Cours - Université de Rennes 1

Christophe Mourougane
THÉORIE DES GROUPES ET
GÉOMÉTRIE

Christophe Mourougane
Cours de l’Université de Rennes 1 (2008–2009).
Url : http://perso.univ-rennes.fr/christophe.mourougane/
Version du 24 avril 2009

THÉORIE DES GROUPES ET GÉOMÉTRIE
Christophe Mourougane

TABLE DES MATIÈRES
Introduction.................................................................... 1
1. Groupes et actions de groupes................................................. 3
1.1. Définitions et formules des classes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Exemples................................................................. 5
1.3. Théorèmes de Sylow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Groupes dérivés et résolubilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5. Simplicité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Groupes symétriques et alternés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1. Groupe symétrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Groupealterné............................................................ 11
2.3. Groupedérivéetrésolubilité................................................ 12
2.4. Centreetsimplicité........................................................ 12
3. Structure du groupe linéaire (Aspects algébriques)............................. 15
3.1. Générateurs de GL(E)et SL(E)............................................ 16
3.2. Groupedérivéetrésolubilité................................................ 18
3.3. Centres de GL(E)et SL(E), simplicité de P SL(E). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4. Groupes linéaires sur les corps finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Géométrie projective......................................................... 23
4.1. Espacesprojectifs......................................................... 24
4.2. Théorème fondamental de la géométrie projective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. Dualitéprojective......................................................... 27
4.4. Birapport................................................................. 27
4.5. Théorèmes classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.6. Générateur du groupe projectif P GL(E)..................................... 31
4.7. Legroupecirculaire....................................................... 33
5. Décompositions des matrices inversibles....................................... 35
5.1. Décomposition LU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2. Décomposition de Bruhat (description par opérations élémentaires). . . . . . . . . . . . . . 38
5.3. Drapeaux................................................................. 39
5.4. Décomposition de Bruhat (description abstraite). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6. Formes bilinéaires et quadratiques............................................ 43