Passeport_seconde

Passeport : troisième - seconde collège Vaïmoana
Année 2012 Page 1 M. BOUCHE Patrick
Les équations
On doit résoudre l’équation suivante
+ =
0
ax b
où a et b sont des constantes connues et x la variable.
Cas particuliers : Si
=
0
a
alors on doit résoudre
+ =
0 0
x b
soit
=
0
b
.
Si
=
0
b
alors l’équation est vraie pour toute valeur de x.
Si
≠
0
b
alors l’équation n’admet aucune solution.
Notation : « équivaut à » se traduit par le symbole
⇔
.
Si
≠
0
a
,
+ =
0
ax b
⇔
=−
ax b
⇔
−
=
b
x
a
. L’équation n’admet donc qu’une solution.
Remarque : On comprend mieux l’intérêt que a soit non nul, en effet on ne peut pas diviser par zéro.
Exemple :
− = +
5 1 3 4
x x
⇔
− = +
5 3 4 1
x x
⇔
=
2 5
x
⇔
=
5
2
x d’où
{
}
=
5
2
S
.
Exercice 1
1. On donne les expressions numériques :
5 2 4
A
7 7 3
= − ÷
1 1 2
B 1
2 3 3
= − ÷ +
Calculer A et B. On écrira les résultats sous la forme de fractions aussi simple que possible.
2. Ecrire les nombres C et D ci-dessous sous la forme
a b
ou a est un entier et b un entier positif le plus
petit possible.
C 300
=
D 2 12 27
= −
E 21 14
= ÷
Exercice 2
On considère l'expression :
1. Développer et réduire :
(
)
2
2 3
x
−
et
(
)
(
)
(
)
2
E 2 3 5 2 2 3
x x x= − − − −
2. Factoriser E.

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3. Résoudre l'équation
(
)
(
)
2 3 4 8 0
x x
− − + =
Les équations produit
On cherche à résoudre l’équation suivante :
(
)
(
)
+ + =
0
ax b cx d .
Propriété :
=
0
AB
équivaut à
=
0
A
ou
=
0
B
. On note
=
=
0
0
A
B
On écrit : Un produit de facteurs est nul, si et seulement si, un des facteurs est nul.
(
)
(
)
+ + =
0
ax b cx d
⇔
+ =
+ =
0
0
ax b
cx d
⇔
=−
=−
ax b
cx d
⇔
−
=
−
=
b
x
a
d
x
c
si
0
a
≠
et
0
b
≠
. On en déduit
{
}
− −
=;
b d
S
a c
Exemple :
(
)
(
)
+ − =
3 1 4 7 0
x x , un produit de facteurs est nul, si et seulement si, un des facteurs est nul
⇔
3 1 0
4 7 0
x
x
+ =
− =
⇔
3 1
4 7
x
x
=−
=
⇔
1
3
7
4
x
x
−
=
=
. On en déduit
{
}
−
=
1 7
;
3 4
S
.
Exercice 3
1. Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 10 cm et BC = 8 cm ( on laissera les traits de
construction apparents ).
2. Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
On appelle E le point du segment [AC] pour lequel
1
AE AC
4
=.
Le cercle de diamètre [AE] coupe [AB] en F.
3. Démontrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
4. Calculer AF et EF.
5. Calculer la mesure de l'angle
BAC
.
Exercice 4
1. Résoudre le système suivant :
3 7 18,8
5 10
x y
x y
− =
− =

