ensemble de Fatou.

Dimension de Hausdorff des ensembles de Julia
Quelques notions de base de
dynamique holomorphe.
Ensemble de Julia rempli
L’ensemble de Julia du polynôme P est le bord de K(P)
L ’intérieur de K(P) et le bassin de l ’infini forment
l ’ensemble de Fatou qui est aussi le complémentaire
de l ’ensemble de Julia.
Dynamique sur l ’ensemble de Fatou: le polynôme P induit une
application de l ’ensemble des composantes de l ’ensemble de
Fatou sur lui-meme.
Théorème (Sullivan): Toute composante de l ’ensemble de Fatou
est prépériodique.
Pour comprendre la dynamique sur l ’ensemble de Fatou,
il suffit alors de classifier les composantes périodiques, ce qui a
été fait au début du Xxème siècle par Fatou et Julia.
Classification de Fatou- Julia.
Point fixe répulsif
Un cycle répulsif appartient à l ’ensemble
de Julia. La réunion de tous les cycles répulsifs
est même dense dans cet ensemble.
Chaque point d ’un cycle attractif appartient
à une composante différente de l ’ensemble
de Fatou et ces k composantes forment un
cycle.
Cycle attractif:{0,-1}
m=0
Cycles indifférents
Point fixe indifférent
irrationnel linéarisable
Point fixe parabolique:
m=-1, k=1,q=2, nu=1
Le théorème de Fatou et Julia affirme que toute composante
périodique de l ’ensemble de Fatou est de l ’un des trois
types précédemment décrits (composante d ’un bassin
immédiat d ’un cycle attractif, d ’un bassin immédiat d ’un cycle
parabolique ou disque de Siegel).
On en déduit que la dynamique sur l ’ensemble de Fatou est assez
simple. Toute la partie « chaotique » de la dynamique est donc
concentrée sur l ’ensemble de Julia .
D ’où l ’intérêt de l ’étude de la variation de J(P) en fonction de P.
Cette étude a été initiée par Douady qui a complètement déterminé
les points de continuité de l ’application P-->J(P) , l ’ensemble des
compacts du plan étant équipé de la métrique de Hausdorff.
Enfin les ensembles de Julia sont à de rares exceptions près
des ensembles fractals: la dimension de Hausdorff de cet ensemble
est donc une quantité importante. L ’objet de cet exposé est de faire
le point sur ce que l ’on connaît de la régularité de la fonction
P-->HD(J(P))
Soit K un compact du
plan de diamètre 1. On
dit que K est de
dimension d si pour M
grand il faut de l ’ordre
de Md disque de rayon
1/M pour recouvrir K.
4n disques de rayon 3-n
HD=ln(4)/ln(3)
Le Cantor K associé aux similitudes g,h
est l ’unique compact tel que
K=g(K)Uh(K)
Sa dimension d est l ’unique solution de
r(g)d+r(h)d=1
g
h
JEAN PERRIN
"Le plus souvent, ceux auxquels on parle de courbes sans tangentes ou
de fonctions sans dérivées commencent par penser qu'évidemment la nature
ne présente pas de telles complications et n'en suggère pas l'idée.
C'est pourtant le contraire qui est vrai, et la logique des mathématiciens
les a maintenus plus près du réel que ne faisaient les représentations pratiques employées
par les physiciens.
… l'incertitude qu'on aurait à trouver la tangente en un point du littoral de la
Bretagne, selon qu'on utiliserait pour cela une carte à telle ou telle échelle.
Selon l'échelle, la tangente changerait, mais chaque fois on en placerait une.
C'est
que la carte est un dessin conventionnel, où, par construction même,
toute ligne a une
tangente. Au contraire, c'est un caractère essentiel du littoral,
si au lieu de l'étudier sur une carte on le regarde lui-même de plus ou moins
loin,
que, à toute échelle, on soupçonne, sans les voir tout à fait bien, des
détails qui
empêchent absolument de fixer une tangente. »
(Préface)
Les atomes, 1913
Le rôle des points critiques.
