Equation de Schrodinger

Équation de Schrödinger
 ²


ˆ

E
N V N
N N
2m
2-
Les électrons avec une énergie cinétique inférieure à une barrière de potentiel
peuvent néanmoins franchir celle-ci.
C’est ce que l’on appelle l’ EFFET TUNNEL.
En faisant varier V0, on peut changer de type la zone.
Plus on augmente V0 et moins les électrons E0 peuvent passer,
ainsi la zone peut devenir isolante ou conductrice.
Quelques exemples de potentiels :
Barrière
Puits
Rampe
positive
Rampe
négative
Puits
infini
Barrière
infinie
Si on multiplie les deux membres de l’équation
par le terme: 2m
²
On obtient alors l’équation:
 N 
2m
( E N  V 0) N  0
²
Si la distribution V(x) est unidimensionnelle
(c’est le cas du silicium) alors:
d 
2
dx
2

2m
(E 0 V 0 )  0
²
On reconnaît une équation différentielle du type:
d   
k 
2
dx
2
i
0
Ecrire ki selon les conditions, pour une
propagation,le ki est différent de celui d’une
atténuation
Soit les trois cas:
• E0 = V0

État Intermédiaire
• E0 > V0

État Libre
• E0 < V0

État Lié
• Si E0 > V0 : le terme E0 - V0 est positif on l’appelle:
l’État libre.
On pose alors
k
2
1

2m
(E 0 V 0 )
²
 Et l’équation différentielle s’écrit:
d  
k
2
dx
2
2
1
0
 La solution est donc de la forme:
Ψ =Aeik1x+Be-ik1x
• Si E0 < V0 : le terme V0 - E0 est positif on l’appelle:
l’État lié.
2
On pose alors k 2 
2m
(V 0  E 0 )
²
 Et l’équation différentielle s’écrit:
d  
k
2
dx
2
2
2
0
 La solution est donc de la forme:
Ψ =A’e-k2x+B’ek2x
attention aux signes
Barrière de potentiels 
.
.
V 
V 0
 ( x )  0
 A cos(kx )
 ( x )  B sin(kx )
.
V 

(x)  0

L’énergie potentiel varie selon chaque problème!
On s’intéresse à la propagation d’électrons, on s’intéresse
donc au courant
PARTICULE (corpusculaire)
e-
ET
ONDE (ondulatoire)
m
puits de potentiels
mgh
En physique classique il faut une énergie > mgh , en physique quantique
même si l’énergie est < quelques électrons pourront sortir du puit de potentiels
Moins il a d’écart entre Ep et Ec plus les électrons passent
METHODOLOGIE DE
PROBLEMES
 ²

 E N N

N V N
2m
ep
y ''  k 2y
1
y ''  k 2y
 2
D’apres (1) on va discuter de  selon les trois phases I, II et III
v
E
I.
e
potentielle
v=0 II.
III.
v=0
c
e

-infini
-a
a
infini
Silicium polarisé
Si les électrons n’ont pas assez d’énergie pour vaincre la barrière de
potentiels alors ils repartent en arrière
x
v
E
I.
v=0 II.
e
potentielle
III.
v=0
c
e

-infini
EFFET TUNNEL
-a
a
L’effet tunnel permet de contrôler le passage
des électrons, puisque la plupart des électrons
ne franchissent pas la barrière de
potentiels.(l’effet tunnel est utilisé notamment
par le microscope a « effet tunnel »!)
infini
x
PROPAGATION
E0 > V 0


Ae
ikx
 Be
(; a)
Les électrons qui n’ont pas assez d’énergie
pour vaincre la barrière de potentiels repartent
en arrière
 ikx
ATTENUATION (Evanescence)
E0 < V 0
Attention aux complexes


  Ce De
kx
(a; a )
Les électrons qui n’ont plus assez d’énergie
pour vaincre la deuxième barrière de potentiels
repartent en arrière eux aussi
 kx
E0 = V 0 = 0

  Ee
ikx
( a;  )
 (a)  


(a)
 '(a)   '(a)
Continuité de la fonction
d’onde
Continuité de la dérivé de la fonction d’onde uniquement
si la barrière est finie
FIN