Electrostatique: L`énergie

Électrostatique:
L’énergie
D’après: Eugene HECHT. Physique. Éditeur ITP de boeck.
Énergie potentielle électrique
Analogie avec force gravitationnelle


• Soulever une masse (force FG=mg)
dans le champ gravitationnel = travail
• Ce travail se transforme en énergie potentie
• Énergie potentielle proportionnelle à la masse
• En tombant le corps perd de l’énergie potent
gagne de l’énergie cinétique


• Déplacer une charge (force FE=q0E)
contre l’influence d’un champ
électrique = travail
• Ce travail se transforme en énergie potentie
électrique
• Énergie potentielle (EP) proportionnelle à la c
• En se déplaçant l’une vers l’autre deux charg
opposées perdent de l’énergie potentielle et
de l’énergie
cinétique
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Potentiel électrique
Indépendance vis-à-vis de la charge
EP
 Énergie potentielle électrique par unité deVcharge

q0
Potentiel électrique ou potentiel ou tensio
Unité: Joule/Coulomb (J/C)  Volt (V)
NB. Précédemment: Unité de champ électrique:
Plus couramment mesuré en V/m
Équivalence: N
(kg m/ s2 )
1 1
C
C
2
V
J/ C
N m/ C
N
kg m/ s
1 1
1
1 1
m
m
m
C
C
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Différence de potentiel
électrique
Travail effectué sur une charge de A
vers B
Segment AB divisé en n segments lj
(suffisamment petits pour E ne varie pas)

Force F déplace la charge du repos vers le repos
(Énergie cinétique nulle)
Dans le sens du déplacement (parallèle
au champ éle


opposée à la force du champ électrique: Fj=Fj; Ej=E
Wj  F jl j  q0 E jl j  EPj
Travail énergie potentielle
n
EPj
 E jl j  Sur AB:
V   ( E jl j )
Potentiel:Vj 
q0
j 1
B
B
A
A
V    E dl    E dl
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Différence de potentiel (suite)
La différence de potentiel entre deux points A et
égale au travail effectué contre le champ pour dép
une charge positive unitaire de A vers B sans accél
WAB
VB  VA 
q0
Quantité relative: aucun point de l’espace
n’est « zéro absolu »
Charge positive sans vitesse initiale se déplace d’
potentiel élevé vers un potentiel plus bas (V<0):
Perte d’énergie potentielle et gain d’énergie cinét
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Différence de potentiel (suite)
De même: Charge négative sans vitesse initiale se dé
d’un potentiel bas vers un potentiel plus élevé (EP =
Conservation de l’énergie: le travail effectué pour
une charge ne dépend pas du chemin suivi
Proton se déplaçant dans V=1V:
Perte d’énergie potentielle
EP=qeV=1.610-19J  1 eV
Électron-volt: unité d’énergie à l’échelle
microscopique
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Électrophorèse
Déplacement particules chargées dans un champ élec
uniforme  dépend de la charge et de la taille de l
F  qE  v (: coefficient de friction)
v   elE
Vitesse électrophorétique:
q
 el 
Mobilité électrophorétique:

Électrophorèse analytique : migration sur gel (ex.:
 fonction de la charge et de la taille des ions
Exemple: séparation d’ADN
chromosomique
• Champ: 5,1 V/cm
• Durée: 34 heures
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Exemple: tube à rayons
cathodiques Électrons émis par
cathode chauf
Accélérés dans V=20kV
Vitesse finale ?
EPE=qeV=(-1.610-19C)(2010
= -3,210-15 J
ECi+EPi=ECf+EPf; ECi=0  ECf=EPi-EPf=-EPE
15
½ mevf2 = 3,210-15
 2(3,2  10 J 
Jvf  

