Variables aléatoires discrètes

PC 2016/2017
VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
1. Une variable aléatoire Xvérifie XhΩi=Net P(X=n+ 2) = 5P(X=n+ 1) −P(X=n)pour tout
entier n. Déterminer la loi de X. On exprimera le résultat en fonction d’un ou plusieurs paramètres, dont
on précisera quelles valeurs ils peuvent prendre.
2. Loi du nombre d’échecs
On réalise une successions d’épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre p. On note Xle nombre
d’échecs avant le premier succès (Xprend la valeur ∞si il n’y a que des échecs). Déterminer la loi de X.
Quelle est la probabilité de l’événement (X=∞)?
3. Voir aussi l’exercice 34 pour une généralisation
Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes, suivant chacune une loi géométrique G(p). Dé-
terminer la loi de la variable aléatoire S=X+Y.
4. Centrale
Soient X1et X2deux variables aléatoires indépendantes, suivant respectivement les lois G(p1)et G(p2)
(p16=p2).
a) Déterminer la loi de la variable aléatoire S=X1+X2. Retrouver le cas p2=p1comme «cas limite».
b) Déterminer la loi de la variable aléatoire D=X1−X2.
5. Un sauteur tente de franchir des haies de plus en plus hautes. Pour n>2, il ne peut tenter de franchir la
nème haie que s’il a franchi la haie précédente ; il réussit alors avec la probabilité 1
n. On suppose également
qu’il franchit première haie avec probabilité 1. On note Xla variable aléatoire indiquant le numéro de
la dernière haie franchie (et X=∞s’il franchit toutes les haies). Déterminer la loi de X. Déterminer la
probabilité de l’événement (X=∞).
6. Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres p
et q > 0.
Quelle est la probabilité que la matrice suivante soit diagonalisable ?
A=X1
0Y.
7. Loi hypergéométrique : tirage sans remise
On dispose d’une urne contenant Nboules, dont certaines sont noires (en proportion p) et les autres
blanches. On effectue ntirages successifs et sans remise d’une boule dans l’urne, et on note Xle nombre
de boules noires tirées.
a) Déterminer la loi de X.
b) Déterminer, pour chaque entier k, la limite de P(X=k)lorsque Ntend vers l’infini. Expliquer.
8. CCP
On dispose de deux urnes et de deux jetons que l’on place au hasard dans ces urnes. On effectue une
succession de tirages en respectant le protocole suivant :
on choisit aléatoirement une deux deux urnes.
– si l’urne choisie est non vide, on y tire une boule, que l’on replace aléatoirement dans l’une des deux
urnes ;
– sinon, on tire une boule dans l’urne non vide, que l’on replace aléatoirement dans l’une des deux urnes.
Pour tout entier n∈N, on note Xnle nombre de boules situées dans la première urne et on pose
Un=
P(Xn= 0)
P(Xn= 1)
P(Xn= 2)
.
1

a) Trouver une matrice A∈M3(R)telle que, pour tout entier n∈N, on ait Un+1 =AUn.
b) Donner une base du noyau de A. Quelle valeur propre de Avient-on d’identifier ?
c) Quelle propriété vérifient les lignes de la matrice A? En déduire une valeur propre de AT(donc de A).
Déterminer un vecteur propre associé (pour la matrice A).
d) Trouver une troisième valeur propre et un vecteur propre associé. La matrice Aest-elle diagonalisable ?
e) Démontrer que Unadmet une limite 
`0
`1
`2
, indépendante des probabilités initiales P(X0=k). Dé-
terminer cette limite.
9. Soient X1et X2deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois géométrique G(p1)
et G(p2).
a) Déterminer, pour tout entier k, la probabilité P(X1> k).
b) En déduire la loi de la variable aléatoire Z= min(X1, X2). Vérifier en particulier que c’est encore
une loi géométrique (de quel paramètre ?).
c) Déterminer la loi de la variable aléatoire U= max(X1, X2). Est-ce encore une loi géométrique ?
10. Soient X, Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs
λet µ. Déterminer la loi de Xsachant X+Y=n. Reconnaître cette loi.
11. On considère nvariables aléatoires indépendantes X1, . . . , Xn, de fonctions de répartition respectives
F1, . . . , Fn. On note Y= max(X1, . . . , Xn)et Z= min(X1, . . . , Xn). Déterminer les fonctions de répar-
tition de Yet Z.
12. On considère deux variables aléatoires indépendantes X, Y suivant toutes deux la loi du nombre d’échecs
de paramètre p(cf. exercice 2).
a) Calculer les probabilités P(Y>X)et P(Y=X). Étudier le cas particulier p=1
2.
b) On pose U= max(X, Y )et V= min(X, Y ). En calculant les probabilités P(U6u, V >v), détermi-
ner les lois des variables aléatoires Uet V. Reconnaître la loi de V.
c) On pose W=U−V. Déterminer sa loi.
13. Soient X, Y deux variables aléatoires à valeurs dans N. On suppose que la loi conjointe de Xet Yvérifie
P(X=n, Y =p) = a
n!p!
où a∈R
a) Déterminer la valeur de a.
b) Reconnaître les lois marginales de Xet Y.
c) Les variables Xet Ysont elles indépendantes ?
