Mémoires de sciences - Espace Culture - Lille 1

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LNA#54 / mémoires de sciences : rubrique dirigée par Rémi Franckowiak et Bernard Maitte
mémoires de sciences : rubrique dirigée par Rémi Franckowiak et Bernard Maitte / LNA#54
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Le plus souvent, le discours s’organise suivant le temps et
l’espace, il rend compte des traces retrouvées et passe toujours
par faire voir ou raconter ce qui est lu dans les documents.
Mais l’histoire ne peut se sure d’être un récit, elle ne se réduit
pas à une chronologie passive et à l’exhibition cumulative de
propositions mathématiques, elle vise à une intelligibilité;
œuvre de connaissance, elle cherche à orir quelque sens au
lecteur. Alors le récit déplie, explicite, explique, s’organise
en «intrigue», selon le terme de Paul Veyne 1.
Simplions la complexité: en fait, deux réseaux d’intrigues
se déploient, celui qui porte les résultats mathématiques que
les documents conservés attestent et dont la liste peut être
faite (manuscrits, notes ou articles parus dans des revues,
livres édités, correspondances), et celui des acteurs avec des
personnalités, des intentions, des libertés et des hasards
dont «la conduite se détache sur fond de normalité et de
quotidienneté d’une époque» 2. L’un ne peut exister sans
l’autre, ils sont accrochés l’un à l’autre en des nœuds dont
les plus solides sont désignés comme «éorème de Untel»
avec dates, souvent seuls signes dans l’enseignement que les
mathématiques sont œuvre humaine avec une histoire.
Le travail d’analyse et d’explication consiste alors le plus
souvent à remplir les trous de cette connaissance lacunaire
en proposant des relations causales (avérées par les textes
ou hypothétiques), en montrant comment à l’intérieur de
la discipline se transforment les pratiques pour façonner de
nouveaux objets ou concepts.
Mais l’histoire est inséparable de l’historien. Il y a d’abord le
choix du sujet, la manière dont on le délimite, on l’oriente,
dont on en présente la compréhension. Dans cet eort de
connaissance s’articulent ouverture à autrui et détachement.
Un travail est nécessaire car l’intervalle de temps qui sépare
de l’objet passé (textes anciens ou actions) n’est pas vide, les
événements étudiés ont porté des fruits, ont eu des consé-
quences et la connaissance qu’on en a ne peut être coupée de
1Paul Veyne, Comment on écrit l’ histoire, éd. du Seuil, Paris, 1978.
2Paul Veyne, op. cit.
tous ces eets. D’autre part, «la connaissance d’autrui est
médiate, inférée des comportements et expressions de notre
prochain, compte tenu de l’expérience que nous avons de
nous-mêmes et de la société où nous vivons» 3. En écho à
ces remarques viennent des propos d’Henri-Irénée Marrou
sur le travail de l’historien: «un progrès non pas linéaire (ce
qui serait d’un optimiste naïf), ni pendulaire (ce qui justi-
erait l’inquiétude du pessimiste), mais bien hélicoïdal – et
nous avons choisi de préciser qu’il décrit une hélice conique,
s’élargissant à chaque spire autant qu’elle progresse en pro-
fondeur», sur sa personnalité: «le meilleur historien […]
est l’homme qui par sa structure mentale sera le mieux ac-
cordé à résonner harmoniquement, à faire écho, à percevoir
la gamme de longueurs d’onde, spécique de son objet» 4.
Quand ce travail d’historien ou d’historienne des mathé-
matiques est fait par quelqu’un qui crée des mathématiques
et les pratique, l’objet passé est doublement saisi car il
intéresse aussi, et peut-être d’abord, pour son contenu scien-
tique qui peut venir féconder des recherches en cours ou
orir une profondeur à des idées actuelles. Comment écrire
alors l’histoire d’un problème avec rigueur et sans confusion?
Michèle Audin, mathématicienne, a pris le risque et se
cherche une méthode; récemment, elle a oert à un large
public deux ouvrages dont la construction et les contenus
mathématique et humain illustrent les facettes multiples de
ce travail, sans clivage et sans mélanger les genres. Deux ré-
cits historiques et mathématiques, aux écritures diérentes
mais où la conteuse ne se dérobe pas.
Souvenirs sur Soa Kovalevskaya 5 est l’histoire d’une rencontre
entre deux femmes, mathématiciennes et engagées dans
leur temps. C’est aussi un travail de mémoire toujours
rigoureusement porté par des documents originaux, textes
autobiographiques et correspondances.
3Paul Veyne, op. cit.
4Henri-Irénée Marrou, De la connaissance historique, éd. du Seuil, Paris, 1957
(rééd. 1975).
