3 - Formalisme de la mécanique quantique

)RUPDOLVPHGHODPpFDQLTXHTXDQWLTXH
,5pDOLVDWLRQVGHVIRQFWLRQVG¶RQGH
Les fonctions d’onde sont des fonctions de carré intégrable. Pour une particule
dont l’état est décrit par la fonction d’onde
(,)
UW
ψ
G
, la quantité
2
3
(,)
UW GU
ψ
G
représente la probabilité de trouver cette particule dans un
volume
3
GU
autour du point
U
G
, à l’instant
W
. La probabilité totale de trouver la
particule dans tout l’espace est donc :
(
)
(
)
*3
,, 1
UW UWGU
ψψ
∞
=
∫
GG
Les fonctions d’onde seront supposées continues, possédant des dérivées
premières et secondes continues, de carré intégrable sur leur domaine de
définition.
Ces fonctions constituent un sous-espace vectoriel de
(
)
2
/
\
noté .
Produit scalaire :
Soient
()
U
ψ
G
et
()
U
φ
G
deux vecteurs de . On munit du produit
scalaire :
(
)
(
)
(
)
(
)
*3
,
UU UUGU
ψφ ψφ =∫
GG GG
ϕ
Def : une réalisation est un mode de description des vecteurs d’un espace vectoriel
obtenu en choisissant une base, discrète ou continue, de cet espace.
La réalisation-
ϕ
des vecteurs de est celle qui consiste à choisir une base
discrète formée de fonctions d’onde
ϕ
.
…
,,(VSDFHGHV(WDWV4XDQWLTXH
On peut noter par un symbole l’état quantique d’une particule sans se référer à une
réalisation particulière. Ainsi, tout état quantique d’une particule sera caractérisé
par le symbole :le de la particule.
Pour noter un état quantique particulier, on met à l’intérieur de ce
symbole un ou plusieurs chiffres ou lettres.
Exemple : si
(
)
U
ψ
G
est une fonction d’onde d’une particule, on associe à
(
)
U
ψ
G
un vecteur d’état noté :
ψ
ou
Q
Un vecteur d’état est appelé un ou un .
Espace de Hilbert : A tout couple de vecteurs d’état
ψ
et
φ
pris dans cette
ordre, on peut associer un produit scalaire. Dans l’espace
(
, le produit scalaire
de deux vecteurs d’état est, par définition, égal à celui défini pour les fonctions
d’onde. On a donc :
(
)
(
)
,,
UU
φψ φ ψ =
GG
Espace dual : Soit
)
une forme linéaire telle que :
()
*
:)
)
ψψ
→
6
((
Où
*
(
constitue de
(
.
On note par le symbole tout élément de
*
(
. Ainsi
)
désigne la forme linéaire de
)
(ou fonctionnelle). Cet élément est appelé
un ou .
Expression du produit scalaire :
(
)
(
)
,,
UU
φψ φ ψ φ ψ ==
GG
propriétés :
*
φψ ψφ
=
φψ η φψ φη
+= +
*
φλψ λφψ λφψ λ φψ
==
0
φφ
>
0
φφ
=
si
0
φ
=
λφ λφ
=
*
λψ λ ψ
=
Du Ket au Bra :
*
**
12 1 2
†
II
II
IJ I J
$I I $
λλ
λλ λ λ
→
→
+→ +
→
()()
*
$$
$$
$$$
$$
ψψ
φψ φ ψ
φψ φψφψ
φψ ψφ
=
=
==
=
Opérateurs Adjoints :
*
†
$$
φψ ψ φ
=
Notation de Dirac d’un opérateur :
ψφ
Observable :
L’opérateur hermitien
$
est appelé une si ce système de vecteurs
orthonormés forme une base de l’espace
(
des vecteurs d’état.
La matrice d’un opérateur est une
SSI ses valeurs propres sont réelles ET matrice hermitienne
†
00
=
,,,V\VWqPHFRPSOHWG¶REVHUYDEOHVTXLFRPPXWHQW
Théorème : Si deux observables commutent, elles possèdent un système de
vecteurs propres communs formant une base de l’espace des vecteurs d’état.
