LYCEE MARCEL RUDLOFF Principe Fondamental de la
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LYCEE MARCEL RUDLOFF Principe Fondamental de la Dynamique Terminale GE Mécanique 1/3 C’est l’étude des relations entre les mouvements d’un solide et leurs causes. Dans ce chapitre nous nous limiterons à l’étude du mouvement de translation rectiligne d’un solide et du mouvement de rotation autour d’un axe confondu avec l’axe d’inertie du solide. I. Notion de repère galiléen : Repère absolu : C’est le repère fixe par rapport à l’ensemble de l’univers. Repère de Copernic : Son origine est le centre d’inertie du système solaire (proche du soleil) dont les axes passent par des étoiles fixent entre elles. En mécanique classique, les vitesses sont négligeables devant la vitesse de la lumière (300000 km/h), on admet donc que le repère de Copernic est absolu). Repère galiléen : Repère animé d’un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au repère de Copernic. Remarque : En négligeant la vitesse de rotation de la terre (1tour/24H) et en considérant le rayon de courbure de la trajectoire elliptique de la terre très grand, on supposera le repère terrestre comme galiléen. II. Principe Fondamental de la Dynamique : Dans un repère galiléen % on considère un solide S modélisable par un point M de masse m soumis à des actions mécaniques extérieures en M modélisées par le glisseur suivant : R(S/S) (S /S)M: 0 M Le Principe Fondamental de la Dynamique nous dit qu’à chaque instant t le solide S est soumis à une accélération £M telle qu’en un point quelconque A : m M (S /S)M : _AM mM M A a) Principe Fondamental de la Dynamique appliqué à un solide en translation : Soit un solide S de masse m de centre d’inertie G en mouvement de translation soumis à des actions mécaniques extérieures. L’expression du PFD au point G s’écrit : £R m ( S / S ) G (S /S)G: M G(S /S) 0 G _ G En un point quelconque A : ÄA([S/S) = ÄG([S/S) + _AG m£G = £0 m G (S /S)A: _AG mG A A LYCEE MARCEL RUDLOFF Principe Fondamental de la Dynamique Terminale GE Mécanique 2/3 Remarques : Théorème de la résultante dynamique : £R([S/S) = m£G. Théorème du moment dynamique : ÄA([S/S) = _AG m£G Pour un mouvement de translation rectiligne uniforme (MTRU) : £G = £0 0 (S /S)G: 0 G Cette relation est donc une condition nécessaire mais non suffisante pour définir l’équilibre d’un solide (Principe Fondamental de la Statique) Pour un mouvement de translation rectiligne uniformément varié (MTRUV) : G = constante. Exemple : Chute libre d’un solide Soit S de masse m en chute libre. Soit £G le vecteur accélération du centre de masse G P Les actions mécaniques extérieures sont définies par le glisseur : (S / S)G: 0 G mG PFD : (S / S)G: 0 G Le théorème de la résultante dynamique nous donne : £P = m£G Et avec £G = g (vecteur accélération de la pesanteur) nous avons : P = mg G £P É Exercices : a) Une navette spatiale est supposée à l'arrêt dans l'espace. Les trois moteurs sont allumés. La poussée de chaque moteur est de 2300kN, les trois poussées sont parallèles et leur action résultante passe par le centre de gravité G. Déterminer l'accélération supportée par les astronautes si la masse de la navette est de 100 tonnes. (réponse : a=69m/s²) b) La figure ci-contre représente un dispositif de levage de containers de semi-remorques. Le container 6 de masse M6=20000kg est soulevé par l’intermédiaire de quatre câbles 20 et 20’ en liaison pivot sans frottement. Hypothèses : - le repère (O, x, y, z) est galiléen. - Le mouvement du container est rectiligne d’axe (A, y). - Le mouvement de levage est accéléré tel que (G66/ sol) 0.3m/ s 2 Appliquer le PFD et déterminer la tension dans un câble 20 ou 20’. (réponse : I(20/6) = J(20’/6) = 54520 N) III. LYCEE MARCEL RUDLOFF Principe Fondamental de la Dynamique Terminale GE Mécanique 3/3 III. Notion de moment d’inertie : a) Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe : z Le moment d’inertie caractérise la répartition des masses d’un solide autour d’un axe. Plus la valeur du moment d’inertie est grande, plus il sera difficile de mettre le solide en rotation autour de cet axe. Soit un solide S de masse m et un axe (O, z). Soient dm la masse d’un point Mi S. On appelle moment d’inertie de S par rapport à l’axe (O, z) le scalaire positif suivant : S li Mi O I(O, zli2dm (S) Unité : le moment d’inertie s’exprime en kg.m² b) Exemples : Cylindre plein : z I(O, z) = ÂM.R² Avec M la masse du cylindre et R son rayon y O 2 Sphère pleine : I(O, z) = 5 MR 2 O x x z IV. PFD appliqué à un solide homogène en rotation autour d’un axe de symétrie matériel fixe : Dans le cas de la rotation d’un solide homogène S autour d’un axe de symétrie matérielle fixe (O, z) appartenant à S, le PFD s’écrit en tout point O de cet axe : £R ( S / S ) 0 (S /S)O: M O(S /S) I(O,z). θz O _ O avec = l’accélération angulaire du solide en rotation. θ Remarques : Théorème de la résultante dynamique : £R([S/S) = 0 Théorème du moment dynamique : ÄO([S/S) = z I(O,z).θ Exercice : On se propose d’étudier le couple de démarrage à vide d’un moteur électrique dont le rotor est modélisé par un cylindre plein de masse m=3kg et de rayon 30 mm. On notera (O, z) l’axe de symétrie matérielle du rotor. Soit le graphe du mouvement de S suivant : Nature du mouvement et valeur de l’accélération en phase de démarrage ? θ (t) rad/s MRUV avec ’’ = 200 rad/s² 150 Calculer le moment d’inertie du rotor par rapport à (O, z) I(O, z) = 1,35.10-3 kg.m² Calculer la valeur du moment par rapport à l’axe (O, z) des actions mécaniques agissant sur S pendant le démarrage à vide. MOz([S/S) = 0.27 0 t (s) 0.75 Nm
