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Systèmes d’équations
et analyse de circuits
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les matrices
pour faire l’analyse d’un circuit. Nous ferons d’abord une analyse
classique par les branches et nous verrons comment diminuer le
nombre d’équations en faisant une analyse par les mailles pour ensuite
présenter une façon programmée de traduire la situation par une
équation matricielle.
Mais tout d’abord, rappelons les notions, définitions et lois dont nous
nous servirons.
Définitions
Circuit électrique
Un circuit électrique est un ensemble
d’éléments (sources de tension, sources de
courant, résistances, etc.) reliés par des
conducteurs (fils).
Branche d’un circuit
Une branche d’un circuit est une partie
d’un circuit constituée d’un ou de
plusieurs éléments montés en série.
Définitions et notations
V1
Maille d’un circuit
R1
Une maille d’un circuit est un trajet fermé
et conducteur.
Nœud d’un circuit
V2
R2
R3
V3
E
Un nœud d’un circuit est un point ou un conducteur auquel sont reliées
différentes branches du circuit.
Notations
La tension à la source en volts (V) est notée E.
La résistance en ohms (Ω) est notée R, avec ou sans indice.
La différence de potentiel aux bornes d’une résistance est notée V. Elle
est mesurée en volts.
L’intensité du courant en ampères (A) est notée I, avec ou sans indice.
Loi d’Ohm
Dans un circuit à courant continu, l’intensité du courant est
directement proportionnelle à la tension appliquée et inversement
proportionnelle à la résistance. Cette loi s’écrit :
I = V/R
où I est l’intensité du courant en ampères (A), V, la tension appliquée
en volts (V) et R, la résistance en ohm (Ω).
On exprime souvent la loi d’Ohm sous la forme :
V = RI.
Potentiel et sens conventionnel
L’effet de la source est une
augmentation de potentiel (lorsque
traversée par le courant du – au +) et
l’effet d’une résistance est une
diminution du potentiel (lorsque
traversée du + au –).
Sens conventionnel
On utilise ici le sens conventionnel du courant, ce qui signifie que le
courant, dans le circuit, va de la borne positive de la source vers sa
borne négative (le sens réel va de la borne négative à la positive).
Au début des études sur le courant, on pensait que le courant était dû
au déplacement de particules positives alors qu’il est dû au
déplacement d’électrons de charge négative. On peut tout aussi bien
considérer le sens réel, cela a pour effet de changer le signe des deux
membres des équations dans l’analyse d’un circuit.
Loi des tensions de Kirchhoff
Dans toute maille d’un circuit, la
somme algébrique des différences de
potentiel (incluant celle à la source)
est nulle.
V
V11
V22
E
E
En appliquant la loi des tensions à la
première maille, on a :
V
V44
V33
E – V1 – V2 – V3 = 0 ou V1 + V2 + V3 = E
En l’appliquant à la deuxième maille, on a :
V2 – V4 = 0 ou –V2 + V4 = 0
S
En l’appliquant à la troisième maille, on a :
E – V1 – V4 – V3 = 0 ou V1 + V3 + V4 = E
La troisième équation est la somme des deux premières, elle est donc
superflue. Ce n’est pas une nouvelle contrainte sur les variable
Loi des courants de Kirchhoff
La somme algébrique des courants
dans un nœud est nulle.
En appliquant cette loi au premier
nœud, on obtient :
I1 – I2 – I3 = 0
En l’appliquant au deuxième nœud,
–I1 + I2 + I3 = 0
La deuxième équation est superflue.
Autre exemple :
I1 + I2 – I3 = 0
S
I1
I3
I2
I2
I1
I3
I1
I3
I2
Analyse de circuits
L’analyse d’un circuit vise à trouver les éléments inconnus de celui-ci
qui peuvent être des courants ou des tensions. Nous ne considérerons ici
que les circuits dont les inconnues sont les courants.
Analyse par les branches
L’analyse par les branches consiste à attribuer un courant à chacune
des branches et à établir les équations de nœuds et de mailles en
utilisant les lois de Kirchhoff.
