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Algèbre matricielle
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Cette présentation va vous permettre de revoir les différentes notions
présentées dans la partie sur l’algèbre matricielle. Il n’y a pas
d’exemples ni d’exercices, seulement des éléments théoriques.
Il faut être conscient que les exemples et les exercices sont des
interventions dans des cas particuliers à partir d’un cadre général, la
théorie. Les exercices peuvent parfois sembler difficiles ou déroutants
sans une bonne compréhension de la théorie et de ses éléments clés, les
définitions et les théorèmes. Il faut :
Penser globalement pour agir localement de façon efficace
L’action locale, c’est la résolution de problèmes dans les exercices.
Cette action est guidée par la pensée globale, c’est-à-dire la
connaissance que l’on a de la théorie. L’efficacité des interventions
locales dépend de la qualité des connaissances théoriques. Sans une
bonne compréhension du cadre théorique, les procédures de résolution
ne sont que des recettes vite oubliées ou mal appliquées.
Matrices et opérations
Dans cette première section, nous reverrons la notion de
matrice et les opérations sur celles-ci.
Matrice
DÉFINITION
On appelle matrice tout tableau rectangulaire de la forme :
...
...
. . a
. .
.a a. ...
a11
a21
a12
a22
ij
m1
m2
a1n
a2n
.
.
.a
mn
mn
où les aij sont les éléments de la matrice.
L’indice i indique la ligne de l’élément et l’indice j, sa colonne. Ces
indices donnent l’adresse de l’élément.
a12 est l’élément «a un deux» et non pas «a douze».
On dit qu’une matrice qui comporte m lignes et n colonnes est une
matrice de dimension mxn (ce qui se lit m par n).
Opérations sur les matrices
DÉFINITION
Soit A = (aij) et B = (bij), deux matrices de même dimension mn. La
somme de ces matrices, notée A + B, est une matrice de dimen-sion
mn définie par :
A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)
DÉFINITION
Soit A = (aij), une matrice de dimension m n et k, un scalaire
(nombre réel). La multiplication de la matrice A par le scalaire k
donne une matrice notée kA et définie par l’égalité :
kA = k(aij) = (kaij)
Transposition et produit
DÉFINITION
Soit A = (aij), une matrice de dimension m n. On appelle matrice
transposée de A, notée At, la matrice de dimension n m dont la ie
colonne est la ie ligne de la matrice A pour i = 1, 2, ..., m.
DÉFINITION
Soit A = (aik)m p et B = (bkj)p n, deux matrices. Le produit de ces
matrices, noté A • B (ou AB), est une matrice C = (cij)m n dont les
éléments cij sont définis par :
cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ... + aipbpj ,
pour tout i et pour tout j.
Applications des matrices
Dans le cours, on a utilisé les matrices et les opérations sur celles-ci
dans les situations suivantes :
• pour décrire des problèmes de production;
• pour représenter les systèmes d’équations;
• pour résoudre des systèmes d’équations selon différents contextes;
- problème de production;
- chaînes de Markov;
- combinaisons linéaires;
- indépendance linéaire;
- positions relatives et intersections de droites et de plans.
Systèmes d’équations
et matrices
Dans cette deuxième section, nous reverrons les notions
présentées sur les systèmes d’équations linéaires, homogènes et
non homogènes, et l’information que donne la matrice échelonnée sur le type de solution du système.
Représentation matricielle
On peut décrire tout système d’équations linéaires par un produit de
matrices.
Matrice des coefficients
Matrice des constantes
Matrice des variables
...
...
. . a
. .
.a a. ...
a11
a21
a12
a22
ij
m1
m2
a1n
a2n
.
.
.a
mn
b1
b2
x1
x2
.
.
.x
n
=
.
.
.
bm
L’équation matricielle doit être sous cette forme pour que l’on puisse
appliquer les procédures de résolution présentées dans le cours.
Problème de production
Plusieurs problèmes de production peuvent se représenter par une
équation matricielle.
Matrice des coefficients
Matrice des constantes
Matrice des variables
...
...
.
.