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2. Résoudre l'inéquation
4 5 10 1
x x
− < +
.
Représenter en couleur les solutions sur une droite graduée.
3. Le nombre 4 vérifie-t-il l'équation
2
5 4
x x
− =
?
Indiquer les calculs. On ne cherchera pas à résoudre cette équation.
Exercice 5
On considère le cylindre, la demi boule et le cône représentés ci-dessous :
1. Vérifier au moyen d'un calcul que le volume V
1
du cylindre, exprimé en cm
3
, est égal à
216
π
et que le
volume V
2
de la demi boule, exprimé en cm
3
, est égal à
144
π
.
2. Calculer en cm
3
le volume V
3
du cône sous la forme
k
π
( k étant un nombre entier).
3. Vérifier que
2 3
V 2V
=
.
Exercice 6
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). On considère les points
(
)
A 6;5
,
(
)
B 2; 3
−
et
(
)
C 4;0
−.
Distance et milieu : Dans un repère, soient deux points
(
)
A A
A ;
x y
et
(
)
B B
B ;
x y
, la distance AB est donnée
par la formule suivante :
( ) ( )
2 2
B A B A
AB
x x y y
= − + − . De plus, si I est le milieu du segment
[
]
AB
alors les
coordonnées du point I sont :
A B
I
2
x x
x
+
=et
A B
I
2
y y
y
+
=.
1. Faire la figure sur une feuille de copie en prenant le centimètre comme unité sur chaque axe. Le point
O, origine du repère, sera placé sur une ligne au centre de la feuille de copie.
2. Calculer les distances AB, BC et CA ; donner les résultats sous la forme
a b
où a est un nombre entier
positif.
3. En déduire la nature du triangle ABC. Justifier la réponse.
4. Calculer l'aire du triangle ABC.
5. Calculer le périmètre du triangle ABC, donner le résultat sous la forme
a b
, puis la valeur arrondie au
dixième de ce résultat.
On considère le cercle circonscrit au triangle ABC.
6. Préciser la position de son centre E en justifiant la réponse. Calculer les coordonnées de ce point.
7. Déterminer la valeur exacte du rayon de ce cercle.

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8. Calculer la valeur exacte de
tanACB
puis une valeur approchée au degré près de la mesure de
l’angle
ACB
.
Exercice 7
Calculer et mettre le résultat sous la forme de fraction irréductible en précisant les calculs intermédiaires :
9
3 3
2
A
= − ÷
8 12
3
10 0,7 10
21 10
B
−
× ×
=×.
Exercice 8
Soit l'expression
(
)
2
E 1 4
x
= − −
.
1. Calculer E pour
0
x
=
.
2. Calculer la valeur exacte de E pour
2
x
= .
3. Factoriser E.
4. Résoudre l'équation :
(
)
(
)
1 3 0
x x
+ − =
.
Exercice 9
1. Construire un triangle IJK tel que JK = 8 cm ; IJ = 4,8 cm et KI = 6,4 cm.
2. Démontrer que le triangle IJK est un triangle rectangle.
3. Calculer la mesure en degrés de l'angle
IJK
. Donner la valeur arrondie au degré le plus proche.
Exercice 10
Partie I : Le château d'eau
Un château d'eau (figure 1) a la forme d'un cylindre surmonté d'une partie de cône représentée sur la
figure 2 en trait gras.
le cône de hauteur SO a été coupé par un plan parallèle à sa base passant par le point I.
On donne
SO 8,1m
=
et
SB 13,5 m
=
.
On rappelle que le volume V d'un cône de base B et de hauteur h est donné par la formule suivante :
1
Base hauteur
3
V= ×

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1. Montrer que
OB 10,8 m
=
.
2. Calculer le volume du cône de sommet S et de base le disque de rayon [OB].
Arrondir le résultat au
3
m
le plus proche.
On donne SI = 3,6 m.
3. En remarquant que les droites (IA) et (OB) sont parallèles, calculer IA et SA.
4. Calculer le volume du cône de sommet S et de base le disque de rayon [IA]. Arrondir le résultat au
3
m
le plus proche.
5. Calculer le volume de la partie de cône représentée à la figure 2 en trait gras (le tronc de cône).
Partie II : La facture d'eau
Pour une période de 5 mois (150 jours), une facture d'eau se calcule de la manière suivante : 70 euros
d'abonnement et 11 euros par
3
m
d'eau consommée.
Pendant cette période de 5 mois, la famille Laurent a consommé 74
3
m
d'eau.
1. Etablir le montant de sa facture.
2. La famille Cherrier a payé 1 126 euros pour cette période. Quelle quantité d'eau a-t-elle consommé (en
3
m
).
3. Pour la période suivante la famille Cherrier décide de réduire sa consommation d'eau de 10%.
En supposant que les tarifs restent les mêmes, quel sera le pourcentage de réduction sur la nouvelle
facture ?
Arrondir au dixième le plus proche.