Espaces vectoriels normés de dimension finie

2017
PC*
Espaces vectoriels normés de dimension finie
I. Normesurunespacevectoriel................................ 3
I.1 Dénitions ...................................... 3
I.2 Normes usuelles sur Kn............................... 5
II. Quelques ensembles remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.1 Boules ouvertes, boules fermées, sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.2 Partiesconvexes ................................... 6
II.3 Parties bornées, applications bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III. Suitesàvaleursdansunevn................................. 8
III.1 Convergence, divergence des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III.2 Opérations sur les suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
III.3 Suitesextraites.................................... 10
III.4 Convergence et choix d’une norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III.5 Passage à la limite «composante par composante» . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV. Topologie d’un e.v.n. de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV.1 Ouverts ........................................ 11
IV.2 Fermés......................................... 13
IV.3 Intérieur, adhérence, frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
V. Limite et continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
V.1 Limite d’une application en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
V.2 Passage à la limite «composante par composante» . . . . . . . . . . . . . . . . 15
V.3 Opérations algébriques sur les limites, composition . . . . . . . . . . . . . . . . 16
V.4 Continuitéenunpoint................................ 16
VI. Continuitésurunepartie .................................. 17
VI.1 Généralités ...................................... 17
VI.2 Continuitéettopologie................................ 18
VI.3 Continuité sur une partie fermée bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
VI.4 Applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
VI.5 Autres exemples d’applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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Tester ses connaissances
1. Peut-on mesurer une distance entre deux réels ? Entre deux complexes ?
2. Dans C, qu’est-ce qu’un disque ?
3. Peut-on mesurer une distance entre deux vecteurs ?
4. Quels axiomes communs la valeur absolue et le module satisfont-ils ?
5. Comment quantier qu’une suite est convergente ?
6. Comment quantier que f(x)−−−→
x→a`?
7. Qu’est-ce qu’un produit scalaire ?
8. Donner quelques exemples de produits scalaires.
9. Qu’est-ce que l’inégalité de Cauchy-Schwarz ? À quoi correspond le cas d’égalité ?
10. Quelle est la norme associée à un produit scalaire ?
11. Que penser de \
n∈N∗ò−1
n,1 nï?
12. Comment écrire ]a, +∞[comme une réunion d’intervalles ouverts bornés ?
Comment écrire [0,+∞[et ]0,+∞[comme une réunion d’intervalles fermés bornés ?
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?En 1ère année, les fonctions avaient pour ensemble de départ une partie de Ret prenaient leurs
valeurs dans Rou C.
?Le cours de «spé» va s’intéresser à des fonctions partant et/ou prenant leurs valeurs dans un es-
pace vectoriel de dimension nie (fonctions à valeurs matricielles, fonctions prenant leurs valeurs
dans L(E), suite d’applications d’un e.v. dans un autre, . . .)
?Pour généraliser la notion de limite, il faut donc généraliser la notion de distance :
la distance entre 2 réels (resp. 2 complexes) xet yétait la valeur absolue (resp. le module) du
nombre x−y.
De même la distance entre 2 éléments d’un espace vectoriel Esera la norme du vecteur x−y.
Dans tout le chapitre, Edésigne un K-espace vectoriel ( K=Rou C) de dimension nie.
I. Norme sur un espace vectoriel
I.1 Dénitions
I.1.a Norme sur un espace vectoriel
On appelle norme sur Etoute application de Evers R, notée N(ou k.k), vériant les quatre
axiomes suivants : •∀x∈E, N (x)>0
•∀x∈E, (N(x) = 0 =⇒x= 0E)(séparation)
•∀x∈E, ∀λ∈K, N(λ.x) = |λ|N(x)(homogénéité)
•∀x∈E, ∀y∈E, N(x+y)6N(x) + N(y)(inégalité triangulaire)
Le couple (E, N)est appelé espace vectoriel normé.
Dénition
Remarques. •Pour λ= 0, on obtient N(0E) = 0.
•Pour λ=−1, on obtient ∀x∈E, N(−x) = N(x) (k − xk=kxk).
•Si Nest une norme sur Eet si kest un réel >0, alors k.N est aussi une norme sur E.
•Si Fest un sous-espace vectoriel de E, alors N|Fest une norme sur F.
Conséquence de l’inégalité triangulaire. (1)
∀x∈E, ∀y∈E, N(x)−N(y)6N(x−y)ou kxk−kyk6kx−yk.
I.1.b Distance associée à une norme
On reprend les notations du paragraphe précédent ;
la distance associée à Nest l’application ddénie sur E2par ∀(x, y)∈E2, d(x, y) = N(x−y).
Remarque. N(x) = d(0E, x).
