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A-VI Le Dipôle Électrique
A-VI.1 Définition
B
Il est très fréquent de trouver dans la matière tant minérale
qu’organique, des couples de charges (-q , +q) très voisines l’une
de l’autre par rapport aux dimensions d’observation.
q
A
q
De tels couples de charges s’appellent des dipôles électriques

caractérisés par un moment dipolaire
La charge –q étant en A, l’autre +q en B.
p  q AB

p
1 29
Le moment dipolaire à une unité : le Debye qui vaut 10 C.m
3
M
A-VI.2 Potentiel créé par un dipôle
Il s’agit de calculer le potentiel créé en un point M par un
couple de deux charges opposées situées à une grande
distance du point en question.


Potentiel des deux charges V  q  1  1 
4o  rB rA 
A grande distance ce potentiel peut s’écrire

p.r
V
4o r 3

rA

rB

r
-q

a
A
 B +q
a
O
ICI
1
2
Établissement de l’expression

 
Soit rA  AM  AO  OM  r  a
Calculons
rA2

p.r
V
4o r 3
dans l’approximation a << r


a.r 
   
 2
  2 
2
2
 ( r  a ).( r  a )  r  a  2a.r  r  2a.r  r 1  2 2

r 


a. r
avec u  2 quantité << 1. On aura de même
r
 
et rB  BM  BO  OM  r  a
soit rA  r 1  2u 1/ 2
rB  r 1  2u 1 / 2 avec un calcul du même type

q 
1
1

Un expression intermédiaire du potentiel peut être V 

1
/
2
1
/
2
4o  r 1  2u 
r 1  2u  
On utilise l’approximation de linéarisation (1  u )n  1  nu
Soit l’expression du potentiel créé par le dipôle à grande distance


q
q
q
a. r
1 p.r
1  u  (1  u )  
V
2u 
2

4o r
4o r
4o r r 2 4o r 3
3
Étude du potentiel du dipôle
M
Sous forme développée V(M)  p cos
4o r 2

r
 
Équation polaire des équipotentielles dans le plan (p, r )
V(M) 
p cos
cos

cte

 AV
2
2
4o r
r

p
A V étant une constante liée à la valeur constante V du potentiel
Les surfaces équipotentielles sont de révolution

Plan à V = 0
Équipotentielles
autour de l’axe du dipôle.

p
Axe du dipôle
4
Potentiel électrique
Potentiel électrique non approximé du dipôle
V
q 1 1
  
4o  rB rA 

P
5
A-VI.3 Champ électrique créé par un dipôle
M
Reprenons les notations précédentes et calculons
directement le champ électrique créé par les deux charges

E  q  q M
 

q rB rA 

 3  3
4o  rB rA 

u
Le calcul fait dans le cadre de l’approximation à grande
 
distance donne dans le repère (p, r )

E p M 

rA 
r
-q

1  p.r   
3 2 r  p
3
4o r  r


ur

 B +q
a
O

a
A

E
Dans le repère polaire ( u r , u  )
E

E q qM
Er 
2p cos 
4o r 3
p sin 
E 
4o r 3

rB

r
Er

u
M

ur


p
6
M
Établissement de la formule du champ électrique du dipôle
Reprenons les notations précédentes et calculons
directement le champ électrique créé par les deux charges
  

rA  r  a
rA  r 1  2u 1/ 2
a. r
u 2
  
1/ 2
r
r  r a
r  r 1  2u 
B

rA 
r

u
B

ur

rB

+q
 
  

-q

q 
r a
 r a

 O a B
E  q  q M 
 3
 3
A a
3/ 2
3/ 2 
4o 
r 1  2u  
 r 1  2u 



q
q
1  p.r   
 
 
 
( r  a )1  3u   ( r  a )1  3u  
6u r  2a  
E q  q M 
3 2 r  p
3
3
3
4o r
4o r
4o r  r




En réintroduisant le vecteur moment dipolaire p  2qa
E
 
E
En coordonnées polaires ( u r , u  )
Er





r  ru r
p  p cos u r  p sin u 

E q qM

r
2p cos 
Er 
4o r 3
E 
p sin 
4o r 3

p

u
M

ur

7
Recherche des lignes de champ du dipôle
Le vecteur élémentaire local de la ligne de champ en
coordonnées polaires d  dru  rdu
r


doit être parallèle au champ local E  Er u r  Eu 
dr rd

La relation de proportionnalité suivante doit être satisfaite
Er E
qui avec les expressions des composantes du champ donne
r
dr
cos d après intégration
 Ct
2
2
sin

r
sin 

p
Surfaces équipotentielles
Lignes de champ
Les surfaces équipotentielles sont données par
cos
 Ct
r2
8
A-VI.4 Énergie potentielle d’un dipôle
Deux cas se présentent
L’énergie interne d’interaction du dipôle
L’énergie potentielle du dipôle dans un champ électrique
extérieur.
B
Énergie d’interaction interne du dipôle
q
C’est le cas typique de deux charges ponctuelles en interaction.
1N
A partir de la formule générale vue en A-V W   q i Vi
2 i 1
Nous avons directement avec AB = 2a
A
q
q2
1
(q)
( q ) 
  
