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Systèmes d’équations
et analyse de circuits
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
?
Introduction
Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les
matrices pour faire l’analyse d’un circuit. Nous ferons
d’abord une analyse classique par les branches et nous
verrons comment diminuer le nombre d’équations en faisant
une analyse par les mailles pour ensuite présenter une façon
programmée de traduire la situation par une équation
matricielle.
Mais tout d’abord, rappelons les notions, définitions et lois
dont nous nous servirons.
Définitions
Circuit électrique
Un circuit électrique est un ensemble
d’éléments (sources de tension,
sources de courant, résistances,
etc.) reliés par des conducteurs
(fils).
Branche d’un circuit
Une branche d’un circuit est une
partie d’un circuit constituée d’un ou
de plusieurs éléments montés en
série.
Définitions et notations
V1
Maille d’un circuit
R1
Une maille d’un circuit est un trajet
fermé et conducteur.
Nœud d’un circuit
V2
R2
V3
R3
E
Un nœud d’un circuit est un point ou un conducteur auquel sont
reliées différentes branches du circuit.
Notations
La tension à la source en volts (V) est notée E.
La résistance en ohms (Ω) est notée R, avec ou sans indice.
La différence de potentiel aux bornes d’une résistance est
notée V. Elle est mesurée en volts.
L’intensité du courant en ampères (A) est notée I, avec ou
sans indice.
Loi d’Ohm
Dans un circuit à courant continu constant, l’intensité du
courant est directement proportionnelle à la tension
appliquée et inversement proportionnelle à la résistance.
Cette loi s’écrit :
I = V/R
où I est l’intensité du courant en ampères (A), V, la tension
appliquée en volts (V) et R, la résistance en ohm (Ω).
On exprime souvent la loi d’Ohm sous la forme :
V = RI.
Potentiel et sens conventionnel
On observe une augmentation de
potentiel en traversant une source
du - au + et une diminution de
potentiel en traversant une résistance du + au -.
On utilise ici le sens conventionnel du courant dans le circuit,
ce qui signifie que le courant va de la borne positive de la
source vers sa borne négative. Le sens réel va de la borne
négative à la positive.
Au début des études sur le courant, on pensait que le courant
était dû au déplacement de particules positives alors qu’il est
dû au déplacement d’électrons de charge négative. On peut
tout aussi bien considérer le sens réel, cela a pour effet de
changer le signe des deux membres des équations.
Loi des tensions de Kirchhoff
Dans toute maille d’un circuit, la
somme algébrique des différences de potentiel (incluant celle
à la source) est nulle.
En appliquant
maille, on a :
à
la
V11
EE
première
V33
V22
V
V44
E – V1 – V2 – V3 = 0 ou V1 + V2 + V3 = E
En appliquant à la deuxième maille, on a :
V2 – V4 = 0 ou –V2 + V4 = 0
En appliquant la loi des tensions à la troisième maille, on a :
E – V1 – V4 – V3 = 0 ou V1 + V3 + V4 = E
La troisième équation est la somme des deux premières, elle
est donc superflue.
Loi des courants de Kirchhoff
La somme algébrique des courants
dans un nœud est nulle.
En appliquant au premier nœud,
I1 – I2 – I3 = 0
En appliquant au deuxième nœud,
–I1 + I2 + I3 = 0
La deuxième équation est superflue.
Autre exemple :
I1 + I2 – I3 = 0
I1
I3
I2
I2
I1
I3
I1
I3
I2
Analyse de circuits
L’analyse d’un circuit vise à trouver les éléments inconnus de
celui-ci qui peuvent être des courants ou des tensions. Nous
ne considérerons ici que les circuits dont les inconnues sont
les courants.
Analyse par les branches
L’analyse par les branches consiste à attribuer un courant à
chacune des branches et à établir les équations de nœuds et
de mailles en utilisant les lois de Kirchhoff.
On transforme alors les équations de mailles en utilisant la loi
d’Ohm et on solutionne le système d’équations obtenu.
Analyse par les branches
Faire l’analyse par les branches du
circuit illustré.
Courants de branches
Attribuons un courant à chacune des
branches.
V3
V1
+
I1
–
VV22
–
+
+
I2
I3
–
Équation du nœud
Il y a deux nœuds, mais ils donnent
la même équation, soit :
Équation de la maille 1
15 – V1 + V2 – 5 = 0 ou V1 – V2 = 10.
Puisque V1 = 4I1 et V2 = 5I2, on a :
Équation de la maille 2
5 – V2 – V3 + 18 = 0 ou V2 + V3 = 23.
Puisque V2 = 5I2 et V3 = 2I3, on a :
I1 + I2 – I3 = 0
4I1 – 5I2 = 10
5I2 + 2I3 = 23
Solution
I 1  I 2 – I 3  0
Nous devons résoudre le système d’équations : 
4 I 1 – 5 I 2  10