. ...
aQuantité
a12 de chacun
a1n
11
a21 a22
a2n
des matériaux par
aij
unité de chacun des
am1
am2 à produire
amn
articles
.
.
.
.
.
.
x1
Nombre
x2
d’unités
.
.à
.x
n
produire
b1
Quantité
b2
=
.
. des
totale
.
matériaux
bm
Lorsque le nombre d’unités à produire est connu, on doit effectuer le
produit des matrices pour déterminer la quantité de matériaux.
Lorsque la quantité totale des matériaux disponibles est connue, on
doit résoudre un système d’équations linéaires pour déterminer le
nombre d’unités que l’on peut produire.
Opérations élémentaires
Pour résoudre par la méthode de Gauss, ou par la méthode de
Gauss-Jordan, on échelonne en effectuant des opérations
élémentaires sur les lignes.
Opérations élémentaires sur les lignes
Soit A, une matrice. On appelle opérations élémentaires sur les lignes
de A les opérations suivantes :
1. Interchanger la ligne i et la ligne j. Cette opération est notée par :
Li  Lj
2. Multiplier la ligne i par un scalaire non nul. Cette opération est
notée par :
Li  aLi , où a  R\{0}
3. Substituer à la ligne i la somme d’un multiple non nul de la ligne i
et d’un multiple de la ligne j. Cette opération est notée par :
Li  aLi + bLj , où a  R\{0} et b  R
Matrice échelonnée
DÉFINITION
On utilise
opérationsest
élémentaires
pour
déterminer
matrice
Une
matriceleséchelonnée
une matrice
dont
le nombrela de
zéros
échelonnéele(par
la méthode
Gauss)
ou chaque
la matrice
précédant
premier
élémentdenon
nul de
ligneéchelonnée
augmenteréde
duiteen
(par
la méthode
de Gauss-Jordan).
ligne
ligne
jusqu’à n’avoir
éventuellement que des zéros.
Dans une matrice échelonnée, le premier élément non nul de chaque
ligne est appelé le pivot de cette ligne.
2
0
0
0
1
0
0
0
3
–2
0
0
8
4
5
0
7
12
5
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
9
–3
4
0
DÉFINITION
Une matrice échelonnée réduite est une matrice dont :
• le pivot de chaque ligne de la matrice des coefficients est 1;
• le pivot est le seul élément non nul de la colonne où il se trouve.
Variables liées et variables libres
DÉFINITION
Dans un système d’équations linéaires, une variable liée est une
variable dont la valeur est constante ou dépend d’une autre variable.
Dans la matrice échelonnée d’un système d’équations, les variables
liées sont les variables associées au pivot de chaque ligne. Les autres
variables sont des variables libres.
x
y
z
1
0
0
–2
0
0
3
–1
0
u
–5
13
0
x est une variable liée.
3
13
0
z est une variable liée.
y est une variable libre.
u est une variable libre.
Système d’équations non homogène
Un système d’équations linéaires non homogène est un système dont
au moins une des constantes est non nulle. Nous avons eu à résoudre
des systèmes d’équations linéaires non homogènes dans les situations
suivantes :
• pour établir un plan de production, connaissant les quantités de
matériaux disponibles;
• pour déterminer le point invariant d’une chaîne de Markov;
• pour déterminer si un vecteur donné est combinaison linéaire ou est
engendré par un ensemble de vecteurs;
• pour déterminer la position relative de droites et de plans dans
l’espace.
Système d’équations non homogène
On rencontre également des systèmes d’équations linéaires non
homogènes dont les constantes sont des paramètres. Il faut alors
déterminer la condition ou les conditions auxquelles doivent satisfaire
les paramètres a, b et c pour que le système ait des solutions. Par
exemple :
a11
a12
a13
x
a21
a22
a23
y
a31
a32
a33
z
a
=
b
c
On rencontre ces situations lorsqu’il faut décrire le sous-espace
engendré par un ensemble donné de vecteurs.
Systèmes non homogènes à deux inconnues
Dans un système non homogène de deux équations à deux inconnues,
on peut rencontrer trois situations après avoir échelonné la matrice.
