3 - Formalisme de la mécanique quantique

)RUPDOLVPHGHODPpFDQLTXHTXDQWLTXH
,5pDOLVDWLRQVGHVIRQFWLRQVG¶RQGH
propriétés :
(VSDFHYHFWRULHOGHVIRQFWLRQVG¶RQGH
G
ψ (U , W ) ,
φψ = ψ φ
Les fonctions d’onde sont des fonctions de carré intégrable. Pour une particule
dont l’état est décrit par la fonction d’onde
G 2
ψ (U , W ) G 3U représente
φ ψ +η = φ ψ + φ η
la quantité
φ λψ = λ φ ψ
la probabilité de trouver cette particule dans un
G
U , à l’instant W . La probabilité totale de trouver la
volume G U autour du point
particule dans tout l’espace est donc :
3
φ φ >0
G
G
∫9 ψ (U , W )ψ (U , W )G U = 1
*
3
Les fonctions d’onde seront supposées continues, possédant des dérivées
premières et secondes continues, de carré intégrable sur leur domaine de
définition.
G
G
ψ (U ) et φ (U )
Soient
deux vecteurs de
/ (\ ) noté .
I
Du Ket au Bra :
2
. On munit
ϕQ
$ I
discrète formée de fonctions d’onde
$ ψ = $ψ
φ $ψ = φ $ ψ
ϕQ .
Opérateurs Adjoints :
9HFWHXUG¶pWDW
On peut noter par un symbole l’état quantique d’une particule sans se référer à une
réalisation particulière. Ainsi, tout état quantique d’une particule sera caractérisé
: le YHFWHXUG¶pWDW de la particule.
une fonction d’onde d’une particule, on associe à
ψQ
ou
ψ
et
φ
pris dans cette
(UG , le produit scalaire
de deux vecteurs d’état est, par définition, égal à celui défini pour les fonctions
d’onde. On a donc :
Où
(U*G constitue
)
G
G
= φ (U ),ψ (U )
(UG → (UG*
ψ 6 ) (ψ
de
On note par le symbole
désigne la forme linéaire de
(UG .
)
)
(U*G . Ainsi
(ou fonctionnelle). Cet élément est appelé
( des vecteurs d’état.
est appelé une REVHUYDEOH si ce système de vecteurs
0 = 0†
,93RVWXODWVGHODPpFDQLTXHTXDQWLTXH
W , l’état quantique est décrit par un vecteur d’état
ψ (W ) appartenant à l’espace vectoriel ( des états quantiques.
SRVWXODWVIRQGDPHQWDX[
Postulat I : A tout instant
G
G
= φ (U ),ψ (U )
$ , on peut faire correspondre
( . Cet opérateur est
un opérateur $ qui agit sur les vecteurs d’état de l’espace
une observable.
$ , correspondant
$ , sont les seules valeurs mesurables.
Postulat III : Les valeurs propres de l’observable
Postulat IV : L’opérateur hamiltonien
ψ (W )
+ (W )
à une
d’un système est l’observable
associée à l’énergie totale de ce système. L’évolution dans le temps du vecteur
d’état
un YHFWHXUEUD ou EUD.
φ ψ = φ ,ψ
$
La matrice d’un opérateur est une REVHUYDEOH
grandeur physique
tout élément de
Expression du produit scalaire :
L’opérateur hermitien
orthonormés forme une base de l’espace
Postulat II : A toute grandeur physique mesurable
une forme linéaire telle que :
O¶HVSDFHGXDO
ψ φ
Théorème : Si deux observables commutent, elles possèdent un système de
vecteurs propres communs formant une base de l’espace des vecteurs d’état.
ordre, on peut associer un produit scalaire. Dans l’espace
):
*
2EVHUYDEOHVTXLFRPPXWHQW
3URGXLWVFDODLUH
)
φ $ ψ = ψ $† φ
,,,V\VWqPHFRPSOHWG¶REVHUYDEOHVTXLFRPPXWHQW
Un vecteur d’état est appelé un YHFWHXUNHW ou un NHW.
φ ,ψ
*
SSI ses valeurs propres sont réelles ET matrice hermitienne
Q
Espace de Hilbert : A tout couple de vecteurs d’état
= φ $ψ
Notation de Dirac d’un opérateur :
Observable :
Pour noter un état quantique particulier, on met à l’intérieur de ce
symbole un ou plusieurs chiffres ou lettres.
