V - Mathématiques du Cnam

MVA003
Combinatoire, probabilités
ordre, calcul booléen
séance n°11
séance n°11
1
En 1854 George Boole a publié An
investigation into the laws of
Thought, on which are founded the
Mathematical Theories of Logic
and Probabilities (Une exploration
des lois de la pensée sur lesquelles
reposent les théories mathématiques
de la logique et des probabilités).
Dans ce traité de 330 pages, il donne une forme mathématique au
discours ordinaire qui permet de remplacer les raisonnements par des
calculs pouvant être faits par des machines !
Nous allons voir comment il s'y est pris.
G. Boole
2
MVA003
Chapitre 13
Calcul propositionnel
1. Propositions
2. Connexions
3. Formes propositionnelles
Plan ch13-1
3
Propositions
Nous transmettons nos connaissances au moyen d'affirmations.
La proposition est l'objet mathématique qui formalise l'idée intuitive
d'affirmation.
Exemples
• 2 plus 3 font 5
• π est compris entre 6 et 7
• la décimale de π qui porte le numéro
est un 9
• tout anneau principal est un anneau de Dedekind
Nous avons 4 affirmations.
• la première est vraie
• la deuxième est fausse
• la troisième est ?
• la quatrième ? … on n'y comprends rien, mais les
spécialistes savent qu'elle est vraie !
propositions-1
4
• Provisoirement, nous dirons qu'une proposition est une affirmation qui
est soit vraie soit fausse …
• Une proposition possède donc une valeur de vérité :
V si elle est vraie
F si elle est fausse
• Avec cette propriété, toutes les affirmations ne sont pas des propositions.
Exemple 1
• la présente affirmation est fausse
est une affirmation qui ne peut pas avoir de valeur de vérité !
Elle n'est ni vraie ni fausse !
Exemple 2
• un nombre réel strictement négatif n'est pas un carré.
Elle est à la fois vraie et fausse !
Exemple 3
L'affirmation qui est à
côté est vraie
L'affirmation qui est à
côté est fausse
propositions-2
5
• Pus généralement, nous dirons maintenant qu'une proposition c'est
n'importe quel objet qui possède une valeur de vérité.
• Les affirmations nous serviront comme exemple de proposition.
• En combinant des propositions, on va fabriquer des nouvelles
propositions.
• La valeur de vérité de ces nouvelles propositions va se calculer à partir
des valeurs de vérités des anciennes propositions.
C'est pourquoi on parle de Calcul Propositionnel …
propositions-3
6
MVA003
Chapitre 13
Calcul propositionnel
1. Propositions
2. Connexions
3. Formes propositionnelles
Plan ch13-2
7
Définition
• On appelle connexion tout procédé permettant de fabriquer une
proposition à partir de propositions données, pourvu que la valeur de
vérité de la proposition obtenue ne dépende que des valeurs de vérité
des propositions qui ont servi à la construire.
proposition
proposition
proposition
proposition
V
V
V
F
Si on change une des propositions de départ en la remplaçant par une
autre qui a la même valeur de vérité, la proposition obtenue peut
changer, mais ne doit pas changer de valeur de vérité.
connexion-1
8
Une connexion est représentée par un symbole, c'est le connecteur
de la proposition et elle a une table de vérité.
Pour inventer des connexions on s'inspire des constructions faites
dans les raisonnements.
Négation
• À partir d'une affirmation, on peut en construire une autre, qui affirme
le contraire :
Exemple
2 plus 3 font 5
2 plus 3 ne font pas 5
• La nouvelle proposition s'appelle la négation de l'ancienne.
On a ainsi une construction qui associe à une proposition P une
(on dit Non-P).
nouvelle proposition notée
• Cette construction est une connexion. On l'appelle la négation .
