V - Mathématiques du Cnam

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séance n°11
MVA003
Combinatoire, probabilités
ordre, calcul booléen
séance n°11

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G. Boole
En 1854 George Boole a publié An
investigation into the laws of
Thought, on which are founded the
Mathematical Theories of Logic
and Probabilities (Une exploration
des lois de la pensée sur lesquelles
reposent les théories mathématiques
de la logique et des probabilités).
Dans ce traité de 330 pages, il donne une forme mathématique au
discours ordinaire qui permet de remplacer les raisonnements par des
calculs pouvant être faits par des machines !
Nous allons voir comment il s'y est pris.

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Plan ch13-1
1. Propositions
2. Connexions
3. Formes propositionnelles
MVA003
Chapitre 13
Calcul propositionnel

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propositions-1
Nous transmettons nos connaissances au moyen d'affirmations.
Propositions
• 2 plus 3 font 5
Exemples
La proposition est l'objet mathématique qui formalise l'idée intuitive
d'affirmation.
• π est compris entre 6 et 7
• la décimale de π qui porte le numéro est un 9
• tout anneau principal est un anneau de Dedekind
Nous avons 4 affirmations.
• la première est vraie
• la deuxième est fausse
• la troisième est ?
• la quatrième ? … on n'y comprends rien, mais les
spécialistes savent qu'elle est vraie !

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propositions-2
Exemple 3
Exemple 2
L'affirmation qui est à
côté est fausse
L'affirmation qui est à
côté est vraie
Elle est à la fois vraie et fausse !
• un nombre réel strictement négatif n'est pas un carré.
Elle n'est ni vraie ni fausse !
est une affirmation qui ne peut pas avoir de valeur de vérité !
• Avec cette propriété, toutes les affirmations ne sont pas des propositions.
• Une proposition possède donc une valeur de vérité :
V si elle est vraie
F si elle est fausse
• la présente affirmation est fausse
Exemple 1
• Provisoirement, nous dirons qu'une proposition est une affirmation qui
est soit vraie soit fausse …