Dénition
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Une distance vérie les propriétés suivantes :
Théorème.(2)
∀(x, y, z)∈E3:
•d(x, y)>0
•Äd(x, y) = 0 =⇒x=yä(propriété de séparation)
•d(y, x) = d(x, y)(symétrie)
•d(x, z)6d(x, y) + d(y, z)(inégalité triangulaire)
•d(x, z)−d(y, z)6d(x, y)(conséquence de l’inégalité triangulaire)
I.1.c Cas particulier : normes euclidiennes
Il s’agit de normes associées à un produit scalaire.
Les espaces euclidiens ont été étudiés en pcsi et seront un peu revus dans des chapitres ultérieurs.
1. Rappel : produit scalaire sur un R-espace vectoriel
Soit Eun R-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur Etoute application (.|.)de
E×Edans Rbilinéaire symétrique dénie positive, c.à.d. vériant les propriétés
suivantes :
• ∀(x, y1, y2)∈E3,∀λ∈R,(x|y1+λy2) = (x|y1) + λ(x|y2)(linéarité à droite)
• ∀(x1, x2, y)∈E3,∀λ∈R,(x1+λx2|y) = (x1|y) + λ(x2|y)(linéarité à gauche)
• ∀(x, y)∈E2,(y|x) = (x|y)(symétrie)
• ∀x∈E, (x|x)∈R+(positivité)
•(x|x) = 0 =⇒x= 0E(caractère «déni»)
Un R-e.v. de dimension nie muni d’un produit scalaire est appelé espace euclidien.
Dénition
2. Un exemple à connaître
À deux éléments quelconques ~x = (x1, . . . , xn)et ~y = (y1, . . . , yn)de Rn, on associe
(~x|~y) =
n
X
i=1
xiyi
On dénit ainsi un produit scalaire, appelé produit scalaire canonique sur Rn.
3. Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient x,ydeux éléments d’un espace euclidien E,λun nombre réel quelconque. On sait qu’alors
(x+λy|x+λy)∈R+
ce qui donne, en développant par bilinéarité et en utilisant la symétrie,
λ2(y|y)+2λ(x|y)+(x|x)>0
Si yn’est pas nul, on obtient un trinôme du second degré qui garde un signe constant sur R. Son
discriminant est donc négatif ou nul, ce qui s’écrit
(x|y)2−(x|x)(y|y)60
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ou encore
|(x|y)|6»(x|x)»(y|y).
(inégalité encore vérifiée si y= 0, puisque c’est alors une égalité)
Cette inégalité est appelée inégalité de Cauchy-Schwarz.
4. Norme associée à un produit scalaire
De l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on déduit que, pour tout couple (x, y)d’éléments de E,
06(x+y|x+y)=(x|x)+(y|y) + 2(x|y)
6(x|x)+(y|y)+2»(x|x)»(y|y)
6»(x|x) + »(y|y)2
et nalement : »(x+y|x+y)6»(x|x) + »(y|y)=»(x|x) + »(y|y).
L’application x7→ kxk=»(x|x)est donc une application de Edans R+vériant de plus les
propriétés suivantes (pour tous xet ydans E,λdans R) : kλxk=|λ|kxk
kx+yk6kxk+kyk
kxk= 0 ⇒x= 0E
C’est donc une norme sur E. Un espace euclidien est donc muni d’une structure d’e.v.n., la
norme précédente est dite associée au produit scalaire : on parle alors de norme euclidienne.
I.2 Normes usuelles sur Kn
Le cas n= 1.La valeur absolue (resp. le module) est une norme sur R(resp. sur C)et concrètement, c’est
la seule utilisée à notre niveau sur R(resp. C).
Dénition-Proposition. (3)
On dénit, pour x= (x1, . . . , xn)∈Kn,
N1(x) =
n
X
i=1 |xi|, N2(x) = Ãn
X
i=1 |xi|2, N∞(x) = Max
16i6n|xi|
On dénit ainsi trois normes sur Kn(qui sont égales dans le cas n= 1).
Preuve. Pour N1et N∞, ce n’est pas compliqué. Pour N2, on l’a vu ci-dessus.
Exemple. Sur Mn(R)(isomorphe à Rn2), on dénit 3 normes en posant, pour M= (mij )16i,j6n:
kMk1=X
16i,j6n|mij |,kMk2=sX 16i,j6n
m2
ij =»tr (M>M),kMk∞=Max
16i,j6n|mij |
Remarque. Soit Eun K-ev de dimension nie n; ayant choisi une base B= (e1, . . . , en)de E(on pose
alors x=
n
X
i=1
xiei), on peut dénir trois normes sur E(qui dépendent du choix de la base B)
x7→ kxk1=
n
X
i=1 |xi|x7→ kxk2=Ãn
X
i=1 |xi|2x7→ kxk∞=Max
i=1,...,n|xi|
Dans la dénition précédente où l’ev est Kn, on a ainsi choisi la base canonique.
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