Aspects énergétiques des systèmes mécaniques.

Aspects
énergétiques des
systèmes
mécaniques.
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
1. Notion de travail mécanique.
Le travail mécanique est un mode de transfert
d’énergie entre un objet et le milieu extérieur.
Ce transfert est lié au déplacement du point
d’application d’une force.
Il a pour effets :
 de modifier la valeur de la vitesse de l’objet
dans ce référentiel.
 de déformer l’objet.
 de modifier le position de l’objet dans le
référentiel choisi.
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
2. travail d’une force constante.
a) Force constante.
• La direction,
• le sens,
• et la valeur,
ne changent pas pendant le
déplacement.
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
2. travail d’une force
constante.
b) Travail.
F
a
A
B
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
2. travail d’une force constante.
b) Travail.
Le point d’application de
F
se déplace de A à B en suivant
une trajectoire quelconque.
WAB (F )  F .AB  F  AB  cos a
WAB( F ) : Travail de la force (J)
F : valeur de la force (N)
AB : déplacement (m).
a=
 F , AB 
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
2. travail d’une force constante.
b) Travail.
WAB( F ) ne dépend pas du chemin suivi entre A et B.
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
2. travail d’une force constante.
c) Exemple: Travail du poids d’un corps.
WAB( P ) = P.GAGB = P×GAGB × cos a
= ± P ×h
z
zGA
GA
a
h
+ si G descend.
- si G monte.
P
zGB
GB
k
O
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
2. travail d’une force constante.
c) Exemple: Travail du poids d’un corps.
Dans tous les cas :
WAB( P ) = P×(zGA – zGB)
z
zGA
GA
a
h
P
zGB
k
O
zG est l’altitude de G.
L’axe Oz étant :
• vertical
• vers le haut.
• O étant arbitraire.
GB
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
3. Expression du travail dans le cas général.
a) Travail élémentaire.
Dans le cas d’une force non constante,
pour être ramené au cas précédent,
on calcule le travail sur un déplacement
élémentaire,
la force étant considérée comme constante
au cours de ce déplacement.
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
3. Expression du travail dans le cas général
a) Travail élémentaire.
 W  F .dl
F
l
dl : déplacament élémentaire.
 W : travail élémentaire
B
A
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
3. Expression du travail dans le cas général
b) Travail total entre A et B.
C’est la somme de tous les travaux élémentaires
entre A et B
WAB (F )    W  F .dl
AB
AB
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
4. Travail de la tension d’un ressort.
a) Définition de la tension.
C’est la force exercée
à l’extrémité d’un ressort,
l’autre extrémité étant fixe.
(Le système est donc le ressort).
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
4. Travail de la tension d’un ressort.
b) Travail élémentaire.
T  k.x.i
A0
A vide: x = 0
A
T
Étiré: x > 0
A
Comprimé: x < 0
T
0
i
x
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
4. Travail de la tension d’un ressort.
b) Travail élémentaire.
Principe :
On calcule le travail élémentaire
lorsque l’allongement
passe de x à x + dx
en supposant que pendant ce
déplacement T est constant :
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
4. Travail de la tension d’un ressort.
b) Travail élémentaire.
 W  T .dl
A0
T
A
T
T
O
i
x
dl
x
x + dx
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
4. Travail de la tension d’un ressort.
b) Travail élémentaire.
 W  T .dl
 W  T .dl  T .dxi  kxdxi .i  kxdx
car i .i  1
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
4. Travail de la tension d’un ressort.
b) Travail total pour passer de l’allongement x1 à
l’allongement x2
•
Calcul par intégration:
W x1 x2  
x2
x1
1
1
2 x2
2
2
kxdx  k  x   k  x2  x1 
x1
2
2
I. Transfert d’énergie par
travail mécanique.
4. Travail de la tension d’un ressort.
b) Travail total pour passer de l’allongement x1 à
l’allongement x2
•
1 2
kx1
2
Méthode graphique (en supposant x > 0):
F = kx
kx2
kx
1 W
2
W kx
2
2
kx1
1/2kx1²
O
x1
x
x + dx
x
x2
II. Énergie potentielle.
1. Notion d’énergie potentielle.
L’énergie potentielle Ep d’un
système est l’énergie que possède
ce système
du fait des positions relatives des
différentes parties du système en
interaction.
II. Énergie potentielle.
1. Notion d’énergie potentielle.
Pour qu’un système possède
de l’énergie potentielle
il doit être
déformable
II. Énergie potentielle.
2. Énergie potentielle élastique.
Un ressort possède de l’énergie
potentielle lorsqu’il est allongé ou
comprimé. Son énergie potentielle est
nulle si le ressort est détendu.
C’est l’état de
référence.
II. Énergie potentielle.
2. Énergie potentielle élastique.
L’énergie potentielle stockée dans
un ressort dont l’allongement est x
est égale à l’énergie qu’on lui a
fourni pour le faire passer d’un
allongement nul à l’allongement x.
II. Énergie potentielle.
2. Énergie potentielle élastique.
1
2
2
E pe ( x )  W0 x (T )  k  x  0 
2
pe(x): Énergie potentielle
1 2 Eélastique
(J).
E pe ( x )  kx
-1)
k
:
raideur
du
ressort
(N.m
2
x : allongement algébrique du
ressort (m)
II. Énergie potentielle.
3. Énergie potentielle de pesanteur.
z
A
zG
P  mg
O
Terre
Dans la position A de
l’objet,
le système {Terre, objet}
possède de l’énergie
potentielle de pesanteur
due à la position de cet
objet par rapport à la
Terre et à leur
interaction.
II. Énergie potentielle.
3. Énergie potentielle de pesanteur.
z
A
zG
P  mg
O
Terre
L’interaction est ici le
poids de l’objet et la
force opposée exercée
par l’objet sur la Terre.
Le système possède de
l’énergie potentielle
puisque si on lâche
l’objet celui-ci se met en
mouvement.
II. Énergie potentielle.
3. Énergie potentielle de pesanteur.
z
zG
O
L’énergie potentielle que
L’énergiel’objet
potentielle
possède
dans de
le
A E
(
F
)