5Michèle Audin, Souvenirs sur Soa Kovalevskaya, éd. Calvage et Mounet, Paris, 2008.
Comment écrire l’histoire d’un problème mathématique ?
Résurgences du passé dans le présent : systèmes intégrables -
dynamique complexe
Maître de conférences honoraire de mathématiques
à l’Université Lille 1
Par Anne-Marie MARMIER
Le grand récit historique du développement des mathématiques est comme un vaste palais toujours en construction
et toujours en travaux; des salles s’orent à la découverte, d’autres déjà équipées sont régulièrement repensées et de
nouveaux objets sont alors mis à jour derrière les drapés d’idéologies ou d’interprétations précédentes. Le plan n’est
pas posé a priori.

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Le déroulement du récit n’obéit pas vraiment à un ordre
chronologique linéaire; les séquences orent chacune un
point de vue particulier sur la personnalité de Soa Kova-
levskayaet un événement de sa vie ; mais elles ne sont pas
indépendantes, elles dialoguent et, au l de la lecture, les
thèmes s’élargissent et s’approfondissent.
L’ouverture introduit les thèmes: dates de la vie de Sophie
et, en parallèle, des repères de l’histoire politique, culturelle
et scientifique des pays européens
qu’elle a traversés; des «histoires»
nous font plonger dans les événements
et tracent les traits de sa personnalité.
Apparaissent ainsi les contraintes et
interdictions pesant sur Sophie et les
femmes qui lui sont proches. Éternelle
mineure, sans liberté de mouvement
sauf à être mariée, sans accès possible
à l’université, le veuvage est à peu près
la seule façon pour une femme d’être
majeure et respectable, et aussi libre
qu’une femme peut l’être; c’est ce
qui se passera pour elle.
Le cœur du récit concerne les mathéma-
tiques et explique des mathématiques:
la thèse de Sophie d’abord (1874),
dirigée par Karl Weierstrass, puis les
articles sur le mouvement d’un solide autour d’un point xe
qui lui vaudront le prix Bordin de l’Académie des Sciences
de Paris (1888).
Le théorème démontré dans la thèse, dit «théorème de
Cauchy-Kovalevskaya», généralise un résultat de Cauchy, il
arme l’existence, sous certaines conditions, d’une solution
analytique locale unique pour une équation aux dérivées
partielles analytiques, et donne un contre-exemple montrant
l’optimalité de ces conditions qui surprend Weierstrass.
Le problème du mouvement d’un solide pesant avec un
point xe est ancien, il traîne depuis le XVIIIème siècle.
Il s’agit de décrire explicitement le mouvement à l’aide de
fonctions; Euler l’a résolu dans le cas où le centre de gra-
vité du solide coïncide avec le point xe, Lagrange dans le
cas où la droite qui joint le centre de gravité au point xe
est axe de révolution du solide, le cas d’une toupie. Sophie
remarque que, dans ces deux cas, les solutions sont des
fonctions méromorphes du temps (considéré alors comme
une variable complexe) et se demande pour quelles autres
formes de solides les solutions peuvent être de ce type. Elle
montre alors que le mouvement ne peut être complètement
décrit par des formules que dans les deux cas déjà traités et
un troisième cas, celui d’un solide avec un axe de révolu-
tion orthogonal à la droite joignant le centre de gravité et
le point xe, ce solide va s’appeler «toupie de Kowalevski».
Le récit s’organise alors sur deux niveaux, des commen-
taires d’époque certes, mais c’est la mathématicienne qui
fait comprendre. Qu’entendre par faire
comprendre? Avoir le souci de trans-
mettre à des non-experts ce qui, d’une
aventure intellectuelle particulière, peut
être perçu dans sa généralité, tout en
faisant l’impasse sur des technicités par
ailleurs admirables: dessiner, expliquer,
simplier pour donner à voir les formes
de pensée, trouver chez l’autre, le lec-
teur, le point de résonance qui va lui
permettre de partager quelque chose des
aspects de la pratique mathématique.
À partir de ses propres questions de
recherche sur l’intégrabilité des sys-
tèmes différentiels, elle a rencontré
le cas de la toupie de Kowalevski et,
de là, elle a rencontré Soa Kovalevs-
kaya. Elle explique donc en projetant
son expérience de mathématicienne, celle-ci lui per-
met d’argumenter et de démontrer avec soin en quoi
ce travail est remarquable et novateur: il fait avancer
un problème sur lequel d’autres ont travaillé, il en pro-
pose une approche nouvelle qui conduit à appliquer des
techniques nouvelles, il fait émerger de nouveaux pro-
blèmes, dont on recommence à parler près d’un siècle
après. Des mémoires du prix Bordin à la connaissance
actuelle des différentes notions d’intégrabilité, cette
histoire permet aussi de souligner, en passant, deux in-
variants dans l’exercice des mathématiques: étudier une
situation au miroir d’une autre (ici, examiner la possi-
bilité pour un système différentiel d’être complètement
intégrable à travers le groupe de Galois différentiel d’un
système linéaire associé), voir l’événement auquel on
s’intéresse comme la trace d’une situation plus simple
en dimension supérieure (ici «la toupie de Kowalevski»
est la manifestation dans notre dimension 3 d’espace
d’une famille de «toupies» qui apparaissent de façon
Soa Kovalevskaya - août 1895

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parfaitement naturelle en dimensions plus grandes, au
cœur même des relations entre intégrabilité et algèbres
de Lie affines» 6).
