PROBABILITÉS

PROBABILITÉS
en 3ème
1

Introduction

Pourquoi l’aléatoire au collège ?

Textes officiels

Expériences aléatoires

Notions élémentaires de probabilité

Un exemple d’activité

Conclusion
2
Introduction

Des représentations du hasard chez des élèves de CM2 :
– « Choses imprévisibles qui viennent de l’extérieur »
– « On produit du hasard en répondant au pif »
– « Choses relatives aux coïncidences »
– « Chose où on peut avoir de la chance ou de la malchance»
– « Le hasard n’existe pas »
3

Etymologie :
– Hasard vient de l’arabe « az-zahr » qui signifie jet de dé
–Aléa vient du latin alea qui signifie coup de dé
– Chance vient du latin cadere qui signifie choir, tomber
4
Pourquoi l’aléatoire au collège ?
« Pour permettre au citoyen d’aborder l’incertitude et le
hasard dans une perspective rationnelle »
 Familiariser plus tôt les élèves avec cette branche des
mathématiques qui diffère fondamentalement des autres.
 Une clé essentielle pour l’analyse et la compréhension des
phénomènes incertains.
5
 Un enjeu de citoyenneté :
- être capable de distinguer le hasard « calculable »
du hasard de la contingence fortuite.
- être capable d’avoir un esprit critique face à
certaines affirmations des médias.
 Nos voisins européens ont commencé depuis longtemps
à enseigner l’aléatoire, parfois depuis l’école primaire.
6
Les textes officiels
Le programme de 3ème a pour objectifs :
 de poursuivre la mise en place de paramètres
(de position et de dispersion) d'une série statistique
et d’envisager ainsi la notion de résumé statistique ;
 de mettre en pratique sur des exemples simples la notion
de probabilité.
7
Connaissances
Capacités
1.4. Notion de probabilité
- Comprendre et utiliser des
notions élémentaires de
probabilité.
- Calculer des probabilités
dans des contextes
familiers.
[ Thèmes de convergence]
8
Exemples d’activités,
commentaires
La notion de probabilité est abordée
à partir de situations familières
(pièces de monnaie, dés, roues de
loteries, urnes). Certaines de ces
situations permettent de rencontrer
des cas pour lesquels les probabilités
ne sont pas définies à partir de
considérations intuitives de symétrie
ou de comparaison mais sont
approximativement évaluées par les
fréquences observées
expérimentalement (approche
fréquentiste des probabilités).
La notion de probabilité est utilisée
pour traiter des situations de la vie
courante pouvant être modélisées
simplement à partir des situations
précédentes. Les situations étudiées
concernent les expériences aléatoires
à une ou à deux épreuves.
Commentaires
spécifiques pour le socle
Dans le cadre du socle,
aucune compétence n’est
exigible dans le cas des
expériences à deux
épreuves.
9
Programme actuel de seconde
Contenu
 Statistiques descriptives :
Représentations - Moyenne – Médiane - Etendue.
 Propriétés de la moyenne.
 Simulations.
10
Programme actuel de seconde
Le travail sera centré sur :
 la réflexion conduisant au choix de résumés numériques
d’une série statistique quantitative.
 la notion de fluctuation d’échantillonnage.
 la simulation à l’aide d’un générateur aléatoire.
11
De l’expérience à la simulation(1)
Lancer effectif de dés :
 L’exploitation des résultats permet de réinvestir ce qui a
été vu en statistique descriptive.
 La mutualisation des résultats permet d’obtenir un
effectif total satisfaisant pour une première observation
de certains phénomènes (par exemple : a-t-on plus de
chance d’obtenir un total de 4 ou 5 en lançant 2 dés ?).
 Une fois les caractéristiques de l’expérience comprises
et acceptées (chaque face du dé a la même chance
d’apparaître, le dé ne se souvient pas du résultat que l’on
vient d’obtenir), on peut passer à l’étape suivante.
12
De l’expérience à la simulation(2)
Utilisation du générateur de nombres aléatoires de la
calculatrice ou du tableur :
 L’élève peut, grâce à sa calculatrice ou au tableur,
simuler un plus grand nombre d’expériences,
cela permet d’éviter des lancers de dés trop fastidieux.
 L’élève doit être capable de décider d’une stratégie de
simulation, par exemple :
Comment simuler un tirage d ’une boule dans une urne
contenant n boules blanches et p boules noires ?
13
En première
 Les simulations faites en classe de seconde amènent la
construction de modèles mathématiques : Les probabilités.
 On définit ainsi les correspondants théoriques des
caractères, moyennes et écarts-types.
 La loi des grands nombres introduite comme théorème
mathématique justifie alors l’emploi des simulations.
En terminale
le paragraphe « Adéquation à une loi équirépartie »
permet de réinvestir les statistiques vues en seconde et
première tout en constituant une introduction à la
problématique des tests.