,93RVWXODWVGHODPpFDQLTXHTXDQWLTXH
Postulat I : A tout instant
W
, l’état quantique est décrit par un vecteur d’état
(
)
W
ψ appartenant à l’espace vectoriel
(
des états quantiques.
Postulat II : A toute grandeur physique mesurable
$
, on peut faire correspondre
un opérateur
$
qui agit sur les vecteurs d’état de l’espace
(
. Cet opérateur est
une observable.
Postulat III : Les valeurs propres de l’observable
$
, correspondant à une
grandeur physique
$
, sont les seules valeurs mesurables.
Postulat IV : L’opérateur hamiltonien
(
)
+W
d’un système est l’observable
associée à l’énergie totale de ce système. L’évolution dans le temps du vecteur
d’état
(
)
W
ψ est régie par l’équation de Schrödinger :
() () ()
G
+W W L W
GW
ψψ ==

Postulat V : Soit
$
une grandeur physique d’un système quantique et
$
l’observable correspondante dont le spectre ne comporte que des valeurs
propres non dégénérées
D
associés aux vecteurs propres orthonormées
X
.
Lorsqu’on mesure
$
sur le système dans l’état quelconque
ψ
de
norme unité, la probabilité
(
)
3D
d’obtenir comme résultat de mesure
D
est
donnée par :
()
2
3D X
ψ
=
Postulat VI : Soit
$
une grandeur physique d’un système et
$
l’observable
correspondante. Soit
D
une valeur propre de
$
dégénérée
J
fois et associée
aux vecteurs propres orthonormées
X
.
Lorsqu’on mesure
$
sur le système dans l’état
ψ
de norme
unité, la probabilité
(
)
3D
d’obtenir comme résultat de mesure
D
est
donnée par :
()
2
1
3D X
ψ
=
=∑
Attention : k est un indice, pas une puissance !
||
|
$
$
ψ
ψψ
ψψ
=
Exemple : valeur moyenne de la position (d’un système normé) :
*
||
;; [G[
ψ
ψψ ψψ
+∞
−∞
==
∫
La valeur moyenne de l’énergie est donnée par :
+
ψ
9SURSULpWpVGHV2EVHUYDEOHV
Dérivée d’un opérateur par rapport au temps
G$ G
$
GW GW
=
Dérivée de la valeur moyenne par rapport au temps :
Théorème d’Ehrenfest :
[]
N
[]
*
,
() () ,
GG$L
$+$
GW GW
G$ W $ W L +$
GW W
=+
∂
=+
∂
=
=
*NB : dans le formalisme de Schrödinger, les opérateur sont Toujours
indépendants du temps !
Application du théorème d’Ehrenfest :
Appliquons le théorème aux observables
5
G
et
3
G
pour un système formé d’une
particule de masse
P
plongée dans un potentiel
(
)
95
G
()
2
2
3
+95
P
=+
G
G
5
G
ne dépendant pas du temps : 1G
53
GW P
=
GG
3
G
ne dépendant pas du temps :
()
G
395
GW
=− ∇
GGG
Si
(
)
,
UW
ψ
G
est de norme unité, la quantité
2
ψ
est la
. Posons
ρ
:
(
)
2
,UW
ρψ
=
G
s’écrit :
()
()
**
,
2
L
MUW
P
ψψ ψ ψ
=∇−∇
GG
G
=
G
du fluide de probabilité :
() ()
,,0
UW GLYM UW
W
ρ
∂
+=
∂
G
GG
Considérons un système quantique dans l’état
ψ
, dont on mesure les valeurs
propres d’un opérateur
$
. L’opérateur qui va décrire
, écart que l’on note
$
δ
est l’opérateur :
$$ $
δ =−
, est la moyenne du carrée de
$
δ
,soit :
()
2
2
2
$$ $$
δ ∆= = −