Particule « libre

Interférences avec des particules
de Broglie
2 h p  mv  .k


k p
E  .
2
2 2
p
 k
E

2m 2m
Equation satisfaite par un paquet d’onde


i
[

(
k
).
t

kx
]
.ik
i

 ( x , t )   g ( k )e
dk t x

i[(k ).t  kx ]
2


 ( x, t )
   k 2g(k )e
dk
x 2


( x, t )
   i(k )g(k )e
t

 i[ ( k ).t  kx ]
dk
De Broglie
p  k
2
2 2
p
 k
E

2m 2m
p2
  E 
2m
Equation satisfaite par un paquet d’onde

2  2( x, t )

2m
i
x 2
i[(k ).t  kx ]

2
   k g ( k )e
dk


( x, t )
   i(k )g(k )e
t

2
Particule « libre »
p
E
2m
 i[ ( k ).t  kx ]
dk
 2k 2
E
 
2m
 2  2( x, t )
( x, t )

 i
2m x 2
t
2
d r

m  m 2  0
dt
Equation de Schrödinger (d’une particule libre)
Equation
classique
Equation de Schrödinger
Particule libre

p2
E
2m
2
2
 k / 2m
( x, t )
 2  2 ( x , t )
i

t
2m x2
Particule dans un potentiel
p2
E
 V( x )
2m
Postulat
( x, t )
 2  2 ( x , t )
i


V
(
x
)

t
2m x2
Equation de Schrödinger (d’une particule dans un potentiel)
Généralisation
1 particule sur l’axe x
2
2
  ( x, t )
( x, t )

 V( x )  i
2
2m x
t
1 particule : mouvement dans l’espace


 ( r , t )

 

. ( r , t )  V( r ) ( r , t )  i
2m
t
2
Exemple: atome d’hydrogène
e2

V (r )  
r

r
Interprétation de la fonction d’onde

 10
4

A

x2
2
ik
x
2

0
( x )  e
.e
  10
2

A
Où se trouve-t-il ?
Electron ponctuel :  ?
x2
( x )  e 2
2
Mécanique
classique
?
Probabilité de présence de la
particule
Mesure de la position des objets
macroscopique
1) Boule de billard
3
2) Electron

v( t )

r (t)
5
1Å
Perturbation
Energies
comparables
Incertitude
 1eV
microscopique
=
Probabilité
Incertitude sur la position des objets microscopiques

v( t )

r (t)
1Å
Etat dynamique classique
Position, vitesse,
trajectoire
Etat dynamique quantique
Trajectoire
Position, vitesse incertaines
THE END
(For today)