On transforme alors les équations de mailles en utilisant la loi d’Ohm
et on solutionne le système d’équations obtenu.
Analyse par les branches
Faire l’analyse par les branches du circuit
illustré.
Courants de branches
Attribuons un courant à chacune des
branches.
V3
V1
+
I1
–
VV22
–
+
I2
–
I3
+
Équation du nœud
Il y a deux nœuds, mais ils donnent la
même équation, soit :
Équation de la maille 1
15 – V1 + V2 – 5 = 0 ou V1 – V2 = 10.
Puisque V1 = 4I1 et V2 = 5I2, on a :
Équation de la maille 2
5 – V2 – V3 + 18 = 0 ou V2 + V3 = 23.
Puisque V2 = 5I2 et V3 = 2I3, on a :
I1 + I2 – I3 = 0
4I1 – 5I2 = 10
5I2 + 2I3 = 23
S
Solution
I1 + I2 – I3 = 0
Nous devons résoudre le système d’équations :
4I1 – 5I2 = 10
5I2 + 2I3 = 23
1
1 –1 0
La matrice augmentée est : 4 –5 0 10 Appliquons la méthode
de Gauss-Jordan.
0
5 2 23
1
1 –1 0
1
1 –1 0
L1
4 –5 0 10 ≈ L2 – 4 L1 0 –9 4 10
L3
0
5 2 23
0
5 2 23
0 0 1665
342
9
0
–5
10
38L
+
5L
9L1 + L2
1
3
0 –171 0 –324
0 –9 4 10 ≈ 19L2 – 2L3
≈ L2
0 38
257
0
L3
9L3 + 5L2 0
0 38 257
L1 /342
≈ L2 /(–171)
L3 /38
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4,87
1,89
6,76
On trouve donc :
I1 = 4,87 A,
I2 = 1,89 A,
I3 = 6,76 A.
S
Interprétation des résultats
La solution est complète lorsqu’on a
indiqué sur le circuit le courant dans
chacune des branches. On a obtenu :
4,87 A
6,76 A
1,89 A
I1 = 4,87 A, I2 = 1,89 A et I3 = 6,76 A
Puisque toutes les valeurs sont positives, cela signifie que le sens que
l’on avait supposé pour les courants est le bon.
Remarque
Il ne sert à rien de chercher à deviner le sens du courant avant d’écrire
les équations. La solution du système d’équations nous l’indique. Si
dans la solution un des courants est négatif, cela signifie que son sens
est contraire à celui utilisé pour établir les équations. Il suffit d’être
cohérent en établissant les équations.
Exercice
Faire l’analyse par les branches du
circuit illustré en considérant les sens
indiqués pour les courants.
+
I1
Courants de branches
+
Cliquer pour la solution.
Équation de N1
I1 + I2 – I3 = 0
Équation de M1
3I1 – 3I2 = 18
Équation de M2
3I2 + 4I3 = 4
Matrice échelonnée réduite
1
0
0
0
1
0
0 4,18
0 –1,82
1 2,36
– +
–
I2
I3
Circuit résolu
4,18 A
2,36 A
1,82 A
–
Analyse par les mailles
L’idée de l’analyse par les mailles est
d’isoler dans l’équation de nœud le courant
de la branche commune à deux mailles et
de substituer l’expression obtenue dans les
équations de ces mailles. Considérons le
circuit illustré ci-contre.
+
I1
–
+
–
– I
I2 3
+
L’équation de nœud est :
I1 + I2 – I3 = 0
En isolant le courant de la branche commune, on obtient :
I2 = I3 – I1
Substituons dans les équations de mailles.
Dans 4I1 – 5I2 = 10, on obtient : 4I1 – 5(I3 – I1 ) = 10
Dans 5I2 + 2I3 = 23 , on obtient : 5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23
Équations des mailles
Par cette substitution, on obtient un
système de deux équations à deux
inconnues, soit :
4I1 – 5(I3 – I1 ) = 10
I1
I3
5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23
On peut sauter une étape de l’analyse par les branches de façon à
obtenir directement ces deux équations.
