II - L`approche fréquentiste

Les dés sont-ils à jeter
Colloque inter-irem de Périgueux
19-21 juin 2008, Michel Henry
Émergence de la probabilité :
de la définition classique
à l’approche fréquentiste
Quelle introduction en troisième ?
II -L’approche fréquentiste et l’enseignement
III - La modélisation

Le théorème de Bernoulli :
D’une urne de Bernoulli contenant t boules dont r blanches (fertiles) et s noires
(stériles), on tire nt boules avec remises et on compte les boules blanches obtenues
(schéma binomial). Bernoulli formule ainsi son théorème :
«On peut concevoir des expériences en un nombre tel qu’il soit plus vraisemblable
d’autant de fois que l’on veut que le nombre des observations fertiles soit au nombre
de toutes les observations dans un rapport ni plus grand que , ni plus petit que
».
r1
t
r1
t
Traduction moderne : Une même expérience aléatoire est répétée un nombre nde fois
suffisamment grand. On s’intéresse àla fréquence Fndes issues réalisant un événement
donnéde probabilitép. Cette situation peut être décrite par le schéma binomial de
l’énoncéde Bernoulli, oùp=r/t ; on note = 1/t, la précision de l’approximation.
Alors, il y a une probabilitéaussi voisine de 1 que l’on veut que l’écart entre la
fréquence Fndes issues réalisant l’événement et sa probabilitépsoit plus petit que
tout donné.
Cette fréquence observée Fnpeut donc être prise pour estimer la probabilitép,
et cet énoncéexplicite la condition de confiance :
P(Fn–<p<Fn+) > 1–(1–est le niveau de confiance)

La définition d’Alfred Renyi (calcul des probabilités, Dunod, 1966)
«Nous appellerons probabilitéd'un événement le nombre autour duquel
oscille la fréquence relative de l'événement considéré… »
Ce nombre existe-t-il ? Est-il donnéde manière unique ? Peut-on toujours le
déterminer ?
«…la théorie mathématique des probabilités ne s'occupe pas de jugements
subjectifs ; elle concerne les probabilités objectives, qui peuvent être mesurées
comme des grandeurs physiques ».
Ceci en vertu du théorème de Bernoulli :
  > 0,   > 0 et nassez grand, P(Fn–<p<Fn+) > 1–
Ces fréquences observées Fnpeuvent donc être prises comme «mesures »à
près pour estimer la probabilitép de l’événement par l’encadrement de
confiance indiqué, avec un risque inférieur àde se tromper.
II - L’approche fréquentiste :
Elle est dite «objectiviste », liée aux notions de «fréquence », «tendance », «loi
des grands nombres », la probabilitéserait une mesure objective de l’incertitude.

Problèmes didactiques posés par cet énoncé
Dans la formule P(|Fn–p|< ) > 1–, il y a deux sortes de probabilités:
-pqui est introduite àpartir d’un modèle d’urne par la définition «classique ».
- P qui traduit un risque (celui de se tromper en disant que pest dans l’intervalle de
confiance). Cette probabilitén’est pas de même nature que la probabilité « objective »
p. relève-t-elle aussi d’une approche fréquentiste ?
- Combien faut-il faire d’expériences réellement pour garantir cette mesure ?
- Comment faire fonctionner cette définition fréquentiste dans un problème ?
- La définition de Renyi repose sur l’énoncéde Bernoulli qui sera ensuite démontré
comme théorème. Cercle vicieux ?
La définition «fréquentiste »confond deux domaines qu’il faut pourtant bien séparer :
- le domaine de la réalitéoùl’on observe les fréquences Fnde réalisations d’un
événement au cours de nrépétitions d’une même expérience aléatoire,
- le domaine théorique (mathématique) oùles objets sont définis abstraitement.
Renyi explique: La «définition»de la probabilitécomme valeur autour de laquelle
oscille la fréquence relative n'est pas une définition mathématique mais une
description du substrat concret du concept de probabilité.
Alors, quelle est la « définition mathématique » ?

Laissons la conclusion à Pierre-Simon Laplace :
«Il est remarquable qu’une science qui a commencépar la
considération des jeux se soit élevée aux plus importants objets
des connaissances humaines »…
«…On voit par cet Essai que la théorie des probabilités n'est
au fond que le bon sens réduit au calcul : elle fait apprécier
avec exactitude, ce que les esprits justes sentent par une sorte
d'instinct, sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte…»
«… on verra qu'il n'est point de science plus
digne de nos méditations, et qu'il soit plus utile
de faire entrer dans le système de l'instruction
publique. »Conclusion de l’Essai Philosophique de 1812