14
Expériences aléatoires

Une expérience aléatoire
- est une expérience
- elle peut être décrite par un protocole
et peut être répétée dans les mêmes conditions
- on peut déterminer à l’avance la liste des issues
- on ne peut pas prévoir quelle en sera l’issue au
moment où on la réalise.
15
 La réalisation d’expériences permet de donner du sens
et de « casser » les fausses représentations.
 On utilise un matériel varié :
dés, pièces de monnaie,urnes et boules de couleur,
punaises, etc…
16
Notions élémentaires de probabilité
F
Probabilité d’un résultat (d’une issue) Pobtenue
par
des considérations de symétrie ou de comparaison.
P
F
Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats
possibles a une chance sur 2 de se produire.
Ils ont la même probabilité : 1/2
17
P
F
La proportion de boules jaunes dans l’urne est 2/5.
On a 2 chances sur 5 d’obtenir une boule jaune.
La probabilité d’obtenir une boule jaune est 2/5.
18
Expérience à deux épreuves : un exemple
On dispose :
- d’une part, d’un dé ayant une face rouge,
deux faces noires et trois faces vertes
- et d’autre part, d’une pièce de monnaie
(les deux, bien équilibrés). On lance le dé puis la pièce.
1.
Ecrire tous les résultats possibles.
2.
Déterminer la probabilité d’obtenir Vert et Pile.
19
Présentation des résultats :
R
N
V
P
(R;P)
......
……
F
……
......
……
Ce tableau ne peut pas convenir pour déterminer
les probabilités.
Les « couleurs » ne sont pas équiprobables.
20
Présentation des résultats : tableau
R
N1
N2
V1
V2
V3
P
(R;P)
(N1;P)
(N2;P)
(V1;P)
(V2;P)
(V3;P)
F
(R;F)
(N1;F)
(N2;F)
(V1;F)
(V2;F)
(V3;F)
La probabilité d’obtenir (V;P) est 3/12 ou 1/4
21
Résumé
Résultats
possibles
Nombre
de fois
(R;P) (R;F) (N;P) (N;F) (V;P) (V;F) Total
1
1
2
2
3
3
12
1
Probabilité
12
1
12
2
12
2
12
3
12
3
12
1
22
Présentation des résultats : arbre
P
(R;P)
F
P
(R;F)
(N1;P)
F
P
(N1;F)
(N2;P)
F
P
(N2;F)
R
N1
N2
V1
(V1;P)
F
P
(V1;F)
F
P
(V2;F)
V2
V3
F
(V2;P)
(V3;P)
(V3;F)
La probabilité d’obtenir (V;P) est 3/12 ou 1/4
23
Arbre : autre présentation
1/2
P
1/2
F
1/2
P
R
1/6
2/6
N
3/6
1/2
F
1/2
P
1/2
F
Vérifications :
Sommes égales à 1
V
24
Pour un grand nombre d’expériences,
en moyenne :


3/6 d’entre elles « donneront » Vert pour le lancer
de dé.
Parmi les expériences qui « ont donné » Vert, la
moitié d’entre elles « vont donner » Pile.

1/2 de 3/6 des expériences donneront (V;P).

