Cours_Dynamique_complet

Terminale Si
Dynamique
Lionel GRILLET
Lycée B FRANKLIN
Repère Galiléen
Définitions
Repère absolu
Repère de Copernic
ou
Repère héliocentrique
Repère de Galiléen
Repère fixe par rapport à l’univers (???)
Repère fixe par rapport au système solaire
Repère en translation rectiligne uniforme
par rapport au repère de Copernic
Pour nos études
Un repère fixe par rapport à la terre sera supposé galiléen
Dynamique du point
Principe fondamental de la dynamique = 2ème loi de Newton
Enoncé
Soit un point Matériel P, de masse m, en mouvement
par rapport à un repère galiléen Rg, alors la somme des
efforts extérieurs qui agissent sur la particule est
égale à sa masse multipliée par son accélération.
Mathématiquement
 F (ext / P)  m  ( P / R )
g
« Force » d’inertie Fi ( P / Rg )  m ( P / Rg )
NEWTON
Portrait par
Enoch Seeman en 1726
 F (ext / P)  F ( P / Rg )  0
i
Pseudo Pb de statique
!
Attention
Exemple simple
La Chute libre
z
(sans frottement)
(S)
Un point matériel S de masse m qui tombe…
z (t )
P
( M / Rg )
Paramétrage :
z (t )
Force extérieure
Poids
Accélération
( M / Rg )  z (t )  z
P  mgz
Le PFD donne :
P  m(M / Rg )
(Rg)
soit
z (t )   g
Accélération
de pesanteur
Vous le saviez déjà !
L’accélération et donc la vitesse ainsi que la durée de la chute
sont indépendants de la masse du solide
Exemple intéressant
Le Pendule
Problème
O
(Rg)
Soit une particule de masse m reliée au bâti par un fil de masse
négligeable.
y0
Déterminons l’équation du mouvement
T
 (t )
n
y1
t
G
(S)
Etude cinématique
Paramétrage de la position
( x0 , x1 )   (t )
2

(
G
/
R
)


R

x1  R y1
g
Accélération

x1
x0
OG  R  x1
n
P
Efforts extérieurs
Poids de la particule
Tension du fil
P  mg  x0
T  T  x1

t
Le Pendule
Point de vue mécanique du point
O
(Rg)
y0
PFD appliqué à G dans son mvt/Rg
P  T  m(G / Rg )
T
 (t )
n
y1
t
G
(S)
On projette sur la base
Sur
x1
P
(G / Rg )   R 2 x1  R y1
mg cos   T  mR 2
équation qui donne la tension du fil T
x1
x0
 x1 , y1 
Sur
y1
mg sin   mR
C’est l’équation du mouvement
Le pendule
Point de vue mécanique du Solide
O
(Rg)
y0
T
 (t )
On note (1) l’ensemble constitué de la particule (S), de
masse m et du fil, de masse négligeable
Graphe des liaisons
n
y1
t
G
(S)
x1
x0
0
Action de pesanteur
(G / Rg )   R x1  R y1
P
1
Finertie
Bilan des forces
P
2
pivot
O, z0 
Liaison pivot

 P  mg  x0 

T

 pes /1 

0



G 

 R01 

T01  
 , avec M O (01)  z0  0
 M O (01) 

G 
Dans un premier temps on définie le torseur des forces d’inertie
Forces d’inertie
Tin /1 

mG (1/ Rg ) 



0



G 
Le pendule
O
d
Appliquons le « pseudo » PFS
(Rg)
T   T   T   0
y0
T
 (t )
n
y1
t
G
pes /1
(S)
x1
x0
(G / Rg )   R x1  R y1
2
in /1
On ne cherche pas les inconnues de la pivot donc on utilise la
condition
M O (01)  z0  0
L’équation de moment en O en projection sur z donne
M O ( pes /1)  z0  M O (0 /1)  z0  M O (in /1)  z0  0
dP  mR  0
t
P
0 /1
 Rmg sin   mR 2  0
mgR sin   mR 2 
Moment d’inertie
de S /  O, z0 
Accélération
angulaire
Moment dynamique
Torseur Dynamique
définition
Soit un système S de masse M en mouvement par rapport à un repère galiléen R g
Le torseur dynamique de S/Rg s’écrit en un point O quelconque :
D 
S / Rg



  Rd

 


(
S
/
R
)

g 
 O

O
Résultante dynamique
moment dynamique en O.
!
Difficulté
Bien entendu, on a, pour tous points A et B



 A ( S / Rg )   B ( S / Rg )  AB  Rd
Dynamique du solide
Principe Fondamental de la Dynamique ( PFD )
Enoncé
Soit un Solide (S), de masse M et de centre d’inertie G,
en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg, alors
la somme des torseurs des efforts extérieurs qui
agissent sur (S) est égale au torseur dynamique de (S)
dans son mouvement par rapport à Rg
Mathématiquement
 T   D
S /S
S / Rg