Tout polynôme de degré au moins égal à 2
admet un point critique au moins et l ’orbite
de ces points nous renseigne sur la
dynamique du polynôme.
Première conséquence: il n ’y a
qu’un nombre fin de cycles
non-répulsifs et donc de
composantes périodiques de
l ’ensemble de Fatou.
Un théorème de Fatou et Julia affirme que tout
cycle attractif attire un point critique.
Aussi tout point périodique indifférent dans
l ’ensemble de Julia (ie parabolique ou Cremer)
est adhérent à l ’orbite d ’un point critique.
Dans le cas d ’un point périodique linéarisable
c ’est le cercle de Siegel qui est adhérent à l ’orbite
d ’un point critique.
Polynômes hyperboliques:
Problème ouvert: la stabilité
structurelle implique-t-elle
l ’hyperbolicité?
L ’exemple des polynômes
quadratiques:
un cycle attractif
d ’ordre 1 (point fixe)
Un cycle attractif
d ’ordre 2
Un cycle attractif d ’ordre 3
La stabilité structurelle implique
que P-->J(P) est continue en tout
point d ’une composante
hyperbolique (et même
« holomorphe » en un certain
sens.
Le passage d ’une composante hyperbolique
à une autre change la structure, mais
peut-être continu. Exemple:
Bifurcation de Hopf (point fixe attractif--> point fixe
répulsif+cycle attractif d ’ordre 2)
Réelle-analyticité de la dimension dans les
composantes hyperboliques (Théorème de Ruelle).
Preuve du théorème de Ruelle
Interprétation thermodynamique
On considère l ’ensemble de Julia comme un gaz sans volume.
Un « état » est une mesure P-invariante.
La température est 1/t. On cherche l ’ état d ’équilibre du
système à température donnée.
Une application (Ransford)
En particulier, dans la cardioïde principale de l ’ensemble de
Mandelbrot, la dimension est une fonction sous-harmonique
de c:
elle admet donc des limites radiales en presque tout point.
Ces limites coïncident elles pp au bord avec la dimension de
Hausdorff de la limite au sens topologique (qui existe, voir
plus loin)?
C ’est vrai en tout point rationnel (Bodard-Z, McMullen)
Existe-t-il un point de la cardioïde ou ce n ’est pas vrai?
Théorème (Douady): L ’application J est continue en P si et
seulement si P ne possède ni point fixe indifférent rationnel
ni point fixe indifférent irrationnel linéarisable.
Exemple du point fixe indifférent irrationnel linéarisable:
P a un disque de Siegel:
le point fixe est dans l ’ensemble
de Fatou
Q a un point fixe parabolique:
le point fixe est dans J(Q).
Cas parabolique: le chou-fleur
c=0,251
Le lapin gras:
Fleur de Leau-Fatou
Coordonnées de Fatou
Applications de Lavaurs
Ensembles de Julia-Lavaurs:
Le théorème de Sullivan reste vrai (Lavaurs)
h
Un ensemble de Julia-Lavaurs
avec composante attractive
virtuelle.
Un ensemble de JuliaLavaurs avec composante
parabolique virtuelle
V
Le cas q>1 pétales
On peut encore définir une application de cornes: chacun des deux
multiplicateurs dépend des choix faits pour les coordonnées de Fatou
mais pas leur produit et Shishikura a montré que le module du produit
est toujours >1 sur la cardioïde principale.
Corollaire (Z.): Si on implose un ensemble de Julia quadratique avec
point fixe parabolique à q pétales alors la dimension de Hausdorff
devient >2q/(q+1)
Corollaire: la dimension est génériquement
égale à 2 sur la cardioïde principale.
Preuve: Baire
Corollaire (Shishikura): Le bord de M est
de dimension 2