P - Lycée Fourcade

Mécanique des fluides
HYDRODYNAMIQUE
Sommaire
3) HYDRODYNAMIQUE
3.1- Lignes de courant
3.2- Ecoulement permanent
3.3 - Débit massique; débit volumique
3.4 - Équation de Bernoulli
3.5 – Viscosité
3.6 - Différents régimes
3.7 - Pertes de charge
3.8 – Energétique hydraulique
3.1- Lignes de courant
Les lignes de courant sont les trajectoires suivies par les
molécules d'un fluide en mouvement (voir figure ).
3.2 - Écoulement permanent
•Un écoulement est dit permanent lorsque les lignes de courant
ne varient pas au cours du temps.
•En un point du fluide, toutes les molécules passent avec la
même vitesse (les vitesses sont indépendantes du temps).
•Dans un écoulement parfait, on considère que toutes
les molécules traversant une même section ont la même
vitesse.
3.3 - Débit massique et débit volumique d'un liquide
a. Débit massique
Le débit massique Qm est le rapport de la masse m de liquide
s'écoulant pendant le temps t
Qm
m


t
 Sv
Unités:
m(masse) en kg;
t(durée) en s; Qm(débit massique) en kg/s
ρ(masse volumique) en kg/m3;
S(l’aire de la section) en m2;
v(vitesse moyenne d’écoulement du fluide) en m/s
b. Débit volumique
Le débit volumique Qv est le
volume de fluide, par unité
de temps, qui traverse une
section droite.
Unité : mètre cube par seconde
(m3/s )
QV
V

t
 Sv
QV(débit volumique) en m3/s
V (volume) en m3; t(durée) en s; S(l’aire de la section) en m2;
v(vitesse moyenne d’écoulement du fluide) en m/s
Remarque:
ρ étant la masse volumique du liquide, on constate:
Qm = ρ×QV
On utilise plus généralement le débit volumique que l'on notera,
sauf ambiguïté Q
Exemple :
Dans un tube de diamètre intérieur d = 12,7 mm
s'écoule, à la vitesse moyenne de 1,2 m/s, de
l'huile de masse volumique 820 kg/m³.
Calculer :
• le débit volumique Qv
• et le débit massique Qm
Solution
L’aire:
2
d
s  
4
d
(12, 7)  10
s  
 
4
4
2
•Débit volumique Qv
2
6
 126, 7  106
m2
QV  S  v
QV  S  v  126, 7  106  1, 2  152  106 m3 / s
Débit massique Qm
Qm    S  v  820  152  10
6
1
 1, 25  10 kg / s
c. Équation de conservation des débits
En admettant que le débit est le même dans toutes les portions
du circuit (conservation de la matière), on obtient l'équation
suivante, appelée équation de continuité :
v1 S1 = v2 S2
Remarque
Dans un écoulement, vitesse et section sont des grandeurs
inversement proportionnelles.
Exercice 4 : Hydrodynamique – Nettoyeur haute pression
1. Quelle doit être la section en (1)
pour que la vitesse de l'eau en
sortie soit de 140 m/s ?
2. Quelle est la vitesse de l'eau dans
le tuyau (2 ), sachant que sa
section a un diamètre de
1,2 cm ?
3. Quelle est la puissance
hydraulique utile Pu (en W)
Solution 1 L/min = 10-3 / 60 m3/s
Q = 8,4 L/min = 8,4x10-3 / 60 = 1410-5 m3/s
QV  S  v
1. Section en (1)
6
Q 14 10