Pour ce faire, considérons seulement I1 et I3 appelés courants de maille,
tous deux de sens horaire.
Établissons les équations de mailles en considérant que le courant dans
la branche commune est soit I1 – I3 soit I3 – I1 selon la maille considérée.
En appliquant directement la loi d’Ohm, on trouve alors :
4I1 + 5(I1 – I3 ) = 10, dans la première maille.
5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23, dans la deuxième maille.
Solution du système
Regroupons les inconnues dans les
équations du système :
4I1 + 5(I1 – I3 ) = 10
I1
I3
5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23
On obtient :
9I1– 5I3 = 10
–5I1 + 7I3 = 23
Appliquons la méthode de Gauss-Jordan.
9 –5 10
9 –5 10
L1
≈
9L2 +5L1
–5 7 23
0 38 257
38L1 + 5L2
≈
L2
Cela donne :
342
0
0
38
1665
257
L1 /342
≈
L2 /38
I1 = 4,87 et I3 = 6,76.
S
1
0
0
1
4,87
6,76
Interprétation
On a obtenu :
I1 = 4,87 A et I3 = 6,76 A.
Interprétons les résultats.
Les courants de maille sont les
courants de branches sauf dans la
maille commune.
4,87 A
6,76 A
1,89 A
Dans la maille commune, le courant est I1 – I3 ou I3 – I1. Il faut
déterminer laquelle de ces expressions est positive. Dans le cas présent,
on a I3 > I1, par conséquent, le sens du courant dans la branche
commune est le même que le courant de maille I3 et sa valeur est :
I3 – I1 = 6,76 – 4,87 = 1,89 A.
Le courant dans la maille commune doit équilibrer l’équation de
nœud pour que la loi des courants soit satisfaite.
Exercice
Faire l’analyse par les mailles du circuit
illustré.
Cliquer pour la solution.
Équations
3I1 + 3(I1 – I2) = 18
Circuit résolu
3(I2 – I1) + 4I2 = 4
Matrice
augmentée
Matrice
échelonnée
réduite
6 –3
–3 7
1
0
18
4
0 4,18
1 2,36
4,18 A
2,36 A
1,82 A
Exercice
Faire l’analyse par les mailles du
circuit illustré.
2Ω
2Ω
Cliquer pour la solution.
Équations
2I1 + 2(I1 – I2) = 14
14V
2(I3 – I2) + 1I3 = 14
Matrice
augmentée
Échelonnée
réduite
1
0
0
–2 0
7 –2
–2 3
0
1
0
1Ω
2Ω
14V
Circuit résolu
2(I2 – I1) + 3I2 + 2(I2 – I3) = 0
4
–2
0
3Ω
14
0
14
0 5,25
0 3,5
1
7
2Ω
3Ω
5,25A
3,5A
1,75A
2Ω
14V
1Ω
7A
3,5A
2Ω
14V
Généralisation
Construire la matrice des mailles du
circuit illustré.
Équations
aI1 + b(I1 – I2) = E1
b(I2 – I1) + cI2 + d(I2 – I3) = E2
d(I3 – I2) + eI3 = E3
En regroupant :
(a + b)I1 – bI2 = E1
–bI1 + (b + c + d)I2 – eI3 = E2
–dI2 + (d + e) I3 = E3
L’équation matricielle est :
a+b
–b
0
I1
–b b + c + d –d • I2
0
–d
d+e
I3
aΩ
cΩ
2
1
bΩ
E1 V
E2 V
eΩ
3
dΩ
E3 V
Remarques
• Chaque maille est représentée
par une ligne.
• L’élément sur la diagonale est
la somme des résistances de la
S
maille.
• Les éléments hors diagonale
sont
les
résistances
des
branches communes affectées
E1 d’un signe négatif.
= E2
E3
Exercice
Dans le circuit illustré, déterminer les
sources de tension et leur sens pour que
les courants de maille soient :
I1 = 5 A, I2 = 1 A et I3 = 4 A.
2Ω
1
3Ω
4Ω
2
3
1Ω
3Ω
Cliquer pour la solution.
