II - L`approche fréquentiste

Les dés sont-ils à jeter
Colloque inter-irem de Périgueux
19-21 juin 2008, Michel Henry
Émergence de la probabilité :
de la définition classique
à l’approche fréquentiste
Quelle introduction en troisième ?
II - L’approche fréquentiste et l’enseignement
III - La modélisation
Le théorème de Bernoulli :
D’une urne de Bernoulli contenant t boules dont r blanches (fertiles) et s noires
(stériles), on tire nt boules avec remises et on compte les boules blanches obtenues
(schéma binomial). Bernoulli formule ainsi son théorème :
« On peut concevoir des expériences en un nombre tel qu’il soit plus vraisemblable
d’autant de fois que l’on veut que le nombre des observations fertiles soit au nombre
r 1
de toutes les observations dans un rapport ni plus grand que
, ni plus petit que
r 1
t
».
t
Traduction moderne : Une même expérience aléatoire est répétée un nombre n de fois
 réalisant un événement
suffisamment grand. On s’intéresse à la fréquence Fn des issues
donné de probabilité p. Cette situation peut être décrite par le schéma binomial de
l’énoncé de Bernoulli, où p = r/t ; on note  = 1/t, la précision de l’approximation.
Alors, il y a une probabilité aussi voisine de 1 que l’on veut que l’écart entre la
fréquence Fn des issues réalisant l’événement et sa probabilité p soit plus petit que
tout  donné.
Cette fréquence observée Fn peut donc être prise pour estimer la probabilité p,
et cet énoncé explicite la condition de confiance :
P(Fn –  < p < Fn + ) > 1– 
(1– est le niveau de confiance)
II - L’approche fréquentiste :
Elle est dite « objectiviste », liée aux notions de « fréquence », « tendance », « loi
des grands nombres », la probabilité serait une mesure objective de l’incertitude.
La définition d’Alfred Renyi (calcul des probabilités, Dunod, 1966)
« Nous appellerons probabilité d'un événement le nombre autour duquel
oscille la fréquence relative de l'événement considéré… »
Ce nombre existe-t-il ? Est-il donné de manière unique ? Peut-on toujours le
déterminer ?
« … la théorie mathématique des probabilités ne s'occupe pas de jugements
subjectifs ; elle concerne les probabilités objectives, qui peuvent être mesurées
comme des grandeurs physiques ».
Ceci en vertu du théorème de Bernoulli :
  > 0,   > 0 et n assez grand, P(Fn –  < p < Fn + ) > 1– 
Ces fréquences observées Fn peuvent donc être prises comme « mesures » à 
près pour estimer la probabilité p de l’événement par l’encadrement de
confiance indiqué, avec un risque inférieur à  de se tromper.
Problèmes didactiques posés par cet énoncé
Dans la formule P(|Fn – p| < ) > 1– , il y a deux sortes de probabilités:
- p qui est introduite à partir d’un modèle d’urne par la définition « classique ».
- P qui traduit un risque (celui de se tromper en disant que p est dans l’intervalle de
confiance). Cette probabilité n’est pas de même nature que la probabilité « objective »
p. relève-t-elle aussi d’une approche fréquentiste ?
- Combien faut-il faire d’expériences réellement pour garantir cette mesure ?
- Comment faire fonctionner cette définition fréquentiste dans un problème ?
- La définition de Renyi repose sur l’énoncé de Bernoulli qui sera ensuite démontré
comme théorème. Cercle vicieux ?
La définition « fréquentiste » confond deux domaines qu’il faut pourtant bien séparer :
- le domaine de la réalité où l’on observe les fréquences Fn de réalisations d’un
événement au cours de n répétitions d’une même expérience aléatoire,
- le domaine théorique (mathématique) où les objets sont définis abstraitement.
Renyi explique: La «définition» de la probabilité comme valeur autour de laquelle
oscille la fréquence relative n'est pas une définition mathématique mais une
description du substrat concret du concept de probabilité.
Alors, quelle est la « définition mathématique » ?
Laissons la conclusion à Pierre-Simon Laplace :
« Il est remarquable qu’une science qui a commencé par la
considération des jeux se soit élevée aux plus importants objets
des connaissances humaines »…
« … On voit par cet Essai que la théorie des probabilités n'est
au fond que le bon sens réduit au calcul : elle fait apprécier
avec exactitude, ce que les esprits justes sentent par une sorte
d'instinct, sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte… »
« … on verra qu'il n'est point de science plus
digne de nos méditations, et qu'il soit plus utile
de faire entrer dans le système de l'instruction
publique. »
Conclusion de l’Essai Philosophique de 1812