14. Soient X, Y, Z trois variables aléatoires indépendantes, suivant chacune une loi géométrique G(p).
a) Déterminer la loi de S=X+Y.
b) Déterminer la loi conditionnelle de Xsachant (S=k)pour tout k>2.
c) Calculer P(S>n)pour tout entier n>2.
d) Calculer les probabilités P(S>Z),P(S6Z)et P(S=Z).
15. CCP
Un joueur tire un nombre N∈N∗, avec P(N=n) = 1
2npour tout n>1. Si Nest pair, la joueur
gagne Njetons ; sinon, il en perd N. Donner la probabilité que le joueur gagne, l’expression de son gain
algébrique Get son espérance.
16. Le nombre Nde voitures passant devant une station d’essence en un jour suit la loi de Poisson de
paramètre λ > 0. Chaque voiture décide de s’arrêter à la station avec probabilité pindépendamment des
autres. On note Kle nombre de voitures qui s’arrêtent à la station. Déterminer l’espérance de K.
17. On dispose d’une pièce déséquilibrée, qui tombe sur Face avec probabilité p∈]0,1[. On lance la pièce
jusqu’à l’obtention d’au moins un résultat «Face» et au moins un résultat «Pile».
a) Démontrer que le jeu s’arrête presque sûrement.
b) On note Xla variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour que le jeu se termine.
Calculer E(X). Pour quelle valeur de pcette espérance est-elle minimale ?
18. On suppose que chaque naissance amène une fille ou un garçon avec même probabilité, et que chaque
famille décide d’avoir des enfants tant qu’elle n’a pas eu de garçon (les naissances s’arrêtent dès le premier
garçon). On note F(resp. G) le nombre de filles (resp. de garçons) par famille. Déterminer la loi de Fet
de G, ainsi que leur espérance.
2

19. On dispose de Ndés. On les lance une première fois et on note X1le nombre de 6 obtenus. On relance
alors les dés n’ayant pas donné 6 et on note X2le nombre de 6 obtenus lors de ce deuxième lancer. On
répète l’expérience indéfiniment (lorsque tous les dés ont amené 6, on n’en lance plus aucun et on a alors
Xk= 0). Pour tout entier n>1, on note Sn=X1+· · · +Xn: nombre total de dés ayant amené 6 à
l’issue des npremiers lancers.
a) Démontrer, par récurrence, que Snsuit une loi B(N, pn), où pnest à déterminer.
b) Démontrer que l’événement «tous les dés finissent par donner 6 en un temps fini» est quasi-certain.
c) On définit alors la variable aléatoire
T= min n>1|Sn=N.
Déterminer la loi de T. Que reconnaît-on dans le cas N= 1 ?
d) Vérifier que la variable aléatoire Tadmet une espérance et exprimer celle-ci sous forme de somme
(finie).
20. On considère une suite (Xn)n>1de variables aléatoires indépendantes de même loi B(p)et on étudie
la première apparition de deux succès consécutifs dans cette suite. Pour tout entier n>1, on note An
l’événement «les deux premiers succès consécutifs ont lieu aux rangs net n+ 1».
a) Calculer P(A1)et P(A2). Démontrer que, pour tout entier n>1, on a
P(An+2) = (1 −p)P(An+1) + p(1 −p)P(An).
b) Démontrer que l’événement «on obtient deux succès consécutifs en un temps fini» est quasi-certain.
c) On note Tla variable aléatoire définie par l’égalité ∀n>1, l’événement Anest égal à l’événement
(T=n). Démontrer que Tadmet une espérance et la calculer.
21. Une ampoule a une durée de vie (exprimée en jours) Tqui suit la loi géométrique G(p). Quelle est la
durée de vie moyenne de cette ampoule ?
Au bout de njours, l’ampoule fonctionne encore. Quelle est la durée moyenne pendant laquelle elle
fonctionnera encore ?
22. Régression linéaire
Soient Xet Ydeux variables aléatoires admettant chacune une variance. On suppose que σ2(X)>0.
Déterminer les réels aet bqui minimisent la quantité
EY−(aX +b)2.
Vérifier que la valeur minimale est
σ2(X)σ2(Y)−Cov(X, Y )2
σ2(X).
23. Soit Xune variable aléatoire suivant une loi géométrique G(p). Déterminer l’espérance de la variable
aléatoire Y=1
X.
24. Soit Xune variable aléatoire suivant une loi de Poisson P(λ). Déterminer l’espérance de la variable
aléatoire Y=1
X+1 .
25. Mines
On considère nvariables aléatoires indépendantes X1, . . . , Xn, suivant chacune une loi binomiale B(p).
On pose U=
X1
.
.
.
Xn
et M=UUT.
a) Donner la loi de rg(M)et de Tr(M).
b) Quelle est la probabilité que Msoit une matrice de projection ?
26. Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une succession de tirages.