G
ψ Q (U ) un vecteur d’état noté :
) = ( φ $) ψ
φ $ψ = ψ $φ
,,(VSDFHGHV(WDWV4XDQWLTXH
G
ψ Q (U ) est
φ ($ ψ
est celle qui consiste à choisir une base
…
Espace dual : Soit
I $†
→
2SpUDWHXUVOLQpDLUHV
La réalisation- ϕ Q des vecteurs de
Exemple : si
λ* I
→
λ1 I + λ2 J → λ1* I + λ2* J
du produit
Def : une réalisation est un mode de description des vecteurs d’un espace vectoriel
obtenu en choisissant une base, discrète ou continue, de cet espace.
par le symbole
I
→
λI
G
G
G
G
ψ (U ), φ (U ) = ∫ψ * (U )φ (U ) G 3U
5pDOLVDWLRQ
φ φ = 0 si φ = 0
λψ = λ * ψ
Produit scalaire :
scalaire :
λφ ψ = λ * φ ψ
λ φ = λφ
∞
Ces fonctions constituent un sous-espace vectoriel de
*
est régie par l’équation de Schrödinger :
+ (W ) ψ (W ) = L=
G
ψ (W )
GW
$ une
G
G
G G
3 = − ∇9 5
GW
( )
3UREDELOLWpG¶REWHQWLRQG¶XQHYDOHXUSURSUHORUVG¶XQHPHVXUH
$ l’observable
Postulat V : Soit
DQ
grandeur physique d’un système quantique et
XQ
correspondante dont le spectre ne comporte que des valeurs
propres non dégénérées
associés aux vecteurs propres orthonormées
Lorsqu’on mesure
norme unité, la probabilité
donnée par :
$
sur le système dans l’état quelconque
ψ
3 (DQ ) d’obtenir comme résultat de mesure DQ
3 (DQ ) = XQ ψ
.
(U , W ) est de norme unité, la quantité ψ
&RXUDQWGHSUREDELOLWp
de
est
Si ψ
G
. Posons
SUpVHQFH
Lorsqu’on mesure
unité, la probabilité
$
3 (DQ )
donnée par :
:
G
ρ (U , W ) = ψ
(TXDWLRQGHFRQVHUYDWLRQ
ψ
DQ
est
du fluide de probabilité :
(FDUWTXDGUDWLTXHPR\HQ
Considérons un système quantique dans l’état
3 (DQ ) = ∑ XQN ψ
JQ
2
propres d’un opérateur
ψ
, dont on mesure les valeurs
$ . L’opérateur qui va décrire
δ $ est l’opérateur :
δ $ = $− $
N =1
ψ | $ |ψ
ψ |ψ
9DOHXUVPR\HQQHVG¶XQHREVHUYDEOH
∆$ =
= ψ | ; | ψ = ∫ ψ * [ψ G[
+∞
ψ
−∞
+
La valeur moyenne de l’énergie est donnée par :
9SURSULpWpVGHV2EVHUYDEOHV
ψ
(YROXWLRQGHODYDOHXUPR\HQQHG¶XQHREVHUYDEOH
Dérivée d’un opérateur par rapport au temps
G$
G
=
$
GW
GW
Dérivée de la valeur moyenne par rapport au temps :
G
G$
L
$ =
+ [+ , $]
GW
GW
=
G$(W ) ∂$(W ) L
=
+ [+ , $]
GW
∂
W
N =
Théorème d’Ehrenfest :
*
* NB : dans le formalisme de Schrödinger, les opérateur sont Toujours
indépendants du temps !
Application du théorème d’Ehrenfest :
G G
5 et 3 pour un système formé d’une
G
P plongée dans un potentiel 9 5
G
G
32
+=
+9 5
2P
Appliquons le théorème aux observables
particule de masse
G
5
G
3
( )
( )
G G
1 G
5 =
3
GW
P
ne dépendant pas du temps :
ne dépendant pas du temps :
, est la moyenne du carrée de
/¶pFDUWTXDGUDWLTXHPR\HQ
Exemple : valeur moyenne de la position (d’un système normé) :
;
O¶pFDUW SDU UDSSRUW j OD
, écart que l’on note
PR\HQQH
Attention : k est un indice, pas une puissance !
$ψ =
)
G G
∂
G
ρ (U , W ) + GLY M (U , W ) = 0
∂W
de norme
d’obtenir comme résultat de mesure
s’écrit :
(
.
sur le système dans l’état
2
G
G
G G
L=
ψ∇ψ * − ψ *∇ψ
M (U , W ) =
2P
/DGHQVLWpGHFRXUDQWGHSUREDELOLWp
$ une grandeur physique d’un système et $ l’observable
correspondante. Soit DQ une valeur propre de $ dégénérée J Q fois et associée
XQN
est la GHQVLWpGHSUREDELOLWpGH
ODGHQVLWpGHFRXUDQW
2
Postulat VI : Soit
aux vecteurs propres orthonormées
ρ
2
(δ $ )
2
=
δ $ , soit :
$2 − $
2