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B-VIII Généralisation aux distributions de courants
I
B-VIII.1 Densité de courant
Pour les circuits de très petites sections, dits filiformes, et qui
correspondent assez bien à la représentation que l’on se fait des
fils électriques, le courant total I dans le circuit a suffit à
construire différentes grandeurs comme champ et force.

j
Pour aller plus loin il faut définir une densité locale de courant
électrique de la manière suivante.
S
Imaginons maintenant que le courant électrique ne soit pas
limité à un circuit filiforme mais qu’il soit étendu à une région
de l’espace comme un fluide dans un tuyau de section variable.
Il est possible de définir en 
chaque point de cette distribution un
vecteur densité de courant j de la manière suivante.
Le courant I traversant une surface infinitésimale orientée S
est égal au produit scalaire

I  j.S
Le courant traversant une surface finie S est la somme

I  S j.dS
 S
j
S
C
1
B-VIII.2 Champ magnétique créé par une distribution de courant
Soit un élément de volume
 « orienté » défini au point M’ d’une 
distribution de courant j(M ' ) par d  dS.d dS orthogonal à j et d
parallèle à j .
Le courant qui traverse la section dS est donné par i  j.dS
de courant « filiforme » peut être défini par id  j.dSd 
d

j
l’élément


j.dSd  j.d
dS
Le calcul du champ magnétique à partir de la loi de Biot
 et
Savart donne pour l’élément de courant construit avec j et d


o
r o  r
dB(M)  i x 3 
j x 3 d
4
r
4
r
d

j

B
M’
Pour l’ensemble de la distribution

o  r
B(M) 
j x 3 d


4
r

M
2
B-VIII.3 Le potentiel magnétique vecteur
Le champ électrique s’étant attaché un potentiel, il serait profondément injuste de ne pas doter le champ
magnétique d’un tel compagnon.

Pour le champ électrique le potentiel est scalaire avec la relation locale E(M)  grad M V(M)
Pour le champ magnétique, nous définirons un potentiel magnétique vecteur, représenté donc par un
vecteur. Nous le construisons à partir du champ magnétique créé par un circuit filiforme.


o I 
r
BC,IM 
 x 3 

C
4 
r 

r
Utilisons la forme suivante

BC , I  M
Circuit filiforme
1


grad
M 
3
r
r
C

I 

1
BC,IM  o C  grad M   x  
4 
r


r
I
M’
M
I

La formule mathématique suivante entre une fonction de point f(M) et le champ de vecteur V(M)



rot f V  f rotV  grad f x V
Nous conduit à un nouvelle expression

   1
o I 
  - rot M 
BC , I  M 
rot
M

C
4 
 r  r
 




3
Dans le dernier terme le rotationnel se calcul en M là où  n’est pas défini, ce terme disparaît.
Il reste alors
La quantité

 1 
 o I  
o I



BC,IM 
rot

rot
M
M

C
C



4
 4 r 
 r 

o I 
A C,IM  C
4 r
est appelée le potentiel magnétique vecteur créé au point M
par le circuit C parcouru par le courant I.
Il est relié au champ magnétique par la relation locale


B(M)  rot M A(M)
 
Remarque: La relation entre A et B n’est pas univoque. Une infinité de potentiels magnétiques vecteurs
peuvent donner le même champ magnétique. Nous verrons cela plus tard, à chaque complément suffit sa
peine.

A C,IM
Circuit filiforme
C
I
M’
I

BC , I  M

r
M
4
Le potentiel magnétique vecteur créé par un courant constant, celui de la magnétostatique, bénéficie
d’une propriété locale remarquable.

o I 
A

A partir de l’expression obtenue pour un courant filiforme C,IM
 calculons la divergence
4 C r

au point M en simplifiant les notations div M A(M) 
o I
 expression dans laquelle l’intégrale
div M C
4
r
qui porte sur M’ n’est pas concernée par la dérivation qui porte sur M. Nous sommes autorisés à écrire

o I
 Utilisons la formule div d  1 div d  d.grad 1  d.grad 1  d 1 
 
div M A(M) 
div M
M
M

C
r
r
r
r
r
4
r
dans laquelle nous avons utilisé le fait que d ne dépendait pas de M.