À chaque tirage, on ajoute cboules de la même couleur que celle que l’on vient de tirer. On note Xnla
variable aléatoire qui prend la valeur 1 si le nème tirage amène une boule blanche et 0 sinon. Enfin, on
note Zn=X1+· · · +Xn.
a) Déterminer, pour n∈N∗et k∈[[0, n]],P(Xn+1 = 1 |Zn=k). Démontrer que
P(Xn+1 = 1) = 1 + cE(Zn)
2 + cn .
b) Déterminer la loi de Xnpour tout entier n>1.
3

27. Utilisation des fonctions indicatrices
À la fin du spectacle, npersonnes reprennent leur manteau au vestiaire. On donne à chacun un manteau
choisi aléatoirement parmi les nmanteaux. On note Xle nombre de personnes retrouvant leur manteau.
Pour tout entier k, on note Akl’événement «la personne nokretrouve son manteau». En exprimant la
variable aléatoire Xen fonction des variables aléatoires 1Ak, déterminer l’espérance de X.
28. Problème du collectionneur
Des vignettes sont en vente, à l’unité, sous emballage opaque. La collection complète comporte nvignettes.
On suppose qu’à chaque achat, la probabilité d’obtenir chacune des nvignettes est la même.
a) On achète nvignettes et on note Xle nombre de vignettes manquantes pour terminer la collection.
Exprimer la variable aléatoire Xen fonction des variables aléatoires 1Ak, où Akest l’événement «la
vignette numéro kmanque à la collection». En déduire l’espérance de X.
b) On décide d’acheter des vignettes jusqu’à ce que la collection soit complète. On note Tkle temps
d’attente nécessaire à l’obtention de la kème vignette à partir du moment où l’on obtient la k−1ème
vignette distincte (nombre de vignettes qu’il faut encore acheter en plus de celles qu’on a déjà achetées),
et Snle nombre total de vignettes à acheter pour avoir la collection complète. Déterminer l’espérance
de Tnen fonction de Hn=Pn
k=1
1
k. Combien faut-il s’attendre à acheter de vignettes lorsque n= 20 ?
29. On suppose que npersonnes se retrouvent dans l’ascenseur d’un immeuble comportant pétages. Chacune
s’arrête à l’un quelconque des étages. On note Xle nombre d’arrêts de l’ascenseur. Déterminer E(X).
30. On joue à Pile ou Face avec une pièce donnant Pile avec probabilité p. On note Nle nombre de lancers
nécessaires à l’obtention du premier Pile ; on relance alors la pièce Nfois. Déterminer l’espérance du
nombre total Xde Pile obtenus.
31. On considère deux variables aléatoires X, Y indépendantes, suivant chacune une loi géométrique G(p).
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire Z=X/Y .
32. On lance une infinité de fois une pièce, qui sort Pile avec probabilité p. On s’intéresse à la longueur L1
de la première séquence homogène (i.e. composée uniquement de Pile, ou de Face).
a) Déterminer la loi de L1et son espérance. Pour quelle valeur de pcette espérance est-elle minimale ?
Quel vaut-elle ? Interpréter.
b) Déterminer la loi de L2, longueur de la deuxième séquence homogène, ainsi que son espérance.
33. CCP
Une variable aléatoire Xvérifie GX(t) = λP∞
n=0
n2+n+1
n!tnpour un certain λ∈R. Déterminer λpuis la
loi de X. En déduire E(X)et V(X).
34. Loi binomiale négative
On considère une suite (X1, . . . , Xn)de variables aléatoires indépendantes, suivant chacune une loi géo-
métrique G(p). On note Sn=X1+· · · +Xn.
a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire Sn? Comment cela se traduit-il sur sa fonction
génératrice ?
b) Déterminer la fonction génératrice de Sn.
c) Démontrer que, pour tout k>n, on a P(Sn=k) = k−1
k−npn(1 −p)k−n. On pourra commencer par
vérifier que, pour k>n, on a −n
k−n= (−1)k−nk−1 k−n.
35. On lance une pièce supposée équilibrée nfois de suite.
a) À quelle condition sur nla fréquence du nombre de Pile obtenus est-elle comprise entre 40% et 60%,
avec une probabilité de 95% au moins ?
b) À l’issue de 1 000 lancers, on observe une proportion de Pile égale à 65%. Peut-on considérer que la
pièce est équilibrée ?
36. On considère une suite (Xn)nde variables aléatoires à valeurs dans Nadmettant chacune une espérance.
On suppose que E(Xn)−→
n→ ∞ 0. Démontrer que P(Xn= 0) −→ n→ ∞ 1.
37. On considère une suite (Xn)n>1de variables aléatoires indépendantes, suivant chacune une loi de Bernoulli
B(p). On pose Yn=XnXn+1.
a) Déterminer la loi, l’espérance et la variance de Yn.
b) Étudier, pour n, p >1, l’indépendance de Ynet Yp. Calculer la covariance des ces deux variables
aléatoires.
c) On pose Zn=1
n(Y1+· · · +Yn). Calculer l’espérance et la variance de Zn.
d) Démontrer que, pour tout réel ε > 0, on a P|Zn−p2|>ε−→
n→ ∞ 0.
4