P
Son connecteur est
Sa table de vérité est :
V
F
F
V
négation
9
Conjonction
• À partir de 2 affirmations, on peut en construire une autre, qui affirme
qu'elles sont vraies toutes les deux :
Exemple
6 est divisible par 3
6 est divisible par 2
6 est divisible par 2 et 6 est divisible par 3
On a ainsi une construction qui associe aux propositions P, Q une
(on dit P et Q).
nouvelle proposition notée
•
s'appelle la conjonction de P et de Q.
• Cette construction est une connexion. On l'appelle la conjonction .
P Q
Son connecteur est
V
V
F
F
Sa table de vérité est :
V
F
V
F
V
F
F
F
conjonction
10
Disjonction
• À partir de 2 affirmations, on peut en construire une autre, qui affirme
qu'une des deux, au moins, est vraie :
Exemple
Jean parle l'anglais
Jean a de l'expérience
Jean parle l'anglais ou Jean a de l'expérience
On a ainsi une construction qui associe aux propositions P, Q une
nouvelle proposition notée
(on dit P ou Q).
•
s'appelle la disjonction de P et de Q.
• Cette construction est une connexion. On l'appelle la disjonction .
P Q
Son connecteur est
V
V
F
F
Sa table de vérité est :
V
F
V
F
V
V
V
F
disjonction
11
Remarque : En français, le mot ou a deux sens voisins mais
différents.
• un sens inclusif :
Jean parle l'anglais ou a de l'expérience
• un sens exclusif :
Mon vélo est à la cave ou au grenier
Par convention, le connecteur
représente le sens inclusif : c'est
indifféremment l'une ou l'autre proposition qui est vraie, ou peut-être
même les deux …
• Le ou exclusif correspond à une autre connexion qui s'appelle XOR
(exclusive Or)
dit qu'une et une seule des 2 propositions est
vraie.
P Q
Son connecteur est
Sa table de vérité est :
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
disjonction-2
12
Y a-t-il d'autres connexions utiles ?
Implication
• Dans les raisonnements, on utilise aussi souvent une autre
construction : l'implication .
Exemple
Jean parle l'anglais
Jean connaît le mot horse
Jean parle l'anglais entraîne que Jean connaît le mot horse
Jean parle l'anglais implique que Jean connaît le mot horse
Si Jean parle l'anglais alors Jean connaît le mot horse
• Est-ce que cette construction peut servir à définir une connexion ?
On l'appellerait l'implication et son connecteur serait
Alors, y a-t-il une table de vérité qui lui est associée ?
implication
13
P Q
V
V
F
F
V
F
V
F
Dans la pratique, on fait comme si P était
vraie et on essaye de voir, avec cette
hypothèse, la valeur de vérité de Q .
?
Si c'est V on dit que P entraîne Q
Si c'est F on dit que P n'entraîne pas Q
1. Dans les deux premiers cas, faire comme si P était vraie ne change
rien, puisqu'elle est vraie !
si Q était vraie, Q reste vraie,
si Q était fausse, elle reste fausse.
Donc, quand P est vraie la valeur de vérité de
est celle de Q
2. Maintenant, quand P est fausse, mais Q est vraie, il n'y a qu'à
ignorer l'hypothèse faite sur la valeur de vérité de P pour retrouver que
Q est vraie !
Donc, dans ce cas,
est vraie.
3. Reste le cas P fausse, Q fausse, Le fait de supposer vrai quelque
chose de faux rend-il vrai tout ce qui est faux ?
implication-2
14
Exemple
1 est égal à 2
P
Q
Napoléon et Jules César sont la même personne
Si 1 est égal à 2 alors Napoléon et Jules César sont la même
personne
Est-ce que
est vraie ?
P Q
• Dans le fond, dire que
est vraie
signifie simplement qu'on ne peut pas avoir Q
fausse quand P est vraie .
Autrement dit que la table de vérité
est :
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
P Q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Alors, on décide que
c'est
implication-3
15
Commentaire : Nos difficultés venaient de ce qu'on avait des
affirmations et qu'on essayait de comprendre ce qu'elles voulaient
dire …
• Il faut utiliser mécaniquement la table de vérité précédente sans
chercher si les propositions ont une signification.
