Eléments d`arithmétique dans l`ensemble des naturels
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Eléments d’arithmétique dans l’ensemble des naturels 1. Diviseur d’un nombre entier naturel Rappel : Un nombre entier naturel est un nombre entier positif Division euclidienne : division d’un entier naturel par un entier naturel Si le reste de la division euclidienne (division d’un entier naturel par un entier naturel) d’un entier a par un entier d est zéro alors d est un diviseur de a. Il existe ainsi un entier k tel que a = d x k 2. Diviseurs communs deux entiers naturels a) Recherche de diviseurs Exemple : 30 = 1 x 30 = 2 x 15 = 3 x 10 = 5 x 6 Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30 24 = 1 x 24 = 2 x 12 = 3 x 8 = 4 x 6 • Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 Pour chercher les diviseurs d’un nombre on recherche toutes les façons possibles d’écrire l’entier a sous la forme d’un produit de deux facteurs entiers naturels Autre exemple : quotients 36 18 9 3 1 diviseurs 2 2 3 3 35 = 2² x 3² décomposition en facteurs premiers 1 20 30 = 1 31 = 3 32 = 9 1x1x1= 1 1x1x3= 3 1x1x9= 9 21 30 = 1 31 = 3 32 = 9 1x2x1= 2 1x2x3= 6 1x2x9= 18 30 = 1 1x4x1= 4 2 1 2 3 =3 1x4x3= 12 32 = 9 1x4x9= 36 1 3 (puissances de 2) 3 puissances de 3) Nombres de diviseurs possibles : 1 x 3 x 3 Diviseurs de 36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36 Pour chercher les diviseurs d’un nombre on construit un arbre après avoir chercher les facteurs premiers Savoir les règles de divisibilité par 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 9 b) Recherche de diviseurs communs Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30 Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 Diviseurs communs : 1 ; 2 ; 3 ; 6 c) PGCD : Plus Grand Commun Diviseur a et b désignant deux nombres entiers. On note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs communs à a et b. Le PGCD est le dernier reste non nul dans la succession de divisions euclidiennes de l’Algorithme d’Euclide. Ex : PGCD (252 ; 360) 360 : 252 = 1 reste 108 252 : 108 = 2 reste 36 108 : 36 = 3 reste 0 Le PGCD (252 ; 360) = 36 Le PGCD peut se calculer en décomposant les nombres sous forme de facteurs premiers. Ex : PGCD (36 ; 24) 36 18 9 3 1 2 2 3 3 24 12 6 3 1 2 2 2 3 36 = 2² x 3² 24 = 23 x 3 PGCD (36 ; 24) = 2² x 3 = 12 (exposant le plus petit pour chaque nombre) PPCM (36 ; 24) = 23 x 32 = 72 ( exposant le plus grand pour chaque nombre) Le PPCM de deux nombres est le multiple le plus petit de ces deux nombres. d) Nombres premiers entre eux On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Ne pas confondre : Un nombre premier est un nombre qui n’est divisible que par 1 et lui-même. Ex : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; … e) Propriétés des diviseurs communs à deux entiers naturels. Un diviseur commun à deux entiers naturels a et b non nuls est un diviseur de leur somme, de leur différence et du reste r dans la division euclidienne de a par b. 2. Simplification de l’écriture d’un rationnel (fraction irréductible) On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Ex : PGCD (10 ; 7) = 1 donc 10 fraction irréductible 7 PGCD ( 221 ; 69) = 1 donc 221 fraction irréductible 69 Lorsque l’on veut simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par le PGCD de ces deux nombres. • Ex : simplifier 360 252 PGCD (360 ; 252) = 36 360 360 : 36 10 252 252 : 36 7 3. Quelques rappels a) Division euclidienne C’est la division de deux nombres entiers naturels a b a=bxq+r r q r<b b) Multiples Le naturel a est multiple de b signifie qu’il existe un nombre entier k tel que: a = b x k a est un multiple de b et b est un diviseur de a. ex : 12 est un multiple de 3 et 3 est un diviseur de 12 Propriétés • Si les naturels a et b sont multiples de c alors a + b aussi. a > b; si a est multiple de b et si b est multiple de c alors a est multiple de c.