5 I 2  2I 3  23
1 –1 0 
1
La matrice augmentée est : 4 –5 0 10 


0
5 2 23 
1 –1 0 
1
4 –5 0 10 


0
5 2 23 
9L1  L 2 9
 L2
0


9L 3  5L2 0
L1
1 1 –1 0 
 L2 – 4L1 0 –9 4 10 



0 5 2 23
L3
0
0 1665 
0 –5
10  38L1  5L 3 342
0 –171 0 –324 
–9
4
10  19L 2 – 2L3 


 L
 0
0 38
257 
0 38 257  3
L1 342 1 0 0 4, 87 
 L 2 (–171) 0 1 0 1, 89 


0 0 1 6, 76 
L3 38
On trouve donc :
I1 = 4,87 A,
I2 = 1,89 A,
I3 = 6,76 A.
Interprétation des résultats
La solution est complète lorsqu’on a
indiqué sur le circuit le courant dans
chacune des branches. On a obtenu :
I1 = 4,87 A, I2 = 1,89 A
et I3 = 6,76 A
4,87 A
6,76 A
1,89 A
Puisque toutes les valeurs sont positives, cela signifie que le
sens que l’on avait supposé pour les courants est le bon.
Remarque
Il ne sert à rien de chercher à deviner le sens du courant
avant d’écrire les équations. La solution du système
d’équations nous l’indique. Si dans la solution un des courants
est négatif, cela signifie que sons sens est contraire à celui
utilisé pour établir les équations. Il suffit d’être cohérent en
établissant les équations.
Exercice
Faire l’analyse par les branches du
circuit illustré en considérant les
sens indiqués pour les courants.
Cliquer pour la solution.
+
I1
– +
–
+
I2
I3
–
Courants de branches
Équation de N1
I1 + I2 – I3 = 0
Équation de M1
3I1 – 3I2 = 18
Équation de M2
3I2 + 4I3 = 4
Matrice échelonnée réduite
4,18
1 0 0
0 1 0 –1, 82 


0 0 1 2, 36 
Circuit résolu
4,18 A
2,36 A
1,82 A
Analyse par les mailles
L’idée de l’analyse par les mailles
est d’isoler dans l’équation de nœud
le courant de la branche commune à
deux mailles et de substituer dans
les équations de ces mailles. Ainsi,
dans le circuit illustré, l’équation
de nœud est :
+
I1
–
–
+
I2
I3
–
+
I1 + I2 – I3 = 0
En isolant le courant de la branche commune, on obtient :
I2 = I3 – I1
Substituons dans les équations de mailles.
Dans 4I1 – 5I2 = 10, on obtient : 4I1 – 5(I3 – I1 ) = 10
Dans 5I2 + 2I3 = 23 , on obtient : 5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23
Équations des mailles
Par cette substitution, on obtient
un système de deux équations à
deux inconnues, soit :
4I1 – 5(I3 – I1 ) = 10
I1
I3
5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23
On peut sauter une étape de l’analyse par les branches de
façon à obtenir directement ces deux équations.
Pour ce faire, considérons seulement I1 et I3 appelés courants
de maille, tous deux de sens horaire.
Établissons les équations de mailles en considérant que le
courant dans la branche commune est soit I1 – I3 soit I3 – I1
selon la maille considérée.
En appliquant directement la loi d’Ohm, on trouve alors :
4I1 + 5(I1 – I3 ) = 10, dans la première maille.
5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23, dans la deuxième maille.
Solution du système
En regroupant les inconnues dans
les équations :
4I1 + 5(I1 – I3 ) = 10
I1
5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23
9I 1 – 5I 3  10
On obtient : 
–5I  7 I  23

