Somme des n premières puissances kème d`entiers

Collège Saint-Michel
Professeur responsable : M. Bolly
A LA DÉCOUVERTE DES
NOMBRES DE BERNOULLI
Par
Cardoso Filipe, Hublet Magali, Petit Elise & Soares
Francisco
Dédra-math-isons, 22 avril 09
QUESTION DE DÉPART
On peut montrer que :
Peut-on écrire
Sous forme d’un polynôme
En clair, comment arriver à ces coefficients
SOMME DES N PREMIERS ENTIERS
Posons l’égalité
Si on remplace successivement X par 1, 2,…, n
…
+
__________________________________
SOMME DES N PREMIERS CARRÉS
Par la même méthode, on arrive à :
SOMME DES N PREMIERS CUBES
Pour
On obtient :
TRIANGLE DE PASCAL
BINOME DE NEWTON
On veut généraliser le produit suivant :
Pour ce faire, observons les résultats quand
n vaut 1,2,3,…
Coefficients des termes = suite des nombres du
triangle de Pascal
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
Suite de termes de type (n et p entiers naturels) :
ET
= terme ligne n colonne p
On arrive donc à :
Grâce à la méthode vue précédemment, on obtient :
En changeant légèrement le tableau, on a :
Première observation:
(pour k ≥ 1 car un terme en k = 1)
Donc, coefficient
Coefficient
=
=?
Liste des coefficients pour
:
En multipliant par 6, on obtient:
3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28 ; 36
On les retrouve dans le triangle de Pascal :
k+1/ p
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
3
6
10
15
21
28
36
1
4
10
20
35
56
84
1
5
15
35
70
126
1
6
21
56
126
1
7
1
28 8 1
84 36 9
1
On peut écrire les coefficients sous la forme :
On obtient donc, pour k
2:
Le coefficient pour
est nul pour tous les
polynômes de la liste.
Liste des coefficients de
pour
En multipliant par 30, on obtient :
:
On obtient :
Il existerait donc une suite de nombres particuliers :
Les
sont appelés « Nombres de Faulhaber »
On peut déjà généraliser :
Comment calculer
?
En posant n = 1 dans la formule de Faulhaber, on a :
On obtient alors :
Grâce à cette relation fondamentale, on dispose
d’une série d’équations que l’on peut résoudre
successivement.
Introduisons la série génératrice exponentielle des
nombres de Faulhaber
D’autre part,
La relation suivante peut donc être vérifiée :
Euler introduit une autre série génératrice :
Coefficients
= Nombres de Bernoulli
Etablissons une relation entre les nombres de
Bernoulli et ceux de Faulhaber.
En comparant les coefficients de B(-x) et de F(x) :
Les premiers nombres de Bernoulli sont donc
les suivants :
On peut donc généraliser la somme des n premières
puissances
d’entiers à l’aide des nombres de
Bernoulli.
( Rappelons que
)
Nous sommes à présent capables de répondre à
notre question défi initiale…
Donc :
On peut donc écrire ce polynôme de la manière
suivante :
Et nous sommes tous très contents !