W
(
P
)
pesanteur
est
nulle
si
pp ( z )  W
0

z
0

z
champ de pesanteur
l’objet
est à l’altitude
z = 0.
(supposé
uniforme)
E
(
z
)


P
(0

z
)
pp
lorsque qu’il est à
P  mg
C’est l’état
de référence.
l’altitude
est z
E pp ( z )  mgz
est égale à l’énergie
qu’on lui a fournie pour
Terre
le faire passer de
l’altitude 0 à l’altitude z.
L’objet étant au repos au
départ et à l’arrivée.
I. Énergie potentielle.
3. Énergie potentielle de pesanteur.
z
A
zG
P  mg
O
Terre
Epp(z) = mgz
Epp(z): Énergie potentielle
de pesanteur (J).
mg : poids de l’objet (N).
z : altitude du centre
d’inertie de l’objet, l’axe des
altitudes étant vertical vers
le haut (m)
III. Énergie mécanique du
système {solide, ressort}.
1. Étude énergétique du système {solide,ressort} horizontal non
amorti.
Au cours du mouvement, à la date t,
l’énergie cinétique du solide est EC(t) = 1/2mvGx²(t)
EC(t) = 1/2m. x ²
L’énergie potentielle élastique du ressort est,
à la date t, où l’allongement est x :
Epe(t) = 1/2.k.x²
III. Énergie mécanique du
système {solide, ressort}.
1. Étude énergétique du système {solide,ressort} horizontal non
amorti.
Soit
EC(t) + Epe(t) = 1/2m. x ² + 1/2.k.x²
En dérivant par rapport au temps:
d  EC (t )  E pe (t ) 
dt
 mxx  kxx  x (mx  kx )
III. Énergie mécanique du
système {solide, ressort}.
1. Étude énergétique du système {solide,ressort} horizontal non
amorti.
Or
(mx  kx )  0
C’est l’équation différentielle du mouvement de G
Donc:
d  EC (t )  E pe (t ) 
dt
0
III. Énergie mécanique du
système {solide, ressort}.
1. Étude énergétique du système {solide,ressort} horizontal non
amorti.
D’où:
EC (t )  E pe (t )  Constante ∀t
III. Énergie mécanique du
système {solide, ressort}.
2. Énergie mécanique du système {solide,ressort} horizontal
non amorti.
a) Définition.
L’énergie mécanique
du système {solide, ressort}
est à chaque instant égale à la somme de
l’énergie cinétique du solide et de l’énergie
potentielle élastique du ressort.
E M (t )  EC (t )  E pe (t )
III. Énergie mécanique du
système {solide, ressort}.
2. Énergie mécanique du système {solide,ressort} horizontal
non amorti.
b) conservation.
L’énergie mécanique
du système {solide, ressort}
Se conserve si le système évolue
sans frottement.
E M (t )  EC (t )  E pe (t )  Cste t
III. Énergie mécanique du
système {solide, ressort}.
2. Énergie mécanique du système {solide,ressort} horizontal
non amorti.
c) Valeur.
Puisque EM est constante
on peut la calculer lorsque:
vGx = 0 alors x = xM
1 2
E M  kx M
2
III. Énergie mécanique du
système {solide, ressort}.
2. Énergie mécanique du système {solide,ressort} horizontal
non amorti.
d) Conséquence.
Au cours des oscillations
il y a transformation réciproque
d’énergie cinétique
en
énergie potentielle élastique.
35
E (mJ)
30
25
Ec (J)
20
Ep (J)
15
Em (J)
10
5
t(s)
0
0
0,5
1
1,5
2
III. Énergie mécanique du
système {solide, ressort}.
3. Énergie mécanique du système {solide,ressort} horizontal
amorti.
d) Conséquence.
En cas de frottement, l’amplitude des
oscillations donc l’énergie mécanique
diminue au cours du temps.
DPendant
EM ladurée
WDt(lafvariation
)