o I  1 
Il vient div A
puisque la fonction 1/r est continue et reprend sa valeur de
(
M
)


C d   0
M
4
r
départ après un tour complet (voir la circulation du vecteur champ électrique sur un parcours fermé).
Nous obtenons l’important résultat pour le potentiel magnétique vecteur créé par un circuit filiforme

div M A(M)  0
5
Pour le potentiel magnétique vecteur de la distribution


 id o
j
A(M)  o C
  d
4 r 4 r
d



j
A(M)  o  d
4 r

j
M’
 
A B

M


o
j
div M  d expression dans laquelle l’intégrale qui porte sur M’ n’est pas
Calculons div M A(M) 

4
r


j
concernée par la dérivation qui porte sur M. Nous sommes autorisés à
div M A(M)  o div M d
4
r

 

j 1
1 
1
div

div
j

j
.
grad

j
.
grad
Utilisons la formule
dans laquelle nous avons utilisé le fait que j(M ' )
M
M
r r
r
r
ne dépendait pas de M.
Nous savons que les lignes de courant se referment sur elles-mêmes formant des boucles. Si on
décompose l’intégration sur la distribution en des intégrations successives sur des boucles de courant

1
o
j
.
grad
d



4 
r
4

nous pouvons écrire div A(M)   o
M

des
boucles
1

i
.
grad
.
C
r
Expression dans laquelle δi est le courant élémentaire de la boucle C.
6
1
grad
.
Dans l’expression précédente la quantité C
r
est en tous points identique à celle construite pour un
circuit filiforme et peut s’écrire  d 1   0
C
r
Il en résulte que le potentiel magnétique vecteur répond ici
encore à la relation locale

div M A(M)  0
d
d
M’

j
i
C
 
A B

M
7
B-VIII.4 Généralisation du Théorème d’Ampère à une distribution de courants
L’application du théorème d’Ampère à la courbe C sur laquelle la
surface S s’appuie donne de même


C B.  o I  o S j.S
 S 
B
j
Le courant traversant S est bien encerclé par C .
S
B-VIII.5 Forme locale du théorème d’Ampère
Dans la forme globale du théorème d’Ampère



C B.  o S j.S
C
La surface S et la courbes C , bien que reliées l’une à l’autre, sont
quelconques. On peut transformer l’intégrale de circulation à l’aide de
la formule de Stokes



C B.  S rotB.S  o S j.S
L’invariance de cette relation sur le choix de C et S associées donne la
relation locale en tout point M


rot M B(M)  o j(M)
Rappelons les autres équations locales que nous connaissons déjà :


rot M E(M)  0

(M)
div M E(M) 
o

B

j
M

div M B(M)  0
8
Construisons maintenant une autre relation locale pour le potentiel magnétique vecteur, relation équivalente à
l’équation de Poisson pour l’électrostatique.
A partir de la forme locale du théorème d’Ampère
du potentiel magnétique vecteur


rot M B(M)  o j(M)


B(M)  rot M A(M)
et de la relation de définition
il vient en simplifiant les écritures


rot rotA  o j




Faisons appel à la formule d’analyse vectorielle rot rotA  grad divA  A  o j dans laquelle




nous avons introduit le laplacien d’un vecteur A  A x i  A y j  A z k , vecteur obtenu en prenant le
laplacien de chaque composante. Le laplacien d’une fonction scalaire f(x,y,z) est donné en coordonnées
 2f  2f  2f
euclidiennes par f  2  2  2
x y z

Comme divA  0 nous obtenons


A  o j
9
B-VIII.6 Énergie en magnétostatique
Dans le cours d’électrostatique nous avons vu que l’énergie électrostatique était distribuée dans tout

l’espace où le champ électrique E était non nul sous la forme d’une densité volumique d’énergie (Jm-3)
1
e  o E 2
2
Faisons ici de même en supposant que l’énergie magnétostatique est distribuée dans tout l’espace où le

champ magnétique B est non nul sous la forme d’une densité volumique d’énergie (Jm-3)
1 2
m 
B
2 o
Nous justifierons ce résultat plus tard.

