Équation de Schrödinger

Équation de Schrödinger
Effet TUNNEL
Hˆ N )  EN N )
Ph. DUROUCHOUX
INTRODUCTION
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Biographie de Erwin Schrödinger
Définition de la mécanique Quantique
Interprétation de l’équation de Schrödinger
Intégration et applications à différentes
distributions de potentiel
Biographie de Erwin Schrödinger
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Né à Vienne en 1887, mort en 1961.
1920 : Nommé professeur à la Haute Ecole
technique de Stuttgart puis à l'université de Breslau
l'année suivante.
1927 : il succède à Max Planck à l'université de
Berlin. Israélite, il quitte le pays à l'avènement du
national-socialisme pour se rendre à Oxford.
1940 : Devient professeur de physique théorique à
Dublin à l'Institut des hautes études de l'Etat libre
d'Irlande.
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Schrödinger travaille sur l'étude des couleurs, mais il
est plus reconnu pour ses recherches en mécanique
ondulatoire et succèdera au français Louis de Broglie
dans ce domaine.
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L'équation de Schrödinger, élaborée en 1926, permet
de calculer la fonction d'onde d'une particule se
déplaçant dans un champ, elle constitue la base de la
mécanique quantique.
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En 1933, Schrödinger partage le prix Nobel de
physique avec le Britannique Paul Dirac pour leur
contribution au développement de cette nouvelle
discipline.
Définition de la mécanique quantique
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La mécanique quantique décrit le comportement
des particules microscopiques (électrons, protons,
neutrons, ou des systèmes plus complexes tels
qu'atomes et molécules) dans un cadre nonrelativiste et dans le cas où les particules sont
conservées. Plus largement, on parle de physique
quantique.
La physique quantique cherche donc à comprendre
les particules qui nous composent.
Interprétation de l’équation de Schrödinger
Hˆ N )  EN N )
- EN=>E1, E2 ,…, EN : Énergies de liaison de l’électron de l’atome d’Hydrogène, il peut
y avoir plusieurs énergies possibles qui sont quantifiées.
- Ψ => Fonction d’onde et |Ψ1|2 est la probabilité de trouver E1. D’où la condition de
normalisation :
n

N 1
N
2
1
A chaque fois que l’on mesure une énergie il faut tenir compte de la probabilité de
trouver l’électron de l’atome d’Hydrogène. En effet, l'électron de l'atome d'hydrogène
est en mouvement incessant autour du noyau chargé positivement. La probabilité de
présence ne dépend donc que de la distance r de l'électron au noyau. Elle s’annule que
lorsque la distance au noyau tend vers l'infini.
- |ΨN)=> est la notation de Dirac pour un vecteur.
- H=> Hamiltonien, c’est une fonction qui représente l’énergie totale du système.
Distribution de potentiels
Axe des
énergies
Un petit nombre
d’électrons passe la
barrière
V0
E0
Sorte de Tunnel
Des électrons sont
repoussés
V=0
V=0
I
E0>V : Etat libre
Propagation des
électrons (milieu
Conducteur)
-a
II
+a
E0<V0 :Milieu
Semi conducteur
Atténuation, état
lié (ondes
évanescentes)
V : Énergie potentielle
E0 : Énergie Cinétique de l’électron
III
E0>V : Etat libre
Propagation des
électrons (milieu
Conducteur)
x
L’effet Tunnel
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Imaginez une balle que vous lanciez contre un mur. Soit elle est lancée
assez fort, et elle passe au dessus du mur, soit elle n'est pas lancée assez
fort, et elle rebondit.
C’est le même phénomène qui se passe pour un électron essayant de sortir
du métal qui le contient. Si on le lance assez fort, il franchit la barrière et
retombe de l'autre côté (autrement dit, si on lui impose un champ
électrique assez fort, il est capable de sortir du métal pour traverser le vide
jusqu'à un autre métal ou matériau conducteur).
Toutefois une différence intervient : c'est si vous ne lancez pas assez fort
votre électron. A la différence d'une balle, un ensemble d’électrons est une
sorte de nuage. Un blob. Une partie de ce blob peut passer le mur tandis
que l'autre va rebondir. C'est la différence avec la balle.
Confronté à une barrière, un nuage d’électrons a donc la possibilité de se
scinder en deux : une partie franchit la barrière, et l'autre non.
Si on lance des électrons contre une barrière, plus la barrière est petite,
plus les électrons ont de chance de passer, par effet tunnel.
Application de l’effet tunnel
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En fait, si nous ne connaissons pas
la hauteur de la barrière, on peut la
calculer, si nous savons la
proportion des électrons qui la
franchissent. C'est le principe du
microscope à effet tunnel. Une
pointe métallique est placée au
dessus de l'objet à étudier. Et on
balade la pointe : plus l'écart entre la
pointe et l'objet est grand, moins les
électrons contenus dans la pointe
arrivent à passer. On arrive ainsi en
baladant la pointe, à créer une image
3D de l'objet qu'on étudie !
Atome d’or vu au microscope à effet tunnel
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En mécanique quantique, il
existe des électrons hors du
solide avec une énergie
faible : c'est l'effet tunnel.
On balaye la surface de
l'échantillon avec une
pointe monoatomique, ce
qui permet l'application de
l'effet tunnel. Il suffit alors
de mesurer l'intensité entre
la pointe et l'échantillon en
fonction des coordonnées
(x,y).
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L’effet tunnel : c’est donc le fait d’avoir des
électrons qui passent une barrière de potentiel alors
qu’ils n’ont pas selon la physique classique l’énergie
nécessaire.
Il existe plusieurs types de barrières
Barrière de
Potentiel
Puits de
Potentiel
Rampe de
Potentiel
Puits infini de
potentiel
Barrière infinie de
Potentiel
Principe de l’effet tunnel
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Plus l’énergie cinétique augmente plus les
électrons peuvent passer.
Si Ec=Ep => Tous les électrons ne passent pas,
ils repartent donc dans l’autre sens
Si Ec>Ep => Plus d’électrons passent mais
toujours pas tous.
Équation de Propagation
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ik 1 x
Domaine I E0>V : I  Ae  Be
Be-ikx correspond aux électrons qui reviennent
au départ. Nous sommes ici dans un état libre.
A et B sont appelés constantes d’intégration.
k x
k x


Ce

De
Domaine II E0<V : II
Etat lié.
ik x
Domaine III : III  Ee
F=0 pas de retour des électrons, état libre.
ik1 x
2
1
2
Autre exemple de barrière de potentiel
V
V=V0
Rampe de
Potentiel
E0
I
V=αx
II
III
IV
V=0
x
a
b
c
Les équations des fonctions d’onde selon le
milieu sont :
Pour le milieu I : ΨI= Aeik1x + Be-ik1x
avec k1 = f(E0), k le nombre d’onde
Pour le milieu II : ΨII= Ceik2x + De-ik2x
avec k2 = f(E0, Vvariant)
Pour le milieu III : ΨIII= Eek3x + Fe-k3x
avec k3 = f(E0, Vvariant)
Pour le milieu IV : ΨIV= Gek4x + He-k4x , x→ ∞,
G=0 car e+∞ est impossible.
SOURCES
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http://romain.bel.free.fr/agregation/Lecons/LP
61.doc
http://www.infoscience.fr/histoire/biograph/bi
ograph.php3?Ref=57
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_
de_Schr%C3%B6dinger
http://www.e-scio.net/mecaq/imaginer.php3