W   (q)
 (q)
2
4o 2a
4o 2a 
8oa
Expression que l’on peut mettre sous la forme
W

E créé par la source
p2
de champ
32o a 3
Énergie potentielle d’un dipôle dans un champ extérieur
L’expression de cette énergie qui tient compte de la petitesse
des dimensions du dipôle par rapport à l’échelle de variation
locale du champ s’exprime simplement par
Wp dans E

 p.E
M

p
Source de
champ
9
Établissement de l’expression de l’énergie potentielle d’un
dipôle dans un champ extérieur

Le dipôle p  qAB a ses deux charges –q en A et +q en B qui,
dans le cas général, ne sont pas au même potentiel.
Il est alors possible d’écrire pour l’énergie totale du dipôle dans
le champ extérieur W   (q)V  (q)V  q(V  V )
p dans E
A
B
B
A
B
VB
q
VA
A
q
La différence de potentiel entre les points A et B peut se
calculer par la circulation du champ électrique
B
A E.d  VA  VB
Qui se réduit compte tenu de la proximité de A et B


A E.d  VA  VB  E.AB
B

Le champ E ayant une valeur moyenne prise là où se trouve le
dipôle dont les dimensions sont telles qu’il peut être ici

considéré comme ponctuel à l’échelle des variations de E
Il vient alors l’expression de l’énergie cherchée
Wp dans E


 q(VB  VA )  qE.AB  p.E
10

E créé par la source
 
Soit   (p, E ) l’angle orienté entre le dipôle et le champ
électrique. L’énergie potentielle du dipôle dans le champ
extérieur peut s’écrire




Wp dans E  p.E   p . E cos 
de champ

p
Bien que la fonction cos  soit censée être parfaitement
connue des titulaires d’un bac scientifique (ce n’est
malheureusement plus le cas aujourd’hui), il est instructif
de tracer la fonction (en notation simplifiée)

M
W()
pE
W()  pE cos 
Le tracé montre que l’énergie minimale –pE, situation
d’équilibre (voir plus loin), est réalisée pour l’alignement
dans le même sens du dipôle sur le champ.
-π
-π/2
0
+π/2

+π
 pE
11
A-VI.5 Force s’exerçant sur un dipôle placé dans un champ électrique extérieur

E créé par la source
Le calcul de cette force est plus difficile que celui mené pour
l’énergie potentielle W 
de champ
p dans E
Il est très facile de montrer que la force totale exercée sur le

dipôle est nulle si le champ est uniforme: même champ E sur
deux charges opposées –q et +q donne

 
 qE  qE  0
Dans le cas où le champ n’est pas uniforme, bien que les
deux charges soient très voisines, cette force n’est pas nulle.
Nous donnons dans la page qui suit une démonstration de la
formule suivante


M

p
Source de
champ

Fp dans E  grad p.E 

Dans le champ électrique E le dipôle est doté de l’énergie
potentielle

Wp dans E  p.E
Il est possible de calculer la force exercée par le champ à
partir du gradient de l’énergie potentielle, formulation
générale de ce type d’action dérivant d’un potentiel



Fp dans E  grad Wp dans E  grad p.E 


12



Établissement de l’expression Fp dans E  grad p.E 


EM  E
Cette expression est obtenue à partir de la force totale
sur le dipôle, somme des forces sur les charges –q et +q.





Fp dans E  qEA  qE B  q(EB  EA )


Il faut estimer la différence E B  E A sachant que les
point A et B sont proches.
A
A x
B x

EB
B

EA
q
q
M

FA
Pour se faire estimons la différence de la grandeur




scalaire E
 E   E   E 
B

FB
A x
Qui n’est autre que la composante en x de la différence des vecteurs champs entre A et B.