0
d’énergie
frottement
mécanique est égale au travail des forces de
frottement :
IV. Énergie mécanique d’un
projectile dans le champ
de pesanteur uniforme.
1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un
projectile
a) Rappel.
z
V0
a
k
0
i
g
x
IV. Énergie mécanique d’un
projectile dans le champ
de pesanteur uniforme.
1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un
projectile
a) Rappel.
aG  g   gk
donc
aG x  x  0
et
aGz  z   g
IV. Énergie mécanique d’un
projectile dans le champ
de pesanteur uniforme.
1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un
projectile
a) Rappel.
Au cours du mouvement, à la date t, l’énergie cinétique du projectile est:
1
1
2
2
2
EC (t )  mvG  m  x  z 
2
2
L’énergie potentielle de pesanteur est, à la date t,
où l’altitude du centre d’inertie du projectile est z :
E pp (t )  mgz
IV. Énergie mécanique d’un
projectile dans le champ
de pesanteur uniforme.
1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un
projectile
a) Rappel.
Soit
1
2
2
EC (t )  E pp (t )  m  x  z   mgz
2
Dérivons par rapport au temps:
d  EC (t )  E pp (t ) 
dt
 mxx  mzz  mgz
IV. Énergie mécanique d’un
projectile dans le champ
de pesanteur uniforme.
1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un
projectile
a) Rappel.
Or
x  0 et z = -g
Donc:
d  EC (t )  E pp (t ) 
dt
 mgz  mgz  0
IV. Énergie mécanique d’un
projectile dans le champ
de pesanteur uniforme.
1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un
projectile
a) Rappel.
D’où
EC (t )  E pp (t )  Constante ∀t
IV. Énergie mécanique d’un
projectile dans le champ
de pesanteur uniforme.
1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un
projectile
b) conservation
L’énergie mécanique
du projectile dans le champ de pesanteur
se conserve si le mouvement se fait
sans frottement.
E M (t )  EC (t )  E pp (t )  Cste ∀t
IV. Énergie mécanique d’un
projectile dans le champ
de pesanteur uniforme.
1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un
projectile
c) Valeur
Si à t = 0
z=0
Alors Epp (0) = 0 et EM = EC(0)
1
2
E M  mv0  Cste ∀t
2
IV. Énergie mécanique d’un
projectile dans le champ
de pesanteur uniforme.
1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un
projectile
d) Conséquence.
Au cours du mouvement
il y a transformation réciproque
d’énergie cinétique
en
énergie potentielle de pesanteur.
IV. Énergie mécanique d’un
projectile dans le champ
de pesanteur uniforme.
1. Énergie énergétique du système du mouvement d’un
projectile
d) Conséquence.
En cas de frottement l’énergie mécanique
diminue au cours du temps.
FIN
W( f
DPendant
EM la durée Dt la variation
)

0
d’énergie
frottement
mécanique est égale au travail des forces de
frottement :