31
 9,1 10 kg 
1/ 2
vf= 8,4107 m/s
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Potentiel dans un champ
uniforme
Charge positive
B
B
B
A
A
A
V    E dl    E dl    Ecos dl
B
B
A
A
VB  VA    Ecos dl  Ecos  dl
VB  VA  EDcos 
VB  VA  Ed
Dans le sens du champ
Dans le sens opposé VB  VA  Ed
Potentiel nul pour un déplacement
perpendiculaire au champ (de C en B p
 Travail nul !
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Déplacement parallèle à un champ électrique
uniforme
Déplacement de B en A:
VA-VB=-Ed
Potentiel borne + de la pile supé
de 12V à celui de la borne -
Champ électrique entre les plaq
si distantes de 2 mm ?
VB  VA
12V
E

d
2  10 3 m
E = 6,0 kV/m
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Potentiel d’une charge
ponctuelle Analogie avec énergie
dl
WAB

gravitationn
B
B
  FE dl   FE cos dl
A
A
dl tangente à la trajectoire  dr=rB
WAB    FE(r)dr
rA
 1 1
kqq0
EPE  WAB   
dr  kqq0   
2
rA
r
 rB rA 
 1 1
VB  VA  kq   

 rB rA 
rB
EPE
V 
q0
 1

VB  0  kq   0  
Potentiel nul à l’infini
 rB

1

V  kq  
r 
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Exemple
Différence de potentiel en allant de B
(q=+10µC; rB=10 cm; rA=20 cm
 1 1
VA  VB  (VB  VA )  kq   
 rB rA 
1
1 

VA  VB  (9,0  10 N m / C )( 10  10 C)  1 
1 
 10 m 2  10 m
9
2
2
6
VA-VB=-0,45 MV
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Équipotentielles
Déplacement d’une charge perpendiculairement au c
électrique  pas de travail (pas de variation de pot
Équipotentielle: ligne partout perpendiculaire au cha
Potentiel à distance R d’une charge ponctu
1

V  kq  
 R
Même potentiel dans toutes directi
 Surfaces équipotentielles =
sphères co
Champ électrique toujours normal à ces surf
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Équipotentielles (suite)
Rappel: conducteurs
• Champ partout ^ à
leur
surface
• Leur surface est une
équipotentielle
• Intérieur du
• Équipotentielles représent
conducteur en
par des lignes
équilibre
• Séparées par une différe
électrostatique
de potentiel constante
(aucun champ)
• Équidistantes dans champ
volume
uniforme
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équipotentiel
Potentiel créé par plusieurs
charges
Potentiel: quantité scalaire
 Potentiel d’un système de charges ponctuelles=
somme algébrique des potentiels créés par chacun
charges
Exemple: potentiel au point A
1

V  kq  
 R
 1
 1
VA  kq1    kq2  
 r1 
 r2 
(9,0  10 9 N m2 / C2 )( 10  1O9 C)
VA 
4,0 m
(9,0  10 9 N m2 / C2 )( 10  1O9 C)

4,0 m
VA = 45 V
Mais EA= 0,0 N/
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Équipotentielles de deux charges
égales
Les surfaces deviennent sphérique
à distance
Pour un dipôle, le potentiel s’annule
à mi-chemin
• Le plan médiateur (égale distance
deux charges) = équipotentielle (
• Les lignes de champ sont ^ à ce
• Aucun travail n’est nécessaire po
déplacer une charge
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Potentiel créé par une distribution continue
de charges
1

Charge ponctuelle:V  kq  
 R
kdq
Élément différentiel de charge  charge ponctuelle
dV 
r
Potentiel total = somme (intégrale) des éléments dV
dq
V  k
r
V sur l’axe de l’annea
dq
dq
k
V  k
 k 2

dq

r
x  R2
x2  R2
V
k
x2  R2
Q
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Détermination de E à partir de
V
Relation entre E et V pour une distribution de ch
B
B
A
A
V    E dl    E dl
V: somme de différences infinitésimales
 dV  E dl
dV
E 
dl E est l’opposé du gradient de
Rappel: E composante du champ parallèle au déplac
Exemple: V(r)=kQ/r
Champ radial: Er=-dV/dr
dV
d
1
Er  
Dans l’espace V(x,y,z):
dr

dr
(kQr )  ( kQr 2 )
Q
ErV/k 2z
Ex  V/ x; Ey  V/ y; Ez 
r
E  V
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Potentiel et configuration de
charges
Relation entre charge, géométrie
et travail (pour ajouter une charge)
Plus une sphère est chargée
négativement, plus il faut de travail
pour lui ajouter un électron
1
2

