a
b=
3
√a
3
√b.
Exercice 1.13
Effectuer
1. 3
√3.3
√35=···
2. 3
√16.3 √32 = ···
3. 3
√160
3
√20 =···
4. 3
√24
3
√2=···

CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N6
1.4 Racines d’indice n
D´efinition
La racine n`eme d’un nombre r´eel xest le nombre (positif si nest pair) rtel que rn=x,npouvant
prendre toutes les valeurs naturelles `a partir de 2, c’est-`a-dire n= 2,3,4,···
Exemples
•2 est la racine quatri`eme de 16 car 24= 16 ;
• −2 est la racine cinqui`eme de −32 car (−2)5=−32 ;
Propri´et´es
Si nest pair,
•le r´eel 0 admet la racine n`eme 0;
•tout nombre strictement n´egatif n’admet pas de racine n`eme .
Si nest impair,
tout nombre r´eel admet une racine n`eme .
Notation
Si nest pair, la racine ni`eme se note n
√;
Si nest impair, la racine n`eme se note n
√et on a n
√a=−n
|a|si a < 0.
R`egles de calcul
1. Racine n`eme d’un produit
n
√a.b =n
√a. n
√bavec a, b ∈IR+si nest pair;
a, b ∈IR si nest impair.
2. Racine n`eme d’un quotient
n
a
b=
n
√a
n
√bavec a∈IR+, b ∈IR+
0si nest pair;
a∈IR, b ∈IR0si nest impair.
Exercice 1.14
Simplifier les radicaux suivants si on suppose que a, b, c sont (strictement) positifs.
1. 3
√a7b3=
2. √a7b8c=
3. 4
√a8b5=
4. 3
√a14b7c12 =
5. 3
√8a5=
6. 4
√32a4b7=
7. 3
√216a6b4=
8. 3
a4
b2=

CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N7
9. 12a3
b4=
10. 4
48a4b5
c3=
11. 8
√a12b18 =
12. 6
√8a9b3=
13. 5
64a13b15 c6
9=
1.5 Les exposants fractionnaires
D´efinition
Si nest un entier non nul,
si pest un entier positif sup´erieur ou ´egal `a 2,
alors pour tout nombre r´eel strictement positif a, on ´ecrit
p
√an=a
n
p.
Remarque Le nombre n
pest un nombre rationnel.
Exemples
•41
2=√4 = 2
•82
3=3
√82=3
√64 = 4
Exercices
Calculer `a l’aide des propri´et´es des radicaux
1. 81
3=
2. 161
2=
3. 21
2=
4. 25
16 2
4=
5. 45
2=
6. 27
2=
R`egles de calcul
Les r` egles de calcul vues pour les exposants entiers sont ´ etendues aux exposants
fractionnaires.
Si ret ssont des nombres rationnels,
si aet bsont des r´eels strictement positifs,
alors on a 
a−r=1
ar
aras=ar+s
ar
as=ar−s
(ar)s=ars
(ab)r=arbr
a
br=ar br