L’énergie magnétostatique totale d’une distribution de courants qui crée le champ B est donnée par
Wm    m d  
1 2
B d
2o

L’intégration est prise sur tout le volume T de l’espace où le champ B est non nul. Ce volume correspond
souvent à tout l’espace géométrique.
 
1
Transformons cette expression sous la forme Wm  2  B.rotAd et utilisons la formule d’analyse
o
     
vectorielle div(B x A)  A.rotB  B.rotA il est alors possible d’écrire






 
1
1
Wm 
B.rotAd 
A.rotB  div (B x A) d




2o
2o
10
Transformons la deuxième intégrale grâce au théorème d’Ostrogradski, Σ étant une surface qui entoure
toute la région où le champ est non nul. Il est clair que cette transformation mathématique est
physiquement non valable si des courants vont à l’infini (cas idéalisé du fil rectiligne indéfini). Cette
éventualité de courant à l’infini n’a pas de raison d’être dans les montages expérimentaux réalistes de la
technologie. Donc une surface Σ entourant les sources à suffisamment grande distance sera toujours
trouvée.
 
 
 div(B x A)d   (B x A).d
Que devient cette intégrale lorsque la surface Σ s’éloigne à l’infini?


2
Le champ B se comporte en module comme 1/r , le potentiel vecteur A se comporte en module
comme 1/r et la surface, assimilée à une sphère se comporte comme r2. Soit au total l’intégrale qui se
comporte comme 1/r et qui tend vers zéro à grande distance faisant disparaître ce terme.


Dans le premier terme de l’énergie utilisons la forme locale du théorème d’Ampère rotB  o j qui est
nul là où la densité de courant est nulle ce qui réduit l’intégrale de l’énergie magnétostatique au volume τ
de la distribution de courant
1 
Wm   j.Ad
2
Dans la mesure où le potentiel magnétique vecteur n’est pas défini de manière univoque, il convient de
se méfier de l’application de cette formule.
11
B-VIII.7 Exemple d’illustration des relations théoriques
Courant total I
uniformément réparti
Les possibilités de calculs analytiques sont très limitées. Voici
un exemple type de calcul qui utilise la symétrie cylindrique.
C’est le cas d’un fil très long de rayon non nul a, parcouru par
un courant I uniformément réparti dans la section.
Rayon a
Nous avons calculé le champ magnétique


I 
B(r )  o 2 ru  pour 0  r  a B(r )   o I u  pour r  a
2a
2r

uz

B
M

u
r


Pour calculer le potentiel magnétique vecteur utilisons B  rotA
  

ur
en coordonnées sphériques dans la base (u r , u  , u z )
1 A z A 

r 
z
0

A r A z
rotA 

 B
z
r
0
1
1 A r
(rA  ) 
r 
r 
Par raison de symétrie le potentiel magnétique ne doit pas dépendre de
z et de θ, mais uniquement de l’éloignement r du fil. Nous
 cherchons


donc, nous avons le choix, un vecteur A de la forme A  A(r )u z .
L’expression du rotationnel donne les deux équations

