Le procept de fonction en tant qu`exemple de transdisciplinarité

Les fonctions
en économie et en mathématiques
Jacques BAIR
(CDS, 9 décembre 2011)
Sommaire
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(Historique)
(Dans l’enseignement)
Décalage interdisciplinaire potentiel
(Fonctions mathématiques exploitées en
économie)
Conclusion
Historique
Deux points de vue
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
En mathématiques
- Concept très ancien
- Fort lente maturation
- cfr B-H, sur Orbi
En économie
- Assez récent : Cournot (1801-1877)
- cfr B-H sur BibNum
Dans l’enseignement : généralités
Variété des notations
f ( x )  [...]
f ( x)
f
f  [...]
f
f
y
f
f
f
 f ( x)
(t )  [...]
 [...]
: x
y
: x
f ( x)
: x
y  f ( x)
( x,
y ) : x  A, y  B
E  A B
« Pluridimensionnalité conceptuelle »

Plusieurs facettes :
- verbale
- numérique (tables)
- graphique
- analytique
- (ensembliste)
« Procept » (Tall, Sfard, …)
Exemple simple :
Symbole
Processus
Concept
x2
calcul du carré
d’un nombre
-
f(x) = x2
idem
fct = une
loi
y= x2
dessiner une
parabole
fct =
équation
Décalage interdisciplinaire
potentiel
Le procept


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
Souvent = outil
Construction (souvent)
inductive
Pas de mention
explicite de la loi ex.:
C = C(q)
Grandeurs endogène et
exogène (p, q, …)

Grandeur parfois
ordinale




Souvent = objet
Approche (souvent)
hypothético-déductive
Mention explicite de la
loi f
Variables
(in)dépendantes (x, y,
…)
Grandeur cardinale
Compétences

Habiletés calculatoires
faibles

Habiletés calculatoires
importantes

Savoir calculer et
interpréter :
- taux d’évolution
(nbre décim., fraction,
%)
- propension
- élasticité

Savoir exploiter :
- taux de variation
Compétences (suite)

Traitement de cas
typiques

Procédé de résolution
familier

Liens avec la réalité
économique

Explorer des cas
exceptionnels, contreexemples

Situation de résolution
de problème

La situation
problématique est
admise
La représentation graphique







Représentation
graphique = un départ
Choix des axes variable
Importance des unités
sur les axes (inclinaison
vs pente)
Axes orthogonaux
Segments verticaux
Construction par points

Parfois, plusieurs
courbes






Représentation
graphique = un but
Choix des axes imposé
Peu d’importance des
unités sur les axes
Axes pouvant être qcqs
Pas de sgmts verticaux
Construction d’après
des propriétés
Généralement, 1 seule
courbe par graphique




Graphe dans le 1er
quadrant
Intensité de la pente (et
élasticité)
Rendement
Représentation typique:
une droite

Graphe complet

Signe de la pente

Concavite / convexité

Représentation typique:
une courbe
Analyse infinitésimale






Variations généralement
Souvent variations
continue
discrètes (ou entières)
Infini actuel
Infini potentiel
Notations dC/dq (ou D ou Notation : f’(x)
« del » ou « delta »)
Variation :
Variation marginale :
f
C(q+1) – C(q) ou C’(q) ou
C(q)-C(q-1)
Peu d’intérêt pour
Importance de l’élasticité l’élasticité (avec dérivée)
(sans dérivée)
Différentielle = fct linéaire
Différentielle = nombre
très petit
Fonctions usuelles





Fonctions linéaires
Importance des FAPM
Fonctions carré, cube,
puissances quelc., …
Définition du logarithme
(expo.)
Définition de
l’exponentielle
(continuité)





Fonctions affines
Peu d’intérêt pour les
FAPM
Fonctions polynômes
(degré quelconque)
Définition du logarithme
(primitive)
Définition de
l’exponentielle
(logarithme)
Types de raisonnement

Souvent « littéraire »
Exemple : Si le coût
moyen est minimal,
alors il est égal au coût
marginal

Souvent « formel »
Démonstration
mathématique (avec
hypothèses)
Situations particulières





Quasi-concavité
Importance des
fonctions implicites
Courbes enveloppes
Extrema liés
Equations récurrentes





Concavité
Fonctions surtout
explicites
Rarement courbes
enveloppes
Extrema libres
Equations
différentielles
Fonctions mathématiques
exploitées en économie
Exemples simples (cfr SBPMef)

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




Lois d’offre et de demande
Coûts (fixes, variables, moyens, marginaux,
taxes, …)
Revenu (net, brut, …)
Fonction d’utilité, courbe d’indifférence
Fonction de production, isoquante
Evolution dynamique d’une grandeur
…
Conclusion
Plaidoyer pour un enseignement
interdisciplinaire






Les différents points de vue peuvent être utilisés
pour faciliter l’acquisition des concepts dans
chacune des deux disciplines
Une interdisciplinarité peut mettre en pratique le jeu
de contextualisation-décontextualisation
Permet une réflexion formatrice sur le processus de
modélisation
Pour les mathématiques, montre l’utilité de la
discipline, tout en renouvelant l’enseignement
Pour l’économie, peut apporter plus de rigueur, une
motivation pour les études abstraites
…
Citation (Cf. Bonneval, Repères-IREM, 1999)
Les enseignants qui acceptent de s’y
engager y trouvent leur compte : en
décloisonnant le savoir, l’échange permet un
enrichissement mutuel et un nouveau regard
sur sa propre discipline
Merci pour votre attention