Eléments d`arithmétique dans l`ensemble des naturels

Eléments d’arithmétique
dans l’ensemble des naturels
1. Diviseur d’un nombre entier naturel
Rappel :
Un nombre entier naturel est un nombre entier positif
Division euclidienne : division d’un entier naturel par un
entier naturel
Si le reste de la division euclidienne (division d’un entier
naturel par un entier naturel) d’un entier a par un entier d
est zéro alors d est un diviseur de a. Il existe ainsi un entier
k tel que a = d x k

2. Diviseurs communs deux entiers naturels
a) Recherche de diviseurs
Exemple :
30 = 1 x 30 = 2 x 15 = 3 x 10 = 5 x 6
Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30
24 = 1 x 24 = 2 x 12 = 3 x 8 = 4 x 6
Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
• Pour chercher les diviseurs d’un nombre on
recherche toutes les façons possibles d’écrire
l’entier a sous la forme d’un produit de deux
facteurs entiers naturels

Autre exemple :
36 2
18 2
9 3
3 3
1
35 = 2² x 3²
décomposition
en facteurs
premiers
 Pour chercher les diviseurs d’un nombre on construit un arbre après avoir
chercher les facteurs premiers
 Savoir les règles de divisibilité par 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 9
30 = 1
1x1x1= 1
20
31 = 3
1x1x3= 3
32 = 9
1x1x9= 9
30 = 1
1x2x1= 2
1
21
31 = 3
1x2x3= 6
32 = 9
1x2x9= 18
30 = 1
1x4x1= 4
22
31 = 3
1x4x3= 12
32 = 9
1x4x9= 36
1 3 (puissances de 2) 3 puissances de 3)
Nombres de diviseurs possibles : 1 x 3 x 3
Diviseurs de 36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36
quotients
diviseurs

b) Recherche de diviseurs communs
 Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30
 Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
Diviseurs communs : 1 ; 2 ; 3 ; 6

c) PGCD : Plus Grand Commun Diviseur
a et b désignant deux nombres entiers.
On note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs communs à a et b.
Le PGCD est le dernier reste non nul dans la succession de divisions
euclidiennes de l’Algorithme d’Euclide.
Ex : PGCD (252 ; 360)
360 : 252 = 1 reste 108
252 : 108 = 2 reste 36
108 : 36 = 3 reste 0
Le PGCD (252 ; 360) = 36
Le PGCD peut se calculer en décomposant les nombres sous forme
de facteurs premiers.