L’équation matricielle est :
Le circuit résolu est :
3
–1
0
I1
E1
4Ω
2Ω
3Ω
–1
7 –3 • I2 = E2
S
0
–3
7
I3
E3
1
2
3
Les courants sont connus, en substituant
et en effectuant le produit, on obtient :
1Ω
3Ω
3
–1
0
5
14
–1
7 –3 • 1 = –10
14V
10V
25V
0
–3
7
4
25
Généralisation
Construire la matrice des mailles du
circuit illustré.
Équations
a(I1 – I2) + c(I1 – I3) = E1
E2 V
E1 V
bΩ
2
aΩ
1
a(I2 – I1) + bI2 + d(I2 – I3) = E2
–cI1 – dI2 + (c + d + e) I3 = E3
L’équation matricielle est :
–a
a+c
–c
–a a + b + d –d
•
–d c + d + e
–c
I1
I2 =
I3
eΩ
cΩ 3
E3 V
c(I3 – I1) + d(I3 – I2) + eI3 = E3
En regroupant :
(a + c)I1 – aI2 – cI3 = E1
–aI1 + (a + b + d)I2 – dI3 = E2
dΩ
Remarques
S
E1
E2
E3
• Chaque maille est représentée par une ligne.
• L’élément sur la diagonale est
la somme des résistances de
la maille.
• Les éléments hors diagonale
sont les résistances des
branches communes affectées
d’un signe négatif.
Exercice
3Ω
Dans le circuit illustré, déterminer les
sources de tension et leur sens pour que
les courants de maille soient
I1 = 6 A, I2 = 2 A et I3 = 4 A.
2
2Ω
1
Cliquer pour la solution.
4Ω
3Ω
1Ω
3
L’équation matricielle est :
3
–2
–1
–2
9
–4
–1
–4
8
•
I1
I2 =
I3
E1
E2
E3
Le circuit résolu est :
S
10V
Les courants sont connus, en substituant
et en effectuant le produit, on obtient :
3
–2
–1
–2
9
–4
–1
–4
8
•
6
2
4
10
= –10
18
3Ω
2Ω
10V
1
2
1Ω
4Ω
3Ω
3
18V
Procédure d’analyse par les mailles
1. Numéroter les mailles et attribuer un courant de sens horaire à
chacune des mailles du circuit.
2. Écrire la matrice des mailles.
Chaque ligne et chaque colonne est associée à une maille.
Chaque élément de la diagonale est la somme des résistances de la
maille correspondant à la ligne de cet élément.
Les éléments hors diagonale sont la somme, affectée d’un signe
négatif, des résistances communes à la maille représentée par la
ligne et à celle représentée par la colonne.
Procédure d’analyse par les mailles
3. Écrire la matrice des tensions.
La constante de l’équation de la maille Mi est la somme algébrique
des sources de tension traversée par le courant Ii . Les sources
traversées de la borne négative à la borne positive sont affectées du
signe positif et celles traversées de la borne positive à la borne
négative sont affectées du signe négatif.
4. Résoudre le système d’équations linéaires résultant.
5. Interpréter les résultats selon le contexte (donner le circuit résolu).
Exercices additionnels
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle pour les sciences de la nature,
Section 2.4, p. 54 numéros 12 à 15.
Bibliographie
BOYLESTAD, Robert L,(1979), Analyse de circuits, introduction, Montréal, ERPI,
716 p.
JACKSON, Herbert W.(1987), Circuits électriques, courant continu, Traduction de
Introduction to Electric Circuits 6 édition, Montréal, Éditions Reynald Goulet, 424 p.
OUELLET, Carol (2000), Électricité et magnétisme, Québec, Éditions du Griffon
d’argile, 368 p.
RIDSDALE, R.E. (1980), Circuits électriques, Montréal, McGraw-Hill, 797 p.
ROSS, André (2003), Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, Applications en sciences
de la nature, Québec, Éditions du Griffon d ’argile, 445 p.
ROSS, André (1999), Mathématiques appliquées aux technologies du Génie
électrique 1, Québec, Éditions du Griffon d ’argile, 427 p.