Matrice échelonnée
a
b c
0
, où a ≠ 0
d e et d ≠ 0.
a
b c
0
0 e
a
b c
0
0 0
Types de solution
autant d’équations que
d’inconnues
Droites
Solution unique
concourantes
message d’impossibilité
, où e ≠ 0.
Types de graphique
0=e≠0
Droites
Aucune solution
parallèles
moins d’équations que
d’inconnues
Droites
Infinité de solutions
confondues
Systèmes non homogènes à deux inconnues
a bavoir
c plus
Un système d’équations non homogène peut, initialement,
Matrice initiale
d’un système
d’équations
que d’inconnues.
Cenon
n’esthomogène
qu’après avoird échelonné,
en
e f
de trois équations
à deux
inconnues
comparant
le nombre
d’équations
et le nombre d’inconnues, que l’on
g h i
peut déterminer le type de solution de ce système.
Matrice échelonnée
Types de solution
a
0
0
b c
e f , où a ≠ 0
0 0 et e ≠ 0.
autant d’équations que
d’inconnues
a
0
0
b c
0 f , où f ≠ 0.
0 0
message d’impossibilité
a
0
0
b c
0 0
0 0
Solution unique
0=e≠0
Aucune solution
moins d’équations que
d’inconnues
Infinité de solutions
Types de graphique
Types de solution, systèmes à trois inconnues
Un
d’équations
linéaires
à trois
inconnues
initialement,
La système
représentation
graphique
d’une
équation
à troispeut,
inconnues
est un
avoir plus d’équations que d’inconnues ou moins d’équations que
plan dans l’espace. Voici quelques cas concernant les systèmes de trois
d’inconnues. Ce n’est qu’après avoir échelonné, en comparantSle
équations
à trois inconnues.
nombre
d’équations
et d’inconnues, que l’on peut déterminer le type
deAucune
solution
du
système.
Infinité
de
solution
solutions
Solution
unique
Lorsque lareste
matrice
échelonnée
comLorsqu’il
moins
d’équations
Lorsqu’il
resteéquation
autant d’équations
porte
une
impossible,
le
que
d’inconnues
après
avoir
écheque
d’inconnues
après
avoir échesystème
n’a
aucune
solution.
lonné,on
onaaune
unesolution
infinité de
solutions.
lonné,
unique.
a
b c d
0aa beb cfc gdd , où a ≠ 0 et i ≠ 0.
000 0ee 0f f gi g , où h ≠ 0.
00 des
00 plans
h0 peuvent
i0
Deux
être parallèles
distincts.
Les
plansplans
se rencontrent
Lestrois
trois
peuvent alors
être
Les
à deux
en
unplans
mêmepris
point.
confondus
ou deux
avoir
une peuvent
droite se
couper
selon des droites parallèles
comme intersection.
distinctes.
Système d’équations homogène
Un système d’équations linéaires homogène est un système dont toutes
les constantes sont nulles. Un tel système peut avoir une solution
unique ou une infinité de solutions. Lorsque les équations du système
ont deux inconnues, ils décrivent des droites passant à l’origine. Ces
droites peuvent être concourantes ou confondues. Lorsque les équations du système ont trois inconnues, ils décrivent des plans passant à
l’origine.
Nous avons eu à résoudre des systèmes d’équations linéaires
homogènes pour déterminer si les vecteurs d’un ensemble sont
linéairement dépendants ou linéairement indépendants.
Systèmes homogènes à deux inconnues
Dans un système homogène de deux équations à deux inconnues, les
équations décrivent des droites passant à l’origine. On peut rencontrer deux situations après avoir échelonné la matrice.
Matrice échelonnée
a
0
b 0
, où a ≠ 0
d 0 et d ≠ 0.
Types de solution
autant d’équations que
d’inconnues
Solution unique
Cette solution est (0; 0), on
l’appelle la solution triviale.
a
b 0
0
0 0
moins d’équations que
d’inconnues
Infinité de solutions
On exprime les solutions en
fonction de la variable libre.
Types de graphique
Systèmes homogènes à deux inconnues
a b 0 avoir plus
Un système d’équations homogène peut, initialement,
Matrice initiale
d’un système
d’équations
que d’inconnues.