1
3
En solutionnant, on obtient :
10 
9 –5
 9 –5 10   L1
–5
7 23 9L 2  5L1 0 38 257 
38L1  5L2 342
0 1665 L1 342 1 0 4,87


L2
 0 38 257 L 2 38 0 1 6,76
Cela donne :
I1 = 4,87 et I3 = 6,76.
I3
Interprétation
On a obtenu :
I1 = 4,87 A et I3 = 6,76 A.
Interprétons les résultats.
Les courants de maille sont les
courants de branches sauf
dans la maille commune.
4,87 A
6,76 A
1,89 A
Dans la maille commune, le courant est I1 – I3 ou I3 – I1. Il
faut déterminer laquelle de ces expressions est positive. Dans
le cas présent, on a I3 > I1, par conséquent, le sens du
courant dans la branche commune est le même que le courant
de maille I3 et sa valeur est :
I3 – I1 = 6,76 – 4,87 = 1,89 A.
Le courant dans la maille commune doit équilibrer l’équation
de nœud pour que la loi des courants soit satisfaite.
Exercice
Faire l’analyse par les mailles du
circuit illustré.
Cliquer pour la solution.
Équations
3I1 + 3(I1 – I2) = 18
3(I2 – I1) + 4I2 = 4
Matrice
augmentée
Matrice
échelonnée
réduite
 6 –3 18
–3 7 4
1 0 4,18 
0 1 2, 36 
Circuit résolu
4,18 A
2,36 A
1,82 A
Exercice
Faire l’analyse par les mailles
du circuit illustré.
2Ω
2Ω
Cliquer pour la solution.
Équations
2I1 + 2(I1 – I2) = 14
2(I2 – I1) + 3I2 + 2(I2 – I3) = 0
2(I3 – I2) + 1I3 = 14
Matrice
augmentée
 4 –2 0 14 
0 
–2 7 –2


 0 –2 3 14 
Échelonnée 1 0 0 5,25
3,5
0 1 0
réduite


0 0 1
7
3Ω
14V
1Ω
2Ω
14V
Circuit résolu
2Ω
3Ω
5,25A
3,5A
1,75A
2Ω
14V
1Ω
7A
3,5A
2Ω
14V
Généralisation
Construire la matrice des
mailles du circuit illustré.
Équations
aI1 + b(I1 – I2) = E1
b(I2 – I1) + cI2 + d(I2 – I3) = E2
d(I3 – I2) + eI3 = E3
En regroupant :
(a + b)I1 – bI2 = E1
–bI1 + (b + c + d)I2 – eI3 = E2
a Ω
1
E1 V
c Ω
e Ω
b Ω
d Ω
2
E2 V
3
E3 V
Remarques
• Chaque maille est représentée par une ligne.
• L’élément sur la diagonale
est la somme des résistances de la maille.
–dI2 + (d + e) I3 = E3
• Les éléments hors diaL’équation matricielle est :
gonale sont les résistances
des
branches
communes
I
V
a
+
b
–b
0

 1   1  affectées d’un signe –.
0
b+ c + d –d I 2   V2 


   
 0
–d
d + e I 3  V3 
Exercice
Dans le circuit illustré, déterminer
les sources de tension et leur sens
pour que les courants de maille
soient :
2Ω
1
3Ω
4Ω
2
3
1Ω
3Ω
I1 = 5 A, I2 = 1 A et I3 = 4 A.
Cliquer pour la solution.
L’équation matricielle est :
 3 –1 0I 1  V1 
–1 7 –3I 2   V2 



