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Imaginons maintenant que le courant électrique ne soit pas
limité à un circuit filiforme mais qu’il soit étendu à une région
de l’espace comme un fluide dans un tuyau de section variable.
Il est possible de définir en chaque point de cette distribution un
vecteur densité de courant de la manière suivante.
Le courant traversant une surface infinitésimale orientée
est égal au produit scalaire
Le courant traversant une surface finie S est la somme
j
S
j
I
S
S.jI  
I
SdS.jI 
B-VIII Généralisation aux distributions de courants
B-VIII.1 Densité de courant
Pour les circuits de très petites sections, dits filiformes, et qui
correspondent assez bien à la représentation que l’on se fait des
fils électriques, le courant total I dans le circuit a suffit à
construire différentes grandeurs comme champ et force.
Pour aller plus loin il faut définir une densité locale de courant
électrique de la manière suivante.
S
j
S
C

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Soit un élément de volume « orienté » défini au point M’ d’une
distribution de courant par dS orthogonal à et
parallèle à .
Le courant qui traverse la section dS est donné par l’élément
de courant « filiforme » peut être défini par
B-VIII.2 Champ magnétique créé par une distribution de courant
j
d
dS
d.dSd
)'M(j
j
d
j
dS.ji 
 d.jdSd.jddS.jdi 
d
j
M’
M
B
Le calcul du champ magnétique à partir de la loi de Biot et
Savart donne pour l’élément de courant construit avec et
Pour l’ensemble de la distribution
d
rr
x j
4rr
x i
4
)M(dB 3
o
3
o
d
j
d
rr
x j
4
)M(B 3
o

3
B-VIII.3 Le potentiel magnétique vecteur
Le champ électrique s’étant attaché un potentiel, il serait profondément injuste de ne pas doter le champ
magnétique d’un tel compagnon.
Pour le champ électrique le potentiel est scalaire avec la relation locale
Pour le champ magnétique, nous définirons un potentiel magnétique vecteur, représenté donc par un
vecteur. Nous le construisons à partir du champ magnétique créé par un circuit filiforme.
)M(Vgrad)M(E M
M’ I
Circuit filiforme
C
I
M
r
MI,C
B
C3
o
MI,C rr
x
4I
B
Utilisons la forme suivante
 r
1
grad
r
r
M
3
CM
o
MI,C x
r
1
grad
4I
B
La formule mathématique suivante entre une fonction de point et le champ de vecteur
Nous conduit à un nouvelle expression
)M(V
f(M)
V x f gradVrotfV frot  
CMM
o
MI,C rot
r
1
-
r
rot
4I
B

4
Dans le dernier terme le rotationnel se calcul en M là où n’est pas défini, ce terme disparaît.
Il reste alors
La quantité est appelée le potentiel magnétique vecteur créé au point M
par le circuit Cparcouru par le courant I.
Il est relié au champ magnétique par la relation locale
Remarque: La relation entre et n’est pas univoque. Une infinité de potentiels magnétiques vecteurs
peuvent donner le même champ magnétique. Nous verrons cela plus tard, à chaque complément suffit sa
peine.
Co
M
C1
M
o
MI,C r4 I
rot
r
rot
4I
B
C
o
MI,C r4 I
A
)M(Arot)M(B M
B
A
M’ I
Circuit filiforme
C
I
M
r
MI,C
B
MI,C
A

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Le potentiel magnétique vecteur créé par un courant constant, celui de la magnétostatique, bénéficie
d’une propriété locale remarquable.
A partir de l’expression obtenue pour un courant filiforme calculons la divergence
au point M en simplifiant les notations expression dans laquelle l’intégrale
qui porte sur M’ n’est pas concernée par la dérivation qui porte sur M. Nous sommes autorisés à écrire
Utilisons la formule
dans laquelle nous avons utilisé le fait que ne dépendait pas de M.
Il vient puisque la fonction 1/r est continue et reprend sa valeur de
départ après un tour complet (voir la circulation du vecteur champ électrique sur un parcours fermé).
Nous obtenons l’important résultat pour le potentiel magnétique vecteur créé par un circuit filiforme
C
o
MI,C r4 I
A
C
M
o
Mr
div
4I
)M(Adiv 
 r
1
d
r
1
grad.d
r
1
grad.dddiv
r
1
r
d
div MM 
d
CM
o
Mr
div
4I
)M(Adiv 
0
r
1
d
4I
)M(Adiv C
o
M
0)M(AdivM
r
1
grad.dddiv
r
1
r
d
div MM 