Chapitre 1 LES RADICAUX D`INDICE n

Chapitre 1
LES RADICAUX D’INDICE n
1.1
Nombres réels et puissances (rappels)
Exercice 1.1
Démontrer que l’addition et la multiplication confèrent à l’ensemble des réels une structure de champs
( corps commutatif)
Exercice 1.2
Pour quelle(s) raison(s), l’ensemble des naturels muni de l’addition ne possède pas la structure de
groupe?
Exercice 1.3
Effectuer et à retenir!
1. (a + b)2 =
2. (a − b)2 =
3. (a − b)(a + b) =
4. (a + b)3 =
5. (a − b)3 =
6. (a + b)(a2 − ab + b2 ) =
7. (a − b)(a2 + ab + b2 ) =
8. (a + b + c)2 =
Exercice 1.4
Résoudre les équations suivantes :
1. |x| = 4
2. |x| = −7
3. |x + 2| = 6
4. |x − 4| = −5
5. |x − 8| |x + 2| = 0
6. |x − 3| + |x| = 5
3
CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N
4
7. |x| − |x − 3| = 5
8. |x| − |x − 3| = 3
Exercice 1.5
Effectuer
1.
a−1
a+3
−
a−3
a+1
2.
1
(a−1)2
3.
a2 −4b2
a2 −9b2
a+2b
a+3b
+
1
(a+1)2
−
1
a2 −1
Exercice 1.6
Effectuer
1.
−15ab2
−7a2 b
.
28a2 c
30ac2
2.
a2 −9b2
c2 −4d2
.
c−2d
a−3b
1.2
4.
a+b
1
1
a+b
Racines carrées - Radicaux d’indice 2 (rappels)
Exercice 1.7
√
Simplifier 180a18 b13 c26 = · · ·
Exercice 1.8
Préciser sous quelle(s) condition(s) les radicaux suivants existent :
√
1. x ;
√
2.
( − x) ;
√
3. x + 1 ;
√
4.
(x − 3) ;
√
(x − 1)2 ;
5.
Exercice 1.9
Rendre le dénominateur rationnel:
Exercice 1.10
Elever au carré
√
a+
√
√
√
√a+b+√a−b
a+b+ a−b
b.
Exercice 1.11
Prouver que
√
∀ a, b ∈
IR+
0
Exercice 1.12
Ecrire sans radicaux les expressions suivantes
√
√
1. x + (x − 1)2 + (x + 1)2
√
2.
(x − 1)2 (2x + 3)2
√
3.
(x − 2)2 (x + 1)2
√
(2x−3)2
4.
x2
:
√
1
1
a+ b
√
=√ +√
a
ab
b
CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N
1.3
5
Racines cubiques - Racines d’indice 3
Définition
La racine cubique d’un nombre réel x est le nombre réel r tel que r3 = x.
Exemples :
• 2 est la racine cubique de 8 car 23 = 8 ;
• −2 est la racine cubique de −8 car (−2)3 = −8 ;
• 3 est la racine cubique de 27 car 33 = 27 ;
• −3 est la racine cubique de −27 car (−3)3 = −27.
Notation
√
qui est appelé radical d’indice 3.
La racine cubique se note 3
Comme dans le cas des racines carrées, ce qui se trouve sous le radical s’appelle le radicand.
Exercices
√
√
√
Calculer − 3 −27, 3 −8, 3 64.
Remarque
On a par exemple
√
3
√
−27 = −3 = − 3 27. Dans la suite , nous utiliserons alors la notation
√
√
3
a = − 3 |a| si a < 0.
Cela revient à sortir le moins!
Règles de calcul
1. Racine cubique d’un produit
∀ a, b ∈ IR :
√
3
ab =
√
√
3
3
a b.
2. Racine cubique d’un quotient
√
∀ a ∈ IR, ∀ b ∈ IR0 :
Exercice 1.13
Effectuer
√ √
3
1. 3 3. 35 = · · ·
√ √
2. 3 16. 3 32 = · · ·
3.
√
3
160
√
3
20
4.
√
3 4
2
√
3
2
= ···
= ···
3
√
3
a
a
= √
3
b
b
.
CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N
1.4
6
Racines d’indice n
Définition
La racine nème d’un nombre réel x est le nombre (positif si n est pair) r tel que rn = x, n pouvant
prendre toutes les valeurs naturelles à partir de 2 , c’est-à-dire n = 2, 3, 4, · · ·
Exemples
• 2 est la racine quatrième de 16 car 24 = 16 ;
• −2 est la racine cinquième de −32 car (−2)5 = −32 ;
Propriétés
Si n est pair,
• le réel 0 admet la racine nème 0;
• tout nombre strictement négatif n’admet pas de racine nème .
Si n est impair,
tout nombre réel admet une racine nème .
Notation
√
n
Si n est pair, la racine nième se note
Si n est impair, la racine nème se note
;
√
n
et on a
√
n
a=−
√
n
|a| si
a < 0.
Règles de calcul
1. Racine nème d’un produit
√
n
√ √
n
a.b = n a. b
2. Racine nème d’un quotient
√
√
n
a
a
n
= √
n
b
b
{
avec
{
avec
a, b ∈ IR+ si n est pair;
a, b ∈ IR si n est impair.
a ∈ IR+ , b ∈ IR+
0 si n est pair;
a ∈ IR, b ∈ IR0 si n est impair.
Exercice 1.14
Simplifier les radicaux suivants si on suppose que a, b, c sont (strictement) positifs.
√
3
1. a7 b3 =
√
2. a7 b8 c =
√
4
3. a8 b5 =
√
3
4. a14 b7 c12 =
√
3
5. 8a5 =
√
4
6. 32a4 b7 =
√
3
7. 216a6 b4 =
√
4
8. 3 ab2 =
CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N
√
9.
√
10.
11.
12.
13.
4
√
8
√
6
12a3
b4
7
=
48a4 b5
c3
=
a12 b18 =
8a9 b3 =
√
64a13 b15 c6
9
5
1.5
=
Les exposants fractionnaires
Définition
Si n est un entier non nul,
si p est un entier positif supérieur ou égal à 2 ,
alors pour tout nombre réel strictement positif a , on écrit
√
p
Remarque
Le nombre
n
p
n
an = a p .
est un nombre rationnel.
Exemples
1
• 42 =
√
4=2
√
√
3
• 8 = 82 = 3 64 = 4
2
3
Exercices
Calculer à l’aide des propriétés des radicaux
1
1. 8 3 =
1
2. 16 2 =
1
3. 2 2 =
( ) 24
4. 25
=
16
5
5. 4 2 =
7
6. 2 2 =
Règles de calcul
Les règles de calcul vues pour les exposants entiers sont étendues aux exposants
fractionnaires.
Si r et s sont des nombres rationnels,
si a et b sont des réels strictement positifs,
alors on a
 −r
a