A  o I

r pour 0  r  a
2
r 2a

Après intégration A   o I Cte  r 2 u pour 0  r  a
z
4a 2

A  o I

pour r  a
r 2r
  o I  Cte  
A
ln 
u z pour r  a
2  r 
12
Le potentiel étant continu, ses dérivées étant reliées au champ magnétique, grandeur physique définie, il faut
que les deux expression du potentiel coïncident en r = a, soit A(a)=0

 o I  a  
o I 2 2 
a  r u z pour 0  r  a
A
A
ln  u z pour r  a
4a 2
2  r 
Dans le fil l’expression du potentiel ne pose pas problème, le potentiel étant défini. Il n’en va pas de même à
l’extérieur du fil, bien que l’expression mathématique soit sympathique. En effet le potentiel diverge à l’infini,
comportement paradoxal pour décrire un champ magnétique qui lui tend vers zéro. Cette divergence du
potentiel provient de l’existence des courants à l’infini, comme le fil y est supposé aller.
Compte tenu qu’il est presque toujours problématique de calculer le potentiel magnétique vecteur d’une
distribution de courant, la portée de cette grandeur physique peut en apparaître de portée limitée. Il n’en
est rien. Le potentiel magnétique vecteur joue un rôle essentiel en électromagnétisme comme moyen
d’intégration des équations des champs à partir de l’équation du genre de celle de Poisson


A  o j
Il en est de même pour le potentiel électrique scalaire V qui répond à l’équation de Poisson

V 
o
13
Câble coaxial
Nous allons utiliser l’exemple précédent pour traiter le cas du câble coaxial bien connu du public. Nous lui
allouons ici une utilisation bien particulière en magnétostatique, alors qu’usuellement ce type de composant
est plutôt du domaine des faibles signaux, souvent haute fréquence.
La structure du câble est aisément compréhensible:
Une âme métallique centrale de rayon a, transportant un
courant total I uniformément réparti dans la section
Une armature extérieure métallique de rayon compris entre b
et c, transportant un courant I uniformément réparti dans le
sens opposé à celui de l’âme
Un isolant entre les deux, de rayon compris entre a et b
h
I

u
I
c
a
b

uz

ur
L’application du théorème d’Ampère permet de calculer le champ
magnétique dans les quatre domaines

0 < r < a : B(r )   o I2 ru  (voir l’exemple précédent)
2a
a < r < b :

I
B( r )  o u 
2r
(voir l’exemple précédent)
2
2

o I  c  r  
u  , même principe que
b < r < c : B(r ) 
2 r  c2  b 2 
précédemment mais attention au courant encerclé


r > c : B(r )  0 le courant
encerclé étant nul.
14
B
o I
2a
I
B(r )  o
2b
B(a ) 
0
a
b
c
r
Calculons le potentiel magnétique vecteur dans les quatre domaines en commençant par l’extérieur
 ( 4) 
 (4)
A
 0 , puisque nous avons le choix
r > c : puisque B y est nul, il semble logique de prendre
( 3)
2
2
 ( 3)  o I 1  r 2  c 2



A
c

r

I
 c   
2
o 
b < r < c : nous devons intégrer 
ce
qui
donne


A


c
ln

  u z
2
2 
2
2 

2 c  b  2
r
2 r  c  b 
 r 
 ( 2) o I   b 

A

ln

Cte
u z résultat directement déductible de l’exemple précédent
a<r<b:




2   r 

 ( 2)
 ( 3)
La constante se calcule en faisant A (b)  A (b)
0<r<a:
soit
 ( 2) o I   b 
c2
 c  1
A 
ln     u z
ln   
2   r  c 2  b 2  b  2 
 (1)  o I  r 2

A 


Cte
 u z résultat directement déductible de l’exemple précédent
2 
2a  2

 (1)
 ( 2)
La constante se calcule en faisant A (a )  A (a )
 (1) o I  r 2
c2
b
 c  


ln

ln
soit A 
  2
  u z

2
2
2  2a
 a  c  b  b 
15
Tracé du potentiel magnétique vecteur
du câble coaxial
A
2
isolant
1.5
1
âme
0.5
a
1
b
2
3
4
5
c
6
16
Calcul de l’énergie magnétostatique
Nous avons à notre disposition deux approches
r
Intégrer sur le domaine où le champ magnétique n’est pas nul
avec la formule
1 2
Wm  
B d
2o
Intégrer sur le domaine où la densité de courant n’est pas nulle
avec la formule
1 
Wm 
dr
h
j.Ad