Q  4 R 
V  kQ 
 V  4 kR
 R
A densité surfacique égale la charge et le potentie
de la plus grande sphère sont plus élevés
Mais potentiel maximum: apport électron suppléme
impossible
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Générateurs électrostatiques
Générateur de Van de Graaff:
• Charge à l’intérieur d’un
conducteur
• Aucun champ ne la repousse
• Potentiel limité par propriété
isolante
dePhysique
l’airDeuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertr
Conservation de la charge
Laboratoire immobile dans Champ uni
• Déplacement charge de l’extérieur
(potentiel arbitraire V=0) vers l’int
 EPE=q0V
• A l’intérieur du laboratoire: imposs
mesurer V  V’=V+V0
Disparition de la charge ?
• Conservation de l’énergie  même transformation d
doit être observée dans et hors du laboratoire (au
• Impossible car V’  V
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Capacité
Définie par Volta (18ème siècle):
Quantité de charge (Q) qu’un corps peut emmagasi
un potentiel V
Q
C
V
Unité: Coulomb par Volt (C/V)  le farad 1 F = 1
(Toujours positif !)
1 F : grande capacité
Unité courante en électronique: le µF=10-6 F ou le
Plus gros condensateurs en électromécanique
NB: Homme  100pF; vache  200pF
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertr
Capacité d’une sphère métallique
Rayon R:
Donc
kQ
V
R
Q
Q
R
C 

V  kQ  k
 
 R
C=4eRDans l’air (ee0): C=4e0R
• La capacité d’une sphère métallique est donc
proportionnelle à son rayon
• Elle reste cependant modeste car 4e0 10-10
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Bouteille de Leyde
• Conducteurs (plaques métalliques)
séparés par un isolant (verre)
• Charge du conducteur interne ind
charge sur conducteur externe
• Répulsions charges conducteur int
plus faibles
 plus de charges stockées pour un
même potentiel
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Condensateur plan
• Conducteurs plans séparés par is
(air ou isolant plus puissant)
• Réduction de potentiel lors de
l’approche du conducteur neutre
à la terre
Capacité d’un condensateur plan?
C=Q
Champ électrique uniforme entre armatures: V=Ed
 Q
E 
eS
e Se
C

Qd
d
V  Ed 
Se
Capacité augmente avec S et e
Q
Q
C

diminue quand d
V Qd/ Se
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Le farad est une grande valeur
…
Taille d’un condensateur de 1 F à plans parallèles
d’armatures carrées séparées par 1 mm d’air ?
eS
C
d

dC
S
e
3
dC
(1,0  10 m)(1,0F)
9 2
S


0,1
1
3

1
0
m
12 2
2
e0 (8,85  10 C / Nm )
L=S=10,6km
Si air remplacé par du verre (e=10e0): L = 3,3
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Action du diélectrique
• Polarisation du diélectrique
champ interne plus faible (E=/e)
• Charge opposée en face du conduc
 Différence de potentiel diminue (
à charge constante des conducte
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Réalisation technique
• Feuilles d’aluminium séparées p
un isolant (papier, mylar, …)
• L’isolant peut être un électrol
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Association de condensateurs
Circuit électrique
Association en parallèle
Capacité résultante ?
V=V1=V2=V3
Q=Q1+Q2+Q3
Donc CV=C1V1+C2V2+C3V3=V(C1+C2+Cet
3) C=C1+C2+C3
La capacité de condensateurs associés en parallèle e
somme des capacités individuelles
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Exemple: un circuit simple
Équivalent à:
Q1 Q2
V