La quantité E B x peut se calculer à partir de sa valeur en M, milieu de AB = 2a par l’expression



E B x  E M x  grad M [E x ].MB



Nous aurons de même pour l ’autre terme E   E   grad [E x ].MA
A x
M x
M
Il vient pour la composante en x de la force





Fp dans E x  q grad M [E x ].MB  grad M [E x ].MA  p.grad M [E x ]




Un calcul identique pour les autres composantes donne pour le vecteur force

 
 
 


Fp dans E  p. grad M [E x ] i  grad M [E y ] j  grad M [E z ]k


Il est aussi possible d’écrire cette force sous la forme (à montrer en exercice)



Fp dans E  grad p.E 
13
A-VI.5 Couple s’exerçant sur un dipôle placé dans un champ électrique extérieur
Que le champ soit uniforme ou pas le couple des forces qui
s’exerce sur un dipôle placé dansun champ est en général non nul.
Calculons le moment des forces ( M )  par rapport au point M
p dans E
centre du dipôle. 


(M)

p dans E  MB x FB  MA x FA




Les deux forces peuvent s’écrire FA  qE A et FB  qE B
Il est suffisant de prendre dans ces deux expressions le champ au
point M pour obtenir une expression du couple au premier ordre




FB  qEM
FA  qEM
Le couple prend la forme


 )
 
  MB x qE  MA x qE
p( Mdans

p
x EM
M
M
E
q
Sa valeur algébrique est donnée par

 
  p E M sin 
l’angle θ étant orienté à partir de la direction fixe du champ de telle
manière que le couple soit un couple de rappel vers le champ
M
q

FA

EM
 (M)
p dans E

M

p

 ( M)

p dans E  p x EM
(M)


p dans E

EB
B
Nous obtenons le résultat à connaître


Le couple est un vecteur orthogonal à p et E


EM  E

EA
A

FB


p

EM
M
 (M)
p dans E
14
Relation entre le couple de rotation et l’énergie
potentielle du dipôle.
Nous remarquons que
W 

 pE cos   pE sin   
 
Le couple est nul pour   0 et  
Seule la position en   0 donne un équilibre
stable.
Un écart par rapport à cette position ramène le
dipôle en   0 , dans le fond du puits de
potentiel.
-π
-π/2
W()
0
+π/2
+π

()
Dans les positions     l’équilibre n’est pas
stable, le dipôle a tendance à s’en éloigner vers
le fond du puits.
15

p2
A-VI.6 Interaction entre deux dipôles (Complément)
On s’intéresse ici à l’énergie potentielle d’interaction
existant entre les deux dipôles.
Les énergies propres de chaque dipôle ne nous
intéressent pas ici, seule l’interaction d’un dipôle sur
l’autre est à considérer.


Le dipôle p1 crée là où se trouve le dipôle p 2 le champ
électrique

E

p1  p 2

p1
 
1  p1 .r   

3 2 r  p1 
3
4o r  r


L’énergie d’interaction de p 2 dans ce champ s’écrit
 
W  p 2 .E  
p1 p 2
1
2
2
1
0
2
-1
-2
0
-2
0

-2
2


Cette expression est symétrique par échange de p1 et p 2
W

r
W
 
1  p1 .r     
W
3 2 p 2 .r  p1 .p 2 
3
4o r  r

Il est possible d’écrire
2
1

p1p2
3cos1cos2cos(21)
4or3
16
A-VI.7 Multipôles (Complément)
M
Soit une distribution discrète de N charges
ponctuelles qi, aux points Mi avec r  OM i
i
Ces charges sont voisines d’une origine O et telles
qu’au point d’observation M avec r  OM


ri  ri  r  r
On cherche à estimer le potentiel électrique créé
en M par cette distribution de charges en tenant
compte des distances relatives.
1
qi
V(M) 
 
4o i r  ri
qN

r
qi Mi q2

q1
ri
O
1
Développons les quantités  
r  ri
1
1
1  u 1 / 2 avec

 
r
r  ri
en puissances de ri en allant jusqu’au second ordre
r

ri2  2 r .ri
1
3 2
1 / 2
u


1

u

1

u

u
et
r2
2
8


1
qi  1  ri2  2 r .ri
V( M) 
 1  
4o i r  2 
r2

 3  ri2  2r .ri
 
 8
r2






2





17
Soit Q la charge totale de la distribution Q   q i
i
1 Q
Le premier terme du développement donne Vo (M ) 
potentiel équivalent à l’ensemble des
r
4o
charges concentrées en O.
r
Le terme du premier ordre qui est en i3
r

1
q i r .ri
est V1 (M ) 

4o i r 3



P

p

q
 i  i ri
Si on introduit le moment multipolaire total
i

1 P.r
Ce terme potentiel s’écrit V1 (M) 
4o r 3
i
équivalent à celui trouvé pour le dipôle.
18