2
Dans les deux cas il faut définir des éléments de volume à symétrie
cylindrique (voir figure) : d  2r.h.dr
Commençons par l’intégrale de la densité d’énergie
0 < r < a :
a < r < b :
2
Wm(1)
 o hI 2 a 3
 o hI 2
1 a  o I 

r 2r.h.dr 

 r .dr  16
2 o 0  2a 2 
4a 4 0
 o hI 2 b1
 o hI 2  b 
1 b  o I 

.dr 
ln  

 2r.h.dr 


a
a
2 o  2r 
4 r
4  a 
2
( 2)
m
W
b < r < c :
2
2
c2  r 2 
 o hI 2
c
1 c  o I  c  r  
1

2r.h.dr 
.dr 


2 o b  2 r  c 2  b 2  
4 c 2  b 2 2 b
r
2
Wm( 3)
2
17
( 3)
m
W
 4  c  c 2  b 2  2

2



c
ln

3c

b
 


4 c 2  b 2 2 
4
b

 o hI 2
1
 4  c  c 2  b 2  2

 o hI 2  1
1
b
2 
3c  b  
Wm 
c ln   
  ln    2
2 2 
4  4
4
 a  c  b  
b
 

Remarque importante pour la suite, l’énergie est proportionnelle à I2.
2 
4
2
2 



hI
c
3c

b
1
b
c






L’énergie ci-dessus peut se mettre sous la forme W  o


ln

ln






m
2
2
2 
4  4
 a  c 2  b 2   b  4c  b 


L’énergie totale s’écrit
Un calcul sur la région où la densité de courant est non nulle donne

o hI 2  1
c4
b
 c 
Wm 
ln  
  ln    2
2 2
4  4
 a  c  b   b 


Résultat différent : le calcul avec le champ est probablement juste. La différence entre les deux résultats est
certainement liée au caractère infini du câble, idéalisation dont on sait les problèmes qu’elle peut poser.
18
B-VIII.8 Pression magnétique
Soit une distribution plane de courants dans la direction –x
avec une densité j par unité de longueur. Appliquons le
théorème d’Ampère à un circuit rectangulaire de longueur d
de part et d’autre de la distribution. La symétrie nous
permet d’écrire 2B d   o jd soit vectoriellement

 j
B   o u z
2

ux

B

uy
L

j

Be

B
j est en A/m
Si nous ajoutons d’un seul coté de la
 distribution un champ

extérieur Be qui annule le champ B
Sur la partie rectangulaire

champ extérieur Be exerce une force

uz
de côtes da, db le


 1  1
dF  ju x .db.da x  - o ju z  o j2 .da.db.u y
2
 2 
dF
d

j
da
db

Be

j
Ramenée par unité de surface cette force donne la pression
 o j2
Be2
P

2
2 o
Cette situation se rencontre dans les solénoïdes longs où les spires sont assimilables à une nappe continue.
Ils sont alors soumis à un ensemble de forces de pression dirigées vers l’extérieur.
19
B-VIII.9 Coefficient d’inductance propre
Le circuit C ne peut pas être filiforme dans la réalité, le champ
magnétique ne pouvant pas être infini. Il a donc une section
finie, seule possibilité d’existence du champ magnétique réel en
tout point.
 
B(M) 
o
r
j
x
d

3

4
r
L’intégrale étant prise sur le volume du fil.

B
I

C
La densité de courant permet de calculer le courant total du fil.

I  S j dS

Multiplier j par un facteur
 k induit une multiplication de I par 
k. Donc
la relation entre j et I est linéaire, de même qu’entre j

et B .
Il y a donc proportionnalité entre l’énergie magnétique Wm et I2 puisque la densité volumique d’énergie
dépend de B2. On définit le coefficient d’inductance propre de la manière suivante
1
m
Wm  LI2 soit L  2 W
2
2
I
Par extension il est possible de définir une quantité homogène à un flux propre   LI  2Wm
I
bien que le calcul direct du flux du champ propre ne soit pas défini.
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