Modèle Black-Scholes Merton

Modèle Black-Scholes
Merton
L’intuition derrière ce modèle
D’après
David Harper
Comprendre le modèle :
Une petite présentation
 L’importance historique et économique
 La formule de B & S
 Les conditions
 Le modèle en pratique
 L’extension de la formule

Une petite présentation
C’est un modèle utilisé en mathématique
financière afin d'estimer en théorie la
valeur d'une option financière, du type
option européenne.
L’importance historique et
économique

Inauguration de l’étude en 1900 par Louis Bachelier

Publication en 1973 : prolongement de travaux réalisés
par Paul Samuelson et Robert Merton

L'intuition fondamentale : mettre en rapport le prix
implicite de l'option et les variations de prix de l'actif
sous-jacent

Influence considérable dans les marchés financiers
Formule de Black-Scholes
Objectif : Calculer la valeur théorique d'une option à
partir des cinq données suivantes :





S0 la valeur actuelle de l'action
sous-jacente
T le temps qui reste à l'option
avant son échéance (exprimé en
années)
K le prix d'exercice fixé par
l'option
r le taux d'intérêt sans risque
σ la volatilité du prix de l'action
Prix théorique d’un Call : option d’achat :
Il donne le droit d'acheter l'actif S à la valeur
K à la date T, est caractérisé par son pay off :
Le prix de l'option est donné par l'espérance
sous probabilité risque neutre du pay off
terminal actualisé :
On obtient :
De même pour un Put, option de vente on a :
Avec :
N la fonction de répartition de la loi normale centrée
réduite N(0,1), c'est-à-dire :

Hypothèse : les rendements de l'actif sous-jacent sont
gaussiens  la valeur de l'actif suit une diffusion brownienne
géométrique.

La volatilité : difficile à évaluer d’où on utilise le prix de l'option
coté dans les marchés, On obtient ainsi la « volatilité
implicite »
Les conditions

le prix du sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique

la volatilité est connue à l'avance et est constante

il est possible d'acheter et de vendre le sous-jacent à tout moment et
sans frais

les ventes à découvert sont autorisées (où on emprunte une certaine
quantité du sous-jacent pour la vendre)

il n'y a pas de dividende

le taux d'intérêt est connu à l'avance et est constant

l'exercice de l'option ne peut se faire qu'à la date d'échéance, pas
avant (option à exercice européen, dite option européenne)
Critique du modèle : Il y’a un écart entre ce
modèle et la réalité (T n’est pas continu), qui
devient important quand les marchés sont agités
avec de fréquentes discontinuités de cours.
Le modèle en pratique
En réalité la volatilité dépend du prix d'exercice et de la
maturité.
En pratique pour une maturité donnée, la volatilité
implicite a une forme de sourire : smile
La différence entre la volatilité implicite observée et celle à
la monnaie s'appelle le skew
Smile & Skew
20%
18%
16%
14%
12%
Vol 30j
Log-normale
Distribution implicite
10%
8%
6%
4%
2%
0%
80
85
90
95
100
105
110
115
120
La volatilité est au plus faible at the money.
Remarque : le smile n'est souvent pas symétrique sur le
marché des actions : plus haut du coté put que du coté call. Car
les acteurs de marché sont plus sensibles au risque de baisse
qu'au risque de hausse de l'action.
L’extension de la formule
Le modèle B & S peut être étendu aux options sur
des instruments payant des dividendes
Hypothèse : les dividendes sont payés sans
interruption.
Et on les note :
q constant, dans
le prix arbitrage-libre est donc :
Cas d’instruments payant des dividendes discrets
:
proportion δ du prix (cours) d'actions ait payé comme
dividende aux dates prédéterminées T1,T2....
Le prix des actions
:
où n(t ) est le nombre de dividendes qui ont été payés au
temps t .
Le prix d'une option d'achat sur des telles actions est encore:
où maintenant :
est le prix en avance des actions payant du dividende.
Réalisé par:
Mébarka KAID
Afef DRINE
Sofia OUCHENE
Imad JEBBARI
Khalid AARAB