  
 0 –3 7
I 3  V3 
Les courants sont connus, en
substituant et en effectuant
le produit, on obtient :
 3 –1 05   14 
–1 7 –31   –10 

  

 0 –3 74   25 
Le circuit résolu est :
2Ω
1
14V
3Ω
4Ω
2
3
1Ω
3Ω
10V
25V
Généralisation
Construire la matrice des mailles du
circuit illustré.
Équations
a(I1 – I2) + c(I1 – I3) = E1
a(I2 – I1) + bI2 + d(I2 – I3) = E2
c(I3 – I1) + d(I3 – I2) + eI3 = E3
En regroupant :
(a + c)I1 – aI2 – cI3 = E1
–aI1 + (a + b + d)I2 – dI3 = E2
E2 V
E1 V
b Ω
2
a Ω
1
Remarques
d Ω
e Ω
c Ω3
E3 V
• Chaque maille est représentée par une ligne.
• L’élément sur la diagonale
est la somme des résis–cI1 – dI2 + (c + d + e) I3 = E3
tances de la maille.
• Les éléments hors diaL’équation matricielle est :
gonale sont les résistances
–a
–c I 1  V1  des branches communes
a + c
–a a + b+ d
–d I 2   V2  affectées d’un signe –.


   
 –c
–d
c  d + e I 3  V3 
Exercice
3Ω
Dans le circuit illustré, déterminer
les sources de tension et leur sens
pour que les courants de maille
soient
2Ω 2
1
I1 = 6 A, I2 = 2 A et I3 = 4 A.
Cliquer pour la solution.
L’équation matricielle est :
 3 –2 –1I 1  V1 
–2 9 –4I 2   V2 



  
–1 –4
8
I 3  V3 
Les courants sont connus, en
substituant et en effectuant
le produit, on obtient :
 3 –2 –16   10 
–2 9 –42   –10 

  

–1 –4
84   18 
4Ω
3Ω
1Ω
3
Le circuit résolu est :
10V
3Ω
2Ω 2
10V
1
1Ω
4Ω
3Ω
3
18V
Procédure d’analyse par les mailles
1. Attribuer un nom et un courant distinct de sens horaire à
chacune des mailles du circuit et numéroter les mailles.
2. Écrire la matrice des mailles.
Chaque ligne et chaque colonne est associée à une maille.
Chaque élément de la diagonale est la somme des
résistances de la maille correspondant à la ligne de cet
élément.
Les éléments hors diagonale sont la somme, affectée d’un
signe moins, des résistances communes à la maille
représentée par la ligne et à celle représentée par la
colonne.
Procédure d’analyse par les mailles
3. Écrire la matrice des tensions.
La constante de l’équation de la maille Mi est la somme
algébrique des sources de tension traversée par le courant
Ii. Les sources traversées de la borne négative à la borne
positive sont affectées du signe positif et celles
traversées de la borne positive à la borne négative sont
affectées du signe négatif.
4. Résoudre le système d’équations linéaires résultant.
5. Interpréter les résultats selon le contexte (donner le
circuit résolu).
Exercices additionnels
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle pour les sciences de
la nature, Section 2.4, p. 54 numéros 12 à 15.
Bibliographie
BOYLESTAD, Robert L,(1979),
Montréal, ERPI, 716 p.
Analyse
de
circuits,
introduction,
JACKSON, Herbert W.(1987). Circuits électriques, courant continu,
Traduction de Introduction to Electric Circuits 6 édition, Montréal,
Éditions Reynald Goulet, 424 p.
OUELLET, Carol (2000). Électricité et magnétisme, Québec, Éditions du
Griffon d’argile, 368 p.
RIDSDALE, R.E. (1980). Circuits électriques, Montréal, McGraw-Hill,
797 p.
ROSS, André (2003). Algèbre linéaire et géométrie vectorielle pour les
sciences de la nature, Québec, Éditions du Griffon d ’argile, 445 p.
ROSS, André (1999). Mathématiques appliquées aux technologies du Génie
électrique 1, Québec, Éditions du Griffon d ’argile, 427 p.