La probabilité d’obtenir (V;P) est donc 1×3=1
2 6 4
25
P
Probabilité d’un résultat (d’une issue)
obtenue par approche « fréquentiste »
F
Exemple du lancer de punaise
La fréquence de chacune des issues « Tête » ou
« Côté » tend à se stabiliser pour un grand
nombre de lancers.

G

P
On ne peut approcher la probabilité de « Tête »
ou celle de « Côté » que par l’expérimentation.
26
Un exemple d’activité
« Si je dois parier sur la somme des points obtenus lorsque je
lance deux dés, quelle valeur faut-il que j’annonce avant le
lancer pour avoir le plus de chance de gagner ? »
1) Réalise 60 lancers de deux dés et note, à chaque fois,
la somme des points obtenus.
Donne une synthèse de tes résultats.
2) Représente graphiquement tes résultats.
3) Sur quelle valeur de la somme des deux dés vas-tu parier ?
Explique ta réponse.
27
Sommes
Louis
Thomas
Dylan
Marie-Charlotte
Benjamin W
Amel
Mylène
Gaëtan
Manon
Marc
Benjamin C
Hélène
Franck
Valérie D
Hulya
Margaux S
Valérie C
Margaux F
Laura
Musa
Totaux
Fréquences
2
1
3
6
2
2
2
1
3
3
0
0
3
0
6
3
1
3
0
4
1
44
3
2
2
10
3
2
3
8
3
5
4
3
3
2
3
3
7
3
2
4
2
74
4
4
6
8
6
10
3
6
5
3
8
3
6
2
4
4
4
3
6
4
7
102
5
7
6
3
7
8
10
9
6
4
7
9
5
8
3
9
13
7
5
9
2
137
6
9
6
12
8
7
10
8
3
11
8
12
11
8
12
9
5
7
8
9
7
170
7
13
11
14
7
10
9
12
10
16
8
13
5
11
16
6
13
13
12
11
10
220
8
4
11
6
7
9
9
8
8
6
6
5
10
9
5
9
3
13
9
7
6
150
9
9
3
3
4
3
3
5
6
5
12
4
8
6
3
7
5
3
9
5
9
112
10
4
5
4
8
6
2
2
5
4
5
6
6
7
4
5
5
4
3
4
10
99
11
5
4
2
5
3
8
0
5
3
2
5
3
5
2
4
2
2
3
1
3
67
0,04
0,06
0,08
0,11
0,14
0,18
0,12
0,09
0,08
0,06
12 Total
2
60
3
60
2
70
3
60
0
60
1
60
1
60
4
58
0
60
0
60
2
62
0
60
2
60
1
59
1
60
2
60
4
62
2
59
2
60
3
60
35 1210
0,03
1
28
Graphiques
Somme obtenue lors des lancers des deux dés
2
Somme obtenue lors des lancers des deux dés
3
4
200
99
150
35 44
67
74
5
102
112
6
137
100
7
8
50
150
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9
170
220
12
10
som m e obenue
11
12
Som m e obtenue lors des lancers des deux dés
Somme obtenue lors des lancers des deux dés
250
2
12 400
11 200
3
4
0
10
5
9
6
8
7
nombre de fois
nombre de fois
250
200
150
100
50
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
som m e obenue
29
Après débat et mise en commun, on
peut dégager les points suivants :



A l’intérieur de la classe, les échantillons varient,
fluctuent.
C’est le regard sur un grand nombre de résultats qui
peut permettre de parier.
Qu’y avait-il de prévisible ?
30
Pour répondre à cette dernière question,
on peut faire un tableau comme celui qui
suit, qui indique et dénombre les différents
totaux :
dé 1
1
2
3
4
5
6
dé 2
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
31
Il est possible alors de montrer
aux élèves une simulation d’un
lancer de deux dés.
Voir dans les documents complémentaires « Probas.zip » :
Simulation d'un lancer de deux dés
32
Conclusion

Déjà enseigné dans de nombreux pays.

Nouvelle forme de pensée à acquérir.

Fil rouge tout au long de l’année.

Favoriser la démarche par l’expérience
et laisser du temps.

Allers-retours entre expérience et modèle.

Document d’accompagnement à venir.
Menu général …
33