Cours du 17 avril

Distributions univari´ees
Math´ematiques G´en´erales B
Universit´e de Gen`eve
Sylvain Sardy
17 avril 2008

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1. Variables al´eatoires
D´efinition de v.a. r´eelle : une fonction d´efinie sur l’ensemble des r´esultats
possibles, appel´e ensemble fondamental ou univers Ω, d’une exp´erience al´eatoire
X: Ω −→ X(Ω) ⊂IR.
Exemples :
– On jette deux d´es, et on consid`ere X=la somme des deux chiffres.
– On joue `a pile ou face 10 fois, et on consid`ere X=le nombre de Pile.
– On joue au loto, et on consid`ere X=le nombre de gagants.
– On jette un d´e jusqu’`a ce qu’on gagne (le 6 sort), et on consid`ere X=
nombre de fois o`u le d´e est jet´e.
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– On joue au loto, et on consid`ere X=la somme gagn´ee par un joueur.
– On mesure sur le Pont du Mont Blanc la vitesse Xdes v´ehicules.
Deux types de variable al´eatoire :
–Discr`ete quand X(Ω) = {x1, x2, . . .}est fini ou d´enombrable.
–Continue quand X(Ω) est un intervalle de IR.
Deux types de distribution :
–Discr`ete d´efinie par une fonction de probabilit´e/fr´equence : P(X = xi).
–Continue d´efinie par une fonction de densit´e f(x)telle que
P(a 6X6b) = Zb
a
f(x)dx.
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Un tr´es grand nombre de distribution a ´et´e d´efini et ´etudi´e, et sert `a mod´eliser
des ph´enom`enes al´eatoires :
– Discr`ete : Uniforme discr`ete (equiprobabilit´e), Bernouilli,Binomiale,
G´eom´etrique,Hyper-g´eom´etrique,Poisson, Multinomiale, Binomiale-
N´egative, etc.
– Continue : Uniforme,Gaussienne/Normale,Chi-deux,Exponentielle,
Student, Cauchy, Log-Normale, Beta, Gamma, Weibull, F, Pareto, Rayleigh,
Rice, Fisher-Tippett, etc.
On va en d´efinir quelques-unes, puis on ´etudiera dans un prochain chapitre
quelques propri´et´es (esp´erance et variance).
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2. Distributions discr`etes
Distribution uniforme discr`ete
Une exp´erience a nr´ealisations ´equiprobables x1, x2, . . . , xn, o`u nest finie.
Alors
P(X = xi) = 1
npour tout i.
Exemple : un d´e.
1) A quoi ressemble le graphique de la fonction de probabilit´e uniforme
discr`ete ?
2) V´erifie-t-on PiP(X = xi)=1?
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