Mais les mathématiques font partie de la vie et s’inscrivent
dans une société, le récit montre comment était organisée et
travaillait l’élite de la communauté mathématique de l’Europe
occidentale au sein de laquelle Sophie a pu faire carrière, sou-
tenue par ses amis Weierstrass et Mittag-Leer, en surmontant
dicultés et obstacles. À travers les documents d’époque est
mise au jour la misogynie qui s’est exercée contre elleau-delà
du strict cadre institutionnel : jugements condescendants sur
son travail, manœuvres pour l’empêcher de recevoir des dis-
tinctions, accusations entretenues de dépendance scientique
vis-à-vis de Weierstrass, remarques désobligeantes sur son
style de vie, rumeurs sur des erreurs qu’elle aurait commises
dans son travail et, au nal, refoulement de ce qu’elle a pu ap-
porter. Sophie Kovalevskaya était internationalement connue
et avait une excellente réputation scientique à l’époque,
ce n’est plus tout à fait le cas aujourd’hui. Un roman s’est
construit sur son histoire pour en faire un personnage en
phase avec l’idée conventionnelle de la féminité.
Fatou, Julia, Montel, le grand prix des sciences mathématiques
de 1918 et après… 7 a une structure moins déconcertante et
l’empathie est moins forte avec le personnage un peu oublié
de Fatou. Mais, le choix est ici encore de faire reconnaître
l’importance des travaux de Fatou et sa modernité dans son
époque, d’expliquer pourquoi il est cependant mal connu et
comment cette méconnaissance puise dans sa personnalité
et dans l’histoire événementielle, celle de la guerre de 1914-1918,
véritable tuerie dans laquelle les jeunes intellectuels français
de l’ENS ont payé un particulièrement lourd tribut. Le récit
est une histoire d’hommes, il suit un ordre à peu près chro-
nologique, celui des documents sortis des comptes rendus
de séances de l’Académie des sciences, des mémoires publiés,
des correspondances. L’ouverture présente les thèmes en
1915, le problème et les personnages, mais c’est la guerre
qui sonne le glas, une génération de mathématiciens a été
sacriée et décimée. Pierre Fatou, 32 ans en 1914, de santé
fragile, n’a pas été mobilisé; Gaston Julia, brillant norma-
6Michèle Audin, op.cit.
7Michèle Audin, Fatou, Julia, Montel, le grand prix des sciences mathématiques de
1918, et après…, éd. Springer, Berlin, 2009.
lien, gravement blessé en janvier 1915 quelques mois après
être parti au front, renaît à la vie dans les sourances d’une
hospitalisation au Val de Grâce en travaillant les mathéma-
tiques; «gueule cassée», il portera toute sa vie un masque
de cuir. Hadamard, Jordan, Borel, Picard ont perdu des ls
dans la tourmente et celui-là qui est revenu sera leur gage de
renouvellement possible, ils soutiendront sa carrière.
L’itération des fractions rationnelles dans le domaine réel
est une question ancienne, liée à la résolution approchée des
équations algébriques par la méthode de Newton. Dans les
dernières années du XIXème siècle, l’extension de cette méthode
au domaine complexe a été étudiée d’un point de vue local.
Les travaux de Gabriel Koenigs ont conduit à la notion de
points d’attraction: si est un point xe de la fonction,
sous certaines conditions, les transformés successifs d’un
point z pris au voisinage de tendent vers . De nombreux
problèmes se posent alors: les points attractifs sont-ils
en nombre limité, quel est le domaine d’attraction de l’un
d’eux, quelle division du plan est ainsi associée à une fonction
donnée? La note de Fatou de 1906 est une première
tentative pour une étude globale, il y montre en gros que
les itérées d’une fraction rationnelle avec un unique point
xe convergent vers ce point sauf sur un ensemble totale-
ment discontinu et parfait; dans les autres cas, les lignes qui
séparent les domaines de convergence ne sont pas, en gé-
néral, analytiques. C’est la première fois que cette question
rencontre «la théorie des ensembles de points» (devenue la
topologie générale).