Ce homogène
n’est qu’après
c avoir
d 0échelonné, en
de trois équations
deux inconnues
comparant
le nombreà d’équations
et le nombre d’inconnues, que l’on
e
f 0
peut déterminer le type de solution de ce système.
Matrice échelonnée
a
b 0
0
d 0 , où a ≠ 0
et d ≠ 0.
0 0
0
Types de solution
autant d’équations que
d’inconnues
Solution unique
Cette solution est (0; 0), on
l’appelle la solution triviale.
a
b 0
moins d’équations que
d’inconnues
0
0 0
Infinité de solutions
0
0 0
On exprime les solutions en
fonction de la variable libre.
Types de graphique
Systèmes homogènes à trois inconnues
Dans un système homogène à trois inconnues, les équations décrivent
des plans passant à l’origine, (0; 0; 0), qui est toujours une solution.
Lorsque le système homogène échelonné comporte autant d’équations que d’inconnues, c’est la seule solution. On l’appelle la solution
triviale.
Lorsque le système homogène échelonné comporte moins d’équa-
tions que d’inconnues, il y a infinité de solutions qu’il faut décrire en
représentant les variables libres par des paramètres et en exprimant
les variables liées en fonction de ces paramètres.
Déterminant
Dans cette troisième section, nous reverrons la notion de
déterminant et les différentes utilisations qui en ont été faites
dans le cours.
Développement de Laplace
DÉFINITION
Le déterminant d’une matrice carrée A d’ordre n est défini symboliquement de la façon suivante :
Pour un développement selon une ligne p quelconque :
det A = ap1Cp1 + ap2Cp2 + ... + apnCpn
Pour un développement selon une colonne r quelconque :
det A = a1rC1r + a2rC2r + ... + anrCnr
Remarque
Le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n est obtenu en
effectuant la somme des produits de chaque élément d’une ligne (ou
d’une colonne) quelconque par son cofacteur.
Procédure
Calcul et propriétés
pour calculer un déterminant à l’aide des propriétés
1. Repérer la colonne (ou la ligne) où il est plus simple de faire
apparaître des zéros.
2. Faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une
ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne).
Répéter le procédé au plus grand nombre de colonnes (ou de
lignes) :
Ci  Ci + kCj , où k  R ou Li  Li + kLj , où k  R
3. Développer le déterminant selon la colonne (ou la ligne) contenant les zéros.
4. Si nécessaire, refaire les opérations dans le déterminant d’ordre
n – 1.
Déterminant et systèmes d’équations
Lorsqu’un système d’équations linéaires comporte autant d’équations que d’inconnues, on peut calculer le déterminant de la matrice
des coefficients du système, puisque cette matrice est carrée. Pour un
système de trois équations à trois inconnues, on a alors :
Système
Si det A ≠ 0
Solution
unique
non homogène
Un triplet (a; b; c)
homogène
(0; 0; 0)
Système
Si det A = 0
non homogène
homogène
Infinité de
Aucune
ou
solutions
solution
Infinité de
solutions
Théorème
Méthode de Cramer
Soit un système de trois équations à trois inconnues :
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a12x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
Ce système admet une solution unique (x1; x2; x3) = (k1; k2; k3) si et
seulement si le déterminant de la matrice des coefficients, det A, est
différent de 0 et cette solution est :
k1 =
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12
b1
b2 a22 a23
a21 b2 a23
a21 a22
b2
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a31 a32
b3
a11 a12 a13
, k2 =
a11 a12 a13
et k3 =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a21 a22 a23
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
a31 a32 a33
Méthode de Cramer
Procédure
pour résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues par
la méthode de Cramer
1. Calculer le déterminant de la matrice des coefficients pour
s’assurer que le système a une solution unique : det A ≠ 0.
2. Construire et calculer le déterminant associé à la ie inconnue en
substituant la colonne des constantes à la colonne des coefficients
de cette inconnue : det Ai , où i est la colonne associée à la ie
inconnue (i = 1, ..., n).
3. Calculer le quotient du déterminant associé à l’inconnue sur le
déterminant de la matrice des coefficients : xi = (det Ai)/(det A).