Exemple
Si 1/2 est un nombre entier alors 1/2 n'est pas un nombre entier
est une proposition vraie !!!
P
1/2 est un nombre entier
Q
1/2 n'est pas un nombre entier
P est fausse
Q est vraie
donc
est vraie …
• Un dernier mot : En remplaçant V par 1 et F par 0, le calcul propositionnel
de Boole devient le calcul booléen … d'où les mots table de vérité pour
table de valeurs, OU pour , ET pour et NON pour le complément !
implication-4
16
MVA003
Chapitre 13
Calcul propositionnel
1. Propositions
2. Connexions
3. Formes propositionnelles
Plan ch13-3
17
• Le calcul propositionnel permet de calculer avec les propositions au
moyen des 3 opérations ET OU NON .
Un mérite de Boole a été de comprendre qu'il n'y avait pas besoin
d'autres connexions.
• Par contre, on a besoin d'inventer des variables propositionnelles .
Ce sont des variables qui ne prennent pour valeurs que des propositions.
• En combinant les propositions et les variables propositionnelles au
moyen des 3 connecteurs on obtient des formes propositionnelles .
Exemple
• Quand on remplace les variables propositionnelles d'une forme
propositionnelle par des propositions on obtient une proposition.
• À chaque forme propositionnelle est associée une table de vérité.
forme-1
18
Exemple
• Un choix des valeurs de vérité qui donne la réponse V s'appelle un
modèle pour la forme propositionnelle.
• Deux formes propositionnelles qui ont un modèle commun sont
compatibles sinon elles sont incompatibles ou contradictoires.
Exemple
et
sont incompatibles.
forme-2
19
Une forme propositionnelle qui ne donne que des propositions vraies
s'appelle une tautologie.
Une forme propositionnelle qui ne donne que des propositions fausses
s'appelle une antilogie ou une contradiction.
Exemple
Les formes propositionnelles peuvent être combinées au moyen des
connecteurs. Le calcul propositionnel s'étend donc aux formes
propositionnelles.
Exemple
forme-3
20
Il y a une (toute petite) difficulté quand les variables ne sont pas les
mêmes.
Il faut d'abord écrire des tables de vérité avec les mêmes variables.
Exemple
forme-4
21
• On dit que la forme g est une conséquence de la forme f, ou que g se
déduit de f quand
est une tautologie. On écrit f
g
Théorème
La forme g est une conséquence de la forme f quand
tout modèle de f est aussi un modèle de g .
Exemple
(p entraîne r) est une conséquence de (p entraîne q) et (q entraîne r).
forme-5
22
• On dit que deux formes propositionnelles sont synonymes quand elles
ont la même table de vérité. On la note f
g.
Exemple
• La proposition
s'appelle la contraposée de
Le fait qu'une proposition et sa contraposée aient la même
valeur de vérité sert souvent dans les raisonnements.
Exemple
Le nombre que j'ai calculé est impair, donc il n'est pas divisible par 6
• La relation être synonyme de est une relation d'équivalence.
• Les classes d'équivalence sont les classes de formes propositionnelles.
• Puisque deux formes synonymes ont la même table de vérité, toutes
les formes d'une même classe ont la même table.
On convient que cette table est la table de vérité de la classe.
forme-6
23
Algèbres des classes de formes à n variables
• On fixe un ensemble { p1, p2, p3, ..., pn } de variables propositionnelles.
• Si on note C(f) la classe de la forme f, alors :
Théorème
f est synonyme de g équivaut à C(f) = C(g)
Opérations
• La négation de la classe C(f) est la classe de
f:
C(f) = C( f)
• La disjonction des classes C(f) et C(g) est la classe de f
C(f)
C(g) = C(f
g)
• La conjonction des classes C(f) et C(g) est la classe de f
C(f)
C(g) = C(f
g:
g:
g)
Théorème
Avec ces trois opérations, les classes de n variables
propositionnelles forment une Algèbre de Boole.
propositions-1
24