ar as


 ar
as
s
(ar )




(ab)r


 ( a )r
b
=
=
=
=
=
=
1
ar
r+s
a
ar−s
ars
ar br
ar
br
CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N
8
Exercices
1. Calculer
−1
1
1) 8 3
1
2) 16 2
3) 5−1
4) 9
−1
2
5) 27
−1
3
7) 4 2
( 2 )−1
8)
( 34 ) 12
9)
(9 16 ) 12
10)
( 25
)1
25 4
11)
16
2
1
12) 8 3
6) 2 2
−3
13) 16 4
5
14) 36 2
15)
16)
17)
18)
7
22
( 1 ) 52
( 25
) 3
4 −2
( 9 1 )− 13
4−3
2. Si a est strictement positif, écrire sans exposant fractionnaire :
(
1
1) a 2 a2
1
1
5
3
1
3
5)
)3
9)
3
6) (a2 ) 2
2) a 3 a 2
−1
3) a a a
1
4)
2
a3
a2
1
5
−5
2
3
7) (a )
( a ) 21
10)
11)
8) (a 3 ) 4
1
a3
3. A l’aide de la calculatrice (3 décimales) :
√
• 3 17 =
√
• 5 −54 =
√
9
• 3 12 =
√
• 5 − 211
7 =
√
4
• 75 =
Remarque (extension aux réels strictement négatifs)
On a par exemple
√
√
1
3
3
(−8) = −2 = − 8 = −8 3 .
Si a est négatif, si n est impair et si p est impair, alors on a
√
n
p
an = −|a| p .
Exemples
√
√
3
5
5
(−2)3 = −23 = −2 5 .
b
b
a
( a ) 32 ( b ) 23
( ab ) 21
b
a
1
b3
CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N
1.6
9
Quelques exercices supplémentaires...
I. Ecrire sous forme d’une puissance à exposant rationnel (a ≥ 0)
√
1) 2 =
2) √13 =
√
3) 3 5 =
√
4) 4 a =
1
5) √
=
3
2
1
6) √
5 3 =
2
II. Transformer en n’écrivant que des radicaux et des puissances à exposants naturels
On a a > 0
1
5
1)a 2 =
2)a 4 =
3)a− 3 =
4)
2
5)
2
3
a− 4
1
=
2
a− 5
6)a0 =
=
III. Calculer sans machine (transformer l’écriture)
1
1
1)16 2
2)27 3 =
3)0, 01− 2 =
1
4)16− 4 =
1
5)4 2 =
6)100− 2 =
7)8− 3 =
( )−3
8) − 12
=
1
3
1
IV. Simplifier en utilisant les propriétés
1)a 2 .a2 =
( 2 )−5
2) a 5
=
( 2 )6
3) a 3 =
( )3
4) 4a2 2 =
1
5)8a−2 .a− 2 =
1
V. a étant un réel strictement positif, déterminer x tel que :
2
1)a 3 .ax = a
3)a2−3x .a3 = 1
1
1
1
5)a 2 +2x .a 2 +3x = a 4 +4x
2)a− 4 .a2x = a1
4)a1−x .a2−x = a3−x
3
VI. Evaluer à l’aide de la calculatrice (décrire la séquence)
√
1
1)(−0, 4)39
2) 3 −13
3) √
3
0,122
√
2
9
4)(−21)22
5) 22
6)0,
21− 7
√
√
4
8
1
8) √
7) −52
9) 0, 023
5
−3
√
4
10) 231
CHAPITRE 1. LES RADICAUX D’INDICE N
10
VII. A quelle(s) condition(s) les expressions suivantes désignent-elles des nombres réels?
On a n et p ∈ IN0 \ {1}
√
1) n −8 =
√
2) 4 a =
√
3) 6 ab =
4) −
√
5) 4 (−2)n =
√
n
6) a3
√
6
7) a−1 =
√
7
8) a−1 =
√
9) n 2p =
√
10) n −2p =
√
4
a2 =
VIII. Si a, b et c ∈ IR+
0 , simplifier (n ∈ IN0 \ {1})
√
3
1) a7 b3 =
√
3
2) 8a5 =
√
4
3) a8 b5 =
√
5
4) a10 b9 c8 =
√
5) 3 16a3 + 8a3 b =
√
6) 4 32a8 + 16a4 b =
√
10
7) 5 3a32
√
n
8) 4n an+3 b2n+1 =