4. Répéter les étapes 2 et 3 pour chacune des inconnues du système.
Applications du déterminant
Dans le cours, on a calculé un déterminant dans les situations
suivantes :
• pour déterminer si un système d’équations linéaires comportant
autant d’équations que d’inconnues a une solution unique ou non;
• pour résoudre un système d’équations par la méthode de Cramer;
• pour déterminer si trois vecteurs de R3 sont linéairement indépendants ou linéairement dépendants;
• pour déterminer si trois vecteurs de R3 sont coplanaires ou non;
• pour déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans R3;
• pour déterminer le produit mixte de trois vecteurs dans R3;
• pour calculer le volume d’un parallélépipède;
• pour trouver l’équation d’un plan passant par trois points connus;
• pour calculer des distances dans R3.
Matrice inverse
Dans cette quatrième section, nous reverrons les procédures
pour déterminer une matrice inverse et l’utilisation que l’on
peut en faire pour résoudre un système d’équations linéaires
ou pour déterminer une transformation linéaire inverse.
Matrice inverse
DÉFINITION
Soit A, une matrice carrée d’ordre n. On appelle matrice inverse de
A, si elle existe, la matrice A–1 telle que :
A • A–1 = A–1 • A = I
où I est la matrice identité d’ordre n.
Procédure de Gauss-Jordan
Procédure
pour construire la matrice inverse
1. Construire une matrice augmentée dont la partie gauche est la
matrice à inverser et la partie droite, la matrice identité du
même ordre.
2. Effectuer les opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir
la matrice échelonnée réduite dans la partie gauche de la matrice
augmentée.
3. Écrire la matrice inverse lorsque celle-ci existe.
4. S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que
A • A–1 = I.
Procédure de la matrice adjointe
Procédure
pour construire la matrice inverse
1. Calculer le déterminant de A pour déterminer si la matrice A est
inversible.
2. Construire la matrice des cofacteurs (cof A).
3. Transposer la matrice des cofacteurs pour obtenir la matrice
adjointe (adj A = (cof A)t) et multiplier cette matrice par le
scalaire 1/det A pour obtenir la matrice inverse.
4. S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que
A • A–1 = I ou encore en vérifiant que A • (adjA) = (det A)I.
Matrice inversible
Théorème
Critère d’inversibilité d’une matrice
Soit A, une matrice carrée. A est inversible si et seulement si :
det A ≠ 0
Théorème
Unicité de la matrice inverse
Soit A, une matrice carrée. Si A est inversible alors l’inverse de A
est unique.
Matrice inverse et système d’équations linéaires
Soit un système d’équations linéaires représenté sous forme
matricielle par A • X = B, où A est une matrice carrée d’ordre n
inversible.
On peut alors multiplier des deux côtés de l’égalité par la matrice
inverse A–1. Cela donne :
A–1 • A • X = A–1 • B
d’où : I • X = A–1 • B , puisque A–1 • A = I
et :
X = A–1 • B , car I • X = X
Par conséquent, en multipliant la matrice des constantes B par A–1, la
matrice inverse de A, on isole la matrice des inconnues X, cela donne
la solution du système d’équations linéaires.
Applications de la matrice inverse
Dans le cours, on a utilisé la matrice inverse dans les situations
suivantes :
• pour résoudre un système d’équations linéaires comportant autant
d’équations que d’inconnues et dont le déterminant de la matrice
des coefficients est non nul;
• pour déterminer le point invariant d’une chaîne de Markov;
• pour décoder un message qui a été codé par une matrice;
Conclusion
Cette présentation avait pour but de rappeler certains éléments
importants de la partie sur l’algèbre matricielle et des applications
qui ont été faites de ces notions dans l’ensemble du cours.
Vous devriez normalement avoir identifié, grâce à cette présentation,
les notions et applications que vous ne maîtrisez pas. Il est important
pour votre préparation à l’examen synthèse que vous preniez le
temps de relire les exemples et refaire des exercices sur les notions et
applications que vous ne maîtrisez pas.
Exercices de synthèse
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences de la nature. Chapitre 13.