En décembre 1915, l’Académie des sciences met au concours,
pour l’année 1918, l’étude de la suite des puissances d’une
même substitution, en fonction du choix d’un élément initial.
Fatou et Julia, jeunes mathématiciens bénéciant, par leurs
études à l’ENS, d’un corpus de connaissances commun,
travaillent indépendamment le sujet du concours. Le récit suit
le rythme des notes de Fatou présentées en séance à l’Aca-
démie et celui des plis cachetés déposés par Julia. Ce dernier
apporte, le 24 décembre 1917, son manuscrit concourant
pour le grand prix et demande par lettre l’ouverture de ses
plis armant, avec une certaine arrogance, qu’ils contien-
nent les résultats annoncés par Fatou dans sa dernière note,
assertion que l’Académie juge fondée. Fatou ne concourt
pas, laissant la place libre à Julia, tout en continuant à travailler
la question et à publier.
Mais, si le problème de l’itération est au cœur des mathé-
matiques du récit, il ne s’agit pas d’une histoire de ce

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problème; il sut, pour le voir, de le comparer avec le texte
de D.S Alexander 8 par exemple. Il ne s’agit pas non plus
d’une lecture mathématicienne des articles qui éclairent les
résultats nouveaux en remettant en place les liations de-
puis Fatou et Julia 9.
L’explication mathématique des mémoires de l’un et de
l’autre fait comprendre comment deux mathématiciens,
au sein d’une communauté, aboutissent indépendamment
sur un même problème à des résultats analogues avec des
styles mathématiques diérents (Julia dans l’analyse com-
plexe «à la Picard», Fatou, de par la théorie de la mesure,
plus ouvert à la topologie générale en création). Faire saisir
comment ces travaux construisent de nouveaux objets
et installent peu à peu un vocabulaire, comment cette re-
cherche, quoique spécialisée, convoque pour avancer d’autres
branches des mathématiques. Un des beaux moments de
l’intrigue mathématique est certainement la prise en main
par l’un et l’autre, sans concertation réciproque, de l’outil
8Daniel S. Alexander, A history of complex dynamics from Schröder to Fatou and
Julia, Vieweg § Sohn, Braunschweig/Wiesbaden, 1994.
9Voir pour cela Paul Blanchard, «Complex analytic dynamics on the Riemann
sphere», Bulletin of the AMS, vol 11, 1984; ou F. Haeseler et H.O. Peitgen,
«Newton’s method and complex dynamical systems», Acta applicandae math-
ematicae, 13, 1988.
des familles normales de fonctions méromorphes, présenté
par Paul Montel dans une note de 1917, ce qui montre à
quel point les pratiques sont déterminantes dans le travail
mathématique.
Après les publications de Fatou et Julia, la théorie des
ensembles de Julia s’endort pendant 50 ans environ (Ju-
lia n’a pas eu d’élèves intéressés à cette question et Fatou,
astronome-adjoint à l’observatoire de Paris, est à l’écart et
meurt assez jeune). Elle se trouve réactivée par le travail de
B. Mandelbrot sur des phénomènes naturels ou autres qui
n’obéissent pas au hasard circonscrit dans la loi des grands
nombres. Il présente, en 1980, les aspects fractals d’une
itération; des images d’ensembles de Julia peuvent alors être
vues réellement, en rapport avec un nouvel objet, «l’en-
semble de Mandelbrot». Depuis, l’expérimentation mathé-
matique via le support des machines amène à de nouvelles
découvertes et beaucoup prospectent la théorie.
L’autre partie du récit, inséparable de la première, ni en
contrepoint, ni en avant-scène, détachée et présente, dessine
les personnalités, les relations humaines à l’intérieur de la
communauté mathématique française et le traumatisme de
la guerre. Cette tension parcourt la forme chronologique
du récit : l’eort de guerre des mathématiciens, l’ambiance
patriotique, la propagande, la collaboration coupée pour
de longues années avec les mathématiciens allemands, la
toute puissance d’Émile Picard, les coteries et les querelles
de priorité.
Ces deux études de cas dépassent leurs singularités, elles
dégagent sur fond d’époque un paysage du monde mathé-
matique et orent ainsi une sorte de miroir à notre com-
munauté où coexistent réaction et audaces. Elles racontent
comment les mathématiques actuelles peuvent se créer sans
rien perdre de leurs origines tout en s’en détachant, ouvertes
à d’autres transformations, comme va la vie.
1 - e Mandelbrot set and some magnications.
2 - Four dierent Julia sets of pc(z) = z 2 + c.
Newton’s Method and Complex Dynamical Systems
F. Haeseler and H.O. Peitgen
Acta Applicandae Mathematicae 13 (1988), 3 58. 3
© 1988 by KluwerAcademic Publishers
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