4.6 Potentiel et distribution continue de charges

4.6 Potentiel électrique produit par une distribution continue de
charge.
Rappel : Comme nous l’avons vu la compréhension des
concepts du chapitre 4 repose sur trois définitions suivantes.
La différence d’énergie
potentielle d’un système
entre deux positions dans
l’espace.
La différence de potentiel
entre deux points dans
l’espace
B
U B −U A
 
= − qE • ds
∫
A
B
 
V B − V A = − E • ds
∫A
Lien entre les concepts
U B − U A = q (V B − V A )
∆U = q∆V
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4.6 Potentiel électrique produit par une distribution continue de
charge.
U B − U A = q (V B − V A )
∆U = q∆V
B
Le potentiel électrique en un
point de l’espace
 
V B = − E • ds + V A
∫A
Jusqu’à maintenant, nous avons appliqué ces définitions à
des situations impliquant des charges ponctuelles.
Nous avons vu également les équipotentielles et quelques
relations entre le potentiel et le champ électrique
Nous terminerons le chapitre en appliquant ces définitions aux
distributions continues de charge et aux conducteurs chargés
bref à des objets ordinaires.
Nous étudierons également quelques situations concrètes.
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4.6 Potentiel électrique produit par une distribution continue de
charge.
Comment savoir si le potentiel électrique en un point P autour de
la sphère d’un générateur Van de Graaff est élevé?
V= 100 000 V
xP
Sur l’axe de deux anneaux
Autour d’un disque
V = 500 V
x
x
V=100 V
Au bout d’une
tige
Ces objets sont présents dans plusieurs applications
V= 200 V
x
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4.6 Potentiel électrique produit par une distribution continue de
charge.
Il faut les déterminer par calcul intégral, comme pour le
champ électrique, mais selon deux méthodes.
Mais avant, on peut se demander, pour quelles raisons
devons-nous faire des calculs de potentiel électrique ?
Pour représenter et pour prévoir le mouvement de particules
placées dans cette région d’une part et d’autre part, pour prévoir
d’éventuels effets électriques ou simplement pour des raisons de
sécurité.
Rappel définition :
Le potentiel électrique représente l ’état électrique d’un point
autour d’un système ou d’un élément chargé. Le potentiel
dépend de la position de ce point.
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4.6 Potentiel électrique produit par une distribution continue de
charge.
Méthode (A): Par intégration
kdq
V (r ) = ∫
r
(V )
Potentiel en un point autour d’un anneau chargé. Soit un
anneau de rayon « a » chargé uniformément
Détermination du potentiel électrique à une distance « x » sur
l’axe de l’anneau à partir des éléments de charge dq de
l’anneau.
Potentiel pour un
élément de charge dq
dq
r
a
dV
x
kdq
dV =
r
(V )
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4 .6 Potentiel électrique produit par une distribution continue de
charge.
kdq
dV =
r
Méthode (A) par intégration
dq
r
dV
a
x
(V )
Détermination du
potentiel électrique à une
distance « x » sur l’axe
de l’anneau à partir des
éléments de charge dq
de l’anneau.
Problème : On cherche V(x)
Solution :
Résultat :
kdq
V (r ) = ∫
r
(V )
kQ
V ( x) = 2
( a + x 2 )1 / 2
(V )
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4.6 Potentiel électrique produit par une distribution continue de
charge.
Soit une sphère non-conductrice chargée
uniformément.
Méthode (B)
dq +
+
+
+
+
+
+
+
r
+
V
+
+
B
Déterminons le
potentiel à une
distance « r »
du centre
 
VB (r ) = − ∫ E • ds + VA
B
A
kQ
VB (r ) =
(V)
r
On utilise cette méthode lorsque la formule du champ est
simple. Voir les exemples dans le manuel.
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4.6 Potentiel électrique produit par une distribution continue de
charge.
Quelle méthode prendre ?
En général, la méthode B) :1) Si la fonction du champ est
facile à intégrer.
ou
2)
Si l’objet est de
dimension infinie.
En général, la méthode (A) :1) Si l’objet est dimension
finie
ou
2) Si la fonction du
champ est compliquée à intégrer.
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RÉSUMÉ 4.6
Que devez-vous absolument retenir de ces sections ?
Quand et comment utiliser les deux méthodes pour
calculer le potentiel électrique en un point ?
kdq
V (r ) = ∫
r
 
VB (r ) = − ∫ E • ds + VA
B
(V )
A
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