C1 C2
Q1=VC1=(12V)(2010-6F)=2,410-4C
Q2=VC2=(12V)(3010-6F)=3,610-4C
Condensateurs montés en parallèle:
C=C1+C2=(2010-6F)+(3010-6F
=Q1-4
+Q
Charge correspondante: Q=CV=6,010
C2
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Association en série
Équivalent à
Charge + de C3 provoque charge – égale et opposé
(électrons chassés de C3) etc…  Q=Q1=Q
Chute de potentiel totale (V): V=V1+V2+V3
Q Q1 Q2 Q3
V=Q/C, donc :


C C1 C2 C3
1 1 1
1
 

C C1 C2 C3
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertr
Exemple: circuit mixte
Équivalent à
Calculer C, V1, V2, V3, Q1, Q2, Q3
1
1 1 C1  C2
 

C12 C1 C2
CC
1 2
(2,0 F)(2,0 F)
C12 
 1,0 F
(2,0 F)  (2,0 F)
Q3=C3V3=(5,0µF)(12V)=60µ
Q=CV=(6,0µF)(12V)=72µC
Q1=Q2=Q-Q3=(72µC)-(60µC)=
Q1 12,0 C
V1 

 6 V  V2
C1 2,0 F
C=C12+C3=(1,0µF)+(5,0µF)=6,0µF
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertr
Énergie stockée dans un
condensateur
• Charge d’un condensateur
= travail
• Quantité d’énergie indépendante de la
façon de charger
• Charge +Q d’une armature à l’autre
(celle de départ reste avec –Q)
• Avec accumulation des charges le
potentiel augmente  force répulsive au
Travail avec force variable : calcul avec force m
(ou différence de potentiel moyenne)
V varie linéairement de 0 à V=Q/C: potentiel mo
Donc EPE 
1
VQ
2
EPE 
1 2
CV
2

1 2
Q /C
2
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertr
Exemple: énergie stockée dans un
réseau de condensateurs
Énergie stockée dans le circui
précédent ?
EPE1 
1
1
QV  (12µC)(6 ,0V)  36 J
2
2
EPE2 
1
1
QV  (12µC)(6 ,0V)  36 J
2
2
EPE3  1 QV  1(60µC)(12,0V)  360 J
2
2
EPE = EPE1+EPE2+EPE3= 432µJ
Vérification EPE  1 CV2  1(6 ,0 F)(12,0V)2  432J
2
2
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertr
Décharge du condensateur
Si possibilité : électrons se déplacent
de l’armature – à l’armature +
C
V=0 en cas de court-circuit
1
12 V
6V
C2
4 µF
2 µF
Décharge de 2 condensateurs parallèles
(C1=4µF; C2=2,0µF; V1=12V; V2=6V)
Connexion armatures + (aucun mouvement de charge)
Connexion armatures – (mouvement charges  équilibre)
Avant connexion: Q1=C1V1=(4µF)(12V)=48µC
Q=60µC
Q2=C2V2=(2µF)(6V)=12µC
1 2
1
Q1
(40 C)2
Après connexion (même V):
EPE1  2
 2
 200 J
Q1 Q2
C1
4 F
V

Q1=40µC; Q2=20µC
C1 C2
1 2
1
Q2
(20 C)2
Q2C1 Q2 (4 F)
2
2
E


 100 J
Q1 

 2Q2
PE2
C
2

F
2
C2
(2µF)
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertr
Énergie emmagasinée et champ
électrique
Travail pour charger le condensateur  champ
électrique
C=eS/d et V=Ed
EPE
(  (Ed
1 2
1 eS
 CV 
2
2 d
2
1
2
 e(Sd)E
2
Énergie emmagasinée par le champ électriqu
proportionnelle au carré du module du ch
Champ électrique peut être traité comme milieu
transportant énergie et quantité de mouvement
Le vecteur en est le photon
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertr