NOM : Terminale E.S. Devoir n° 3 Mardi 18 novembre 2014

NOM : Terminale E.S. Devoir n° 3 Mardi 18 novembre 2014
Exercice 1. sur 2 points
Répondre directement sur cette feuille. Aucune justification n’est attendue.
On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction f définie, continue et dérivable sur [2 ; 15]
x
2
3
10
15
variations
de f
-20
6
-1
4
1) Quel est le signe de
f
(x) sur l’intervalle ]10 ;15[ ?
2) Donner une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 3.
3) Combien y a-t-il de points d’intersections entre la courbe et l’axe des abscisses ?
4) Quel est le nombre de solutions de l’équation f(x) = 5 dans [2 ;15] ?
5) On définit une fonction g sur [2 ;15] par
2
( ) ( )g x f x
. Combien l’équation g(x) = 4 a-t-elle de solutions dans
l’intervalle [2 ;15]
Pour les autres exercices, rédigez sur copie en justifiant soigneusement
Exercice 2. sur 3 points
On donne ci-dessous la représentation graphique Γ d’une fonction f
La courbe Γ passe par les points A(0 ; 2) et C(−2 ; 0) et la droite (AB) est la tangente en A à Γ. La tangente à Γ en son
point D d’abscisse −1 est parallèle à l’axe des abscisses.
1) Déterminer, à l’aide des renseignements fournis par l’énoncé, les valeurs de f (0), de f ′(0) et de
f
(– 1).
2) Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée f ′ de f et une autre représente
une fonction h telle que h′ = f sur R. Déterminer la courbe associée à Ia fonction f ′ et celle qui est associée à la fonction h.
Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix

Exercice 3. sur 3 points
Soit f la fonction définie sur  par
3
( ) 4 3 ² 2 1f x x x x   
1) Dresser le tableau de variations de f
2) Calculer f(– 1) et f (0)
3) Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique  sur 
4) Donner un encadrement d’amplitude 10-3 de 
5) Déduire des questions précédentes le tableau de signes de f(x)
Exercice 4. sur 3.5 points
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant :
1) La fonction
x
x
est croissante sur 
2) La fonction
0.5x x
est négative sur 
3) 123 456 789 654 321 0 = 0
4)
3,2 2,8 6
1,5 1,5 1,5
5)
3
28
xx
pour tout x
6)
55
aa
pour tout réel a > 0
7)
2
2
33 pour tout réel
3
xxx
Exercice 5. sur 3 points
Soit f la fonction définie sur  \ {3} par
² 11 28
() 3
xx
fx x
.
1) Calculer
f
(x) et vérifier que
² 6 5
() ( 3)²
xx
fx x
2) Etudier le signe de
f
(x)
3) En déduire le tableau de variations de f
4) Soit A le point de la courbe de f dont l’abscisse est 2 et soit (T) la tangente à la courbe en A. Déterminer une
équation de (T).
Exercice 6. sur 2.5 points
L’entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1m de large et pour une longueur x exprimée en
km, x étant compris entre 0 et 10.
Le coût total de production, en euros, de l’entreprise est donné en fonction de la longueur x par la formule :
32
( ) 15 120 500 750C x x x x   
.
Le prix du marché pour 1 km de ce tissu est égal à 680 euros.
On note B(x) le bénéfice réalisé par cette entreprise, lorsqu’elle fabrique et vend x km de ce tissu.
1) Montrer que la fonction C est croissante sur [0 ;10]
2) Justifier que
3
( ) 15 120 ² 180 750B x x x x    
3) Pour quelle quantité produite et vendue, le bénéfice est-il maximal ?
Exercice 7. sur 3 points
Soit (un) la suite définie par u0 = 25 et un+1 = 1,04un + 32
1) Calculer u1 et u2 en détaillant les calculs.
2) A l’aide de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite (un) quand n tend vers + 
3) Soit (vn) la suite définie par vn = un + a où a est un nombre réel.
a) Déterminer le nombre a tel que (vn) soit une suite géométrique
b) Justifier la conjecture faite au 2°

Corrigé de l’exercice 1.
Les explications (en bleu) n’étaient pas demandées.
1) Quel est le signe de
f
(x) sur l’intervalle ]10 ;15[ ? plus
La fonction est croissante donc sa dérivée est positive
2) Donner une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 3.
6y
En ce point la tangente est horizontale
3) Combien y a-t-il de points d’intersections entre la courbe et l’axe des abscisses ? 3
L’équation f(x) = 0 a trois solutions
4) Quel est le nombre de solutions de l’équation f(x) = 5 dans [2 ;15] ? 2
f prend la valeur 5 en allant de – 20 à 6 puis de nouveau en allant de 6 à – 1. C’est la propriété des
valeurs intermédiares.
5) On définit une fonction g sur [2 ;15] par
2
( ) ( )g x f x
. Combien l’équation g(x) = 4 a-t-elle de
solutions dans l’intervalle [2 ;15] 4
2
( ) 4 ( ) 2 ou ( ) 2f x f x f x    
. L’équation f(x) = 2 a 3 solutions ; l’équation f(x) = – 2 a une
solution.
2 points
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
Corrigé de l’exercice 2
1) f(0) = 2 car la courbe passe par A(0 ; 2) ;
f
(0) = – 1 c’est le coefficient directeur de (AB) ;
( 1) 0f
car la tangente en D est horizontale.
2) Des variations de f on déduit le signe de sa dérivée
f
:
x
–
-1
+
variations
de f
f(–1)
signe de
f
(x)
+
0
–
La courbe associée à la fonction f’ est la courbe 1 (seule courbe correspondant à ce tableau de
signes)
Du signe de f = h’ on déduit les variations de h.
x
–
-2
+
signe de h’(x)
-
0
+
variations
de h
La courbe associée à la fonction h est la courbe 3 (seule courbe correspondant à ce tableau de
variations)
3 points
0.25 0.5
0.25
1
1
Corrigé de l’exercice 3
Soit f la fonction définie sur  par
3
( ) 4 3 ² 2 1f x x x x   
1.
( ) 12 ² 6 2f x x x
: polynôme du second degré  = -60. Pas de racine et a > 0
x
-
–1  0
+
signe de
f
(x)
+
variations
de f
1
0
-2
2. f(– 1) = - 2 et f(0) = 1
3. D’après le tableau de variations ci-dessus et la propriété des valeurs intermédiaires, l’équation
f(x) = 0 a une unique solution  dans .
4. Avec la calculatrice, on obtient : - 0.606 <  < - 0.605
5. On déduit :
x
-
signe de f(x)
–
0
+
3 points
1
0.25
0.5
0.5
0.75

Corrigé de l’exercice 4
1) La fonction
x
x
est croissante sur  : vraie car π > 1
2) La fonction
0.5x x
est négative sur  : faux car toutes les fonctions exponentielles sont
strictement positives sur 
3) 123 456 789 654 321 0 = 0 : faux car a 0 = 1 pour toutes les valeurs de a non nulles
4)
3,2 2,8 6
1,5 1,5 1,5
vrai car on additionne les exposants
5)
3
28
xx
pour tout x : vrai car
33
2 2 8
x
xx
6)
55
aa
pour tout réel a > 0 : faux car par définition,
55
1
aa
7)
2
2
33 pour tout réel
3
xxx
: faux car
222
2
33
3
xx
et
2 2 n'est pas égal à xx
3.5 pts
0.5 par
question
Corrigé de l’exercice 5
Soit f la fonction définie sur  \ {3} par
² 11 28
() 3
xx
fx x
.
1. f est de la forme
u
v
avec
² 11 28 et 3u x x v x    
d’où
' 2 11 et ' 1u x v  
2 2 2
(2 11)( 3) 1( ² 11 28) 2 ² 6 11 33 ² 11 28 ² 6 5
() 3 3 3
x x x x x x x x x x x
fx x x x
2. Eude du signe de
f
(x) :
² 6 5xx
: polynôme du second degré ;  = 16 ; Deux racines : 5 et 1 ; a > 0
(x – 3)² : un carré est toujours positif ; l’expression s’annule pour x = 3 (« valeur interdite »)
x
-
1
3
5
+
x² - 6x +5
+
0
-
–
0
+
(x-3)²
+
+
0
+
+
quotient
+
0
–
||
–
0
+
3. On en déduit le tableau de variations de f :
x
-
1
3
5
+
signe de f’(x)
+
0
–
–
0
+
variations
de f
-9
– 1
4. La tangente à la courbe en A a pour équation :
( ) ( )
A A A
y f x x x f x
Ici : xA = 2 ;
f
(2) = -3 et f(2) = -10
D’où
3( 2) 10 3 6 10 3 4y x x x          
La tangente en A a pour équation
34yx  
3 points
1
1
0.5
0.5
Corrigé de l’exercice 6
1.
'( ) 45 ² 240 500C x x x  
. Polynôme du second degré :  = – 32 400. Pas de racine et a > 0. On a
donc C’(x) toujours positif et donc la fonction C est croissante sur [0 ; 10]
2. Comme le prix est 680€ pour 1 km la recette est R(x) = 680x et le bénéfice est :
3 2 3 2
( ) ( ) ( ) 680 15 120 500 750 15 120 180 750B x R x C x x x x x x x x           
3. On étudie les variations de la fonction bénéfice sur [0 ; 10]
'( ) 45 ² 240 180B x x x   
. Polynôme du second degré :  = 90 000 ; deux racines – 2/3 et 6.
B’(x) est négatif à l’extérieur des racines.
2.5 pts
1
0.5

D’où :
x
0
6
10
signe de B’(x)
+
0
–
variations
de B
Le bénéfice est maximal lorsque l’entreprise fabrique et vend 6 km de tissu.
1
Corrigé de l’exercice 7
1) u1 = 1.04× 25 + 32 = 58 ; u2 = 1.04×58 + 32 = 92.32
2) On conjecture que lorsque n tend vers + , un tend vers + 
3)
11 1.04 32 1.04( ) 32 1.04 1.04 32 1.04 32 0.04 n n n n n n
v u a u a v a a v a a v a
Pour que la suite (vn) soit géométrique il faut que
32 0.04 0a
c'est-à-dire
32 800
0.04
a
On a alors (vn) suite géométrique de raison 1.04 et un = vn – 800
Comme 1.04 > 1, quand n tend vers + , vn tend vers +  et vn – 800 tend aussi vers +  d’où
lim n
nu
3 points
0.5
0.5
1.5
0.5