Théorème de la Résultante Dynamique – (TRD)
 F (ext / S )  R
d
Théorème du Moment Dynamique – (TMD)
A,
M
A
(ext / S )   A (S / Rg )
Résultante Dynamique
Démonstration
En tout point Mi,
di  
Mi
(S)
 it
O
 in
i (t )
    M i ( S / Rg ) 


0


 : masse volumique
y0
On pose
D   d 
S / Rg
Mi
i
i
xi
Résultante dynamique
Rd ( S / Rg )      M i ( S / Rg )
i
x0
RdDémonstration
(S / Rg )  M G ( S / Rg )
Résultante dynamique
=
Masse de (S) *Accélération du centre d’inertie de (S)
Moment dynamique
« 2D »
Restrictions
 Problème plan
(S)
 it
O
 in
i (t )
 Solide en rotation autour d’un axe fixe
y0
(O, z0 )
 O ( S / Rg )    O ( M i / Rg )
i
Mi
xi
Démonstration
 O (S / Rg )  I (O, z )  z0
0
I (O, z0 )    R 2
x0
i
I (O , z0 )
: Moment d’inertie de (S) autour de l’axe
(O, z0 )
Moment dynamique
« 3D »
Restrictions
 Solide en rotation autour d’un axe fixe
Cj

O, xS , z0 
(O, z0 )
Plan de symétrie de (S)
O
zj
Modèle : Le solide (S) est un « empilement » de sections Sj
On note
z0
OC j  z j  z0
C j G j  x j  xS
D’après ce qui précède, on peut écrire, en tout point Cj
d  
j
Gj
Cj
Cj
xS
xj
D 
S / Rg
    G j ( S / Rg )   x j ys   x j 2 xs 





(
S
/
R
)

I

z
Cj
g


C j , z0  0


M  G ( S / Rg )
 

2

(
S
/
R
)

I

z

P

x

P

y
O
g
0
xz
s
xz
s
Démonstration


 O , z0 
O
Avec
Pxz    x j z j
j
Produit d’inertie
Moment dynamique
Analyse du moment d’inertie
Cas général d’un solide en rotation autour d’un axe fixe (O, z0 )
 O ( S / Rg )  IO, z  z0   Pyz 2  Pxz  xs   Pyz  Pxz 2  ys
0
Pour lancer ou arrêter un solide en rotation, il faut lutter sur l’axe de
rotation contre un « couple d’inertie » proportionnel
 à l’accélération angulaire

 au moment d’inertie I O , z0  ( S )
I O , z0  ( S )
Moment d’inertie du solide (S) autour de l’axe
Représente la répartition de la masse autour de l’axe
I O, z0  ( S )    Ri2
i
(O, z0 )
(O, z0 )
Moment dynamique
Analyse des produits d’inertie
 O ( S / Rg )  IO, z  z0   Pyz 2  Pxz  xs   Pyz  Pxz 2  ys
0
Si la masse est « mal » répartie.
= le centre d’inertie de chacune des sections n’est pas sur l’axe de rotation
« couples » d’inertie  l’axe de rotation.
Proportionnel :  à l’accélération angulaire
 à la vitesse angulaire
 aux produits d’inertie
La direction des couples tourne avec le solide
VIBRATIONS
Si la masse est bien répartie.
= le centre d’inertie de chacune des sections est sur l’axe de rotation
Pas de couple  l’axe de rotation.
L’axe est dit principal d’inertie
Le solide est équilibré dynamiquement
Paramètres d’inertie
Remarques
Mécanique du point et Mécanique du solide
Masse du solide : M en kg
Position du centre d’inertie : G
Mécanique du solide
Moment d’inertie et Produit d’inertie : en kg.m2
Un repère étant lié au solide, on peut définir
 3 moments d’inertie : un pour chaque axe
 3 produits d’inertie
Car symétrique
Pxz    xi zi  Pzx
i
Ixx Iyy Izz
Pxy Pyz Pxz
ou
Ixy Iyz Izx
Ces 6 termes permettent de calculer les moments d’inertie et les
produits d’inertie pour n’importe quel autre axe.
Paramètres d’inertie
sous MOTIONWORKS
Pour chaque corps en mouvement
Un repère lié au solide est créé en même
temps que la liaison
Masse
Position du
centre d’inertie
Produits d’inertie
Moments d’inertie
Dynamique
à savoir parfaitement
Le PFD
 T   D
S /S
S / Rg
Solide en translation rectiligne
Solide en Rotation

Autour d’un axe fixe C , u 
Torseur dynamique définit en G (centre d’inertie)


 Rd  M  G ( S / Rg )

 

0

G
D 
S / Rg
Torseur dynamique définit en C
S / Rg
S / Rg




R

M



G ( S / Rg ) 
  d




OG

R
d

G



0


 

  u 


(
S
/
R
)

I


g
( C ,u )

C C
D 
En un point O quelconque
D 

I ( C ,u )
sera une donnée
Le solide sera toujours équilibré
Et si possible « sentir » la chose