2.6 Champ d`un anneau

Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
dE
Problème : Je cherche
l’expression du champ E au
point P
Solution possible:
P
J’utilise l’expression du
champ produit par une charge
ponctuelle, et je procède par
intégration
r
z
dq
R
dE 
kdq
r2
On remarque que par symétrie, le champ résultant, créé par une infinité
d’éléments de charges dq situées tout le long de l’anneau, sera vertical.
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
dE
dEz
q
P
Problème : Je cherche
l’expression du champ E au
point P
Solution possible:
dEx
r
z
dq
R
J’utilise l’expression du
champ produit par une charge
ponctuelle, et je procède par
intégration
dE 
kdq
r2
On remarque que par symétrie, le champ résultant, créé par une infinité
d’éléments de charges dq situées tout le long de l’anneau, sera vertical.
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
dE
dEz
q
P
Problème : Je cherche
l’expression du champ E au
point P
Solution possible:
dEx
r
z
dq
R
J’utilise l’expression du
champ produit par une charge
ponctuelle, et je procède par
intégration
dE 
kdq
r2
On remarque que par symétrie, le champ résultant, créé par une infinité
d’éléments de charges dq situées tout le long de l’anneau, sera vertical.
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance « z » sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
J’utilise l’expression du
champ produit par une charge
ponctuelle, et je procède par
intégration
dE
dEz
q
P
dE 
dEx
r
kdq
r2
Le champ sera vertical, par
conséquent
z

E x  dE x  0
dq
R

E y  dE y  0


E z  dE z  dE sin q 
kdq
 r2
sin q
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Chapitre 2, Problème 2


E z  dE z  dE sin q 
Solution possible:
Situation
dE
dEz
q
P
dEx
r
Ez 
 r2
kdq
 r2
kdq
sin q
sin q
Question? Quelle variable prendre?
Transformation :
z
r  (z 2  R2 )
dq
R
z
sin q  
r
z
(z 2  R2 )
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
Solution possible:
dE
dEz
q
P
dEx
r
z
dq
Ez 
kdq
 r2
r  (z 2  R2 )
sin q
z
sin q  
r
z
(z 2  R2 )
On obtient
R
Ez 
kdq
 (z 2  R 2 )
z
(z 2  R 2 )
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
Solution possible:
dE
dEz
q
P
dEx
r
z
dq
R
Ez 
Ez 
kdq
 r2
sin q
kdq
 (z 2  R 2 )
z
(z 2  R 2 )
kz
Ez  2
dq
2 3/ 2 
(z  R )
Pas de variable d’Intégration, tout est constant
Finalement, l’intégrale correspond à la charge totale sur l’anneau
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
Solution possible:
dE
dEz
q
P
dEx
r
kz
Ez  2
dq
2 3/ 2 
(z  R )
Pas de variable d’intégration
Finalement, l’intégrale correspond
à la charge totale sur l’anneau
z


Q  dq  dl  2R
dq
R
Où  est la densité linéique de charge ,
dq

dl
C/m
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Chapitre 2, Problème 2
Déterminer l’expression du champ électrique en un point P situé à une
distance «z» sur l’axe d ‘un anneau uniformément chargé de rayon R.
Situation
Solution possible:
dE


Q  dq  dl  2R
On obtient
dEz
q
P
dEx
Ez 
2Rkz
( z 2  R 2 )3 / 2
r
z
Résultat probable :
dq
R
kz
Ez  2
dq
2 3/ 2 
(z  R )
D’après mes calculs,
l’expression du champ
électrique sera donnée par

E
2Rkz
( z 2  R 2 )3 / 2

k
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Chapitre 2, Problème 2
b) Tracer le graphique du champ électrique sur l’axe d ‘un anneau
uniformément chargé de rayon R en fonction de la variable z .
Situation

E
E
2Rkz
( z 2  R 2 )3 / 2

k
P
À faire avec Excel ou Maple
z
R
Q  2R
La force électrique qui
s’exercerait sur une charge q
placée à cet endroit sera
donnée par :


FE  qE
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