7 2 2
-5
-6
= 1x10
S 
 = 14x10 / 140 
10 mm
v
140
Soit une surface S1 en entrée de 1 mm2
2. Aire de la section (2)
S2 =  D2 / 4 =  x (1,2 10-2)2 / 4 = 113 10-6 m2
x
•Vitesse en (2)
x
x
Soit une surface S2 en sortie de 113 mm2
6
1410-5 / 113 10-6 = 140/113 m.s1
6
Q 14 10
v 
S 36 10
x
 0, 4m / s
Soit une vitesse V1 en entrée de 1,24 m/s
3 - Puissance hydraulique utile Pu (en W)
Débit volumique en m3/s
Pression en Pascal ou N/m2
Pu = Qv . p = ([8,4 . 10-3]/60) . (120.105) = 1680 W
d. Puissance hydraulique
La puissance transmise par un fluide hydraulique est
appelée "puissance hydraulique".
1. Cas d’un vérin hydraulique
F : force exercée par la tige du vérin
v : vitesse en sortie de tige
S : section du piston
Qv : débit reçu
p : pression dans la chambre du vérin.
La puissance utile d'un vérin est donnée par la relation :
Pu = F × v
Si on considère les pertes négligeables : Pu = Pa
Or F = p×S;
Qv
v=
; p en pascal; Qv en m3/s;
S
Pa en Watt
Donc
Pa = F v = P×S×
Qv
= p×Qv
S
2. Cas général
Un fluide hydraulique de débit Qv et de pression p transporte
une puissance hydraulique P, telle que:
P = p × Qv
Ou encore
p en pascals
Qv en m3/s et P est en Watt
p ×Qv
P=
600
p en bar
Qv en L/min et P est en kiloWatt
Exemple
Un vérin de rendement 80 %, reçoit un débit de 36 L/min sous une
pression de 80 bars.
Calculez la puissance utile du vérin.
Réponse
p×Qv
• Puissance absorbée:
80×36
P=
P=
600
= 4,8 kW
600
• Puissance utile:
Pu = 4,8×0,80
= 3,84 kW
3.4 - Équation de Bernoulli
1. Cas général
Soit un fluide parfait, incompressible, s'écoulant dans une
conduite non constante (S1 < S2 ).
Considérons une portion de ce fluide de masse volumique 
et de volume V.
L’équation de Bernoulli traduit la variation de la vitesse v,
de la pression p et de l’altitude z entre les positions (1) et (2):
1 2
1 2
 v1  p1   gz1   v2  p2   gz2
2
2
Chacun des ces termes est homogène à une
pression…
 s’exprime en kg·m-3; v en m ·s-1; p en Pa et z en m
Décortiquons un peu l’équation de Bernoulli
1 2
1 2
 v1  p1   gz1   v2  p2   gz2
2
2
½..V2
p
.g.Z
La composante volumique d’énergie
cinétique du fluide
 (masse volumique) remplace la masse m
La composante volumique du travail des forces
de pression p du fluide
La composante volumique d’énergie potentielle
de hauteur Z du fluide
 s’exprime en kg·m-3; v en m ·s-1; p en Pa et z en m
Décortiquons un peu l’équation de Bernoulli
1 2
1 2
 v1  p1   gz1   v2  p2   gz2
2
2
½..v2
La composante volumique d’énergie
cinétique du fluide
 (masse volumique) remplace la masse m
E c = ½ . m . v 2 et m =  . Volume
 s’exprime en kg·m-3; v en m ·s-1;
Décortiquons un peu l’équation de Bernoulli
1 2
1 2
 v1  p1   gz1   v2  p2   gz2
2
2
p
La composante volumique du travail des forces
de pression p du fluide
Travail des forces de pression p du fluide  W (p)
Avec W(p) = F.l et F = p.S donc W(p) = p. S . l
et S . l = Volume de fluide déplacé
l : déplacement du fluide en m
S : Surface de fluide déplacé en m2
p pression en Pa
Décortiquons un peu l’équation de Bernoulli
1 2
1 2
 v1  p1   gz1   v2  p2   gz2
2
2
.g.Z
La composante volumique d’énergie potentielle
de hauteur Z du fluide
Energie potentielle de hauteur Z du fluide  E p(Z)
Avec E p(Z) = m . g . Z
et m =  . Volume
 s’exprime en kg·m-3; Volume en m-3; z en m
2. Cas d’un écoulement horizontal: Effet Venturi
z1 = z 2
Soit un écoulement permanent dans une conduite horizontale
présentant un étranglement.
L’équation de Bernoulli entre l’état (1) et l’état (2) s’écrit:
1
1
2
2
 v1  p1   v2  p2
2
2
Comme S1
> S 2 , v2 > v 1 et par conséquent p2 < p 1
La pression d’un fluide diminue lorsque la vitesse de son écoulement
augmente.
Applications:
Pistolet à peinture; vaporisateur; aile d’avion…
3.5 - Viscosité d’un fluide
Les fluides parfaits s’écoulant sans frottement n’existent pas réellement .
L’écoulement d’un fluide réel fait apparaître des frottements des
molécules entre elles et avec les parois de la conduite.
•La viscosité dynamique d’un fluide réel caractérise son aptitude
à s’écouler . On la note:
(éta) et elle s’exprime en pascal seconde(Pa·s)
•La viscosité cinématique est donnée par la formule suivante:
n/
n (nu) : Viscosité cinématique en (m2/s)
Avec  (éta) : Viscosité dynamique en (Pa·s)
 (rhô) : masse volumique en (kg/m3)
Autres unités plus pratiques:
•Le stokes (St): 1 m2/s = 104 St
•Le centistokes (cSt): 1 cSt = 10-2 St
Fluide
eau
glycérine
bitumes de pétrole
Température(°C)
Viscosité dynamique(Pa·s)
0
1,79×10-3
20
1,00×10-3
100
0,28×10-3
0
12
20
1
20
106 à 103
50
103 à 101
La viscosité des liquides diminue si la température augmente.
3.6 - Les différents régimes d’écoulement:
On distingue deux régimes d’écoulement :Laminaire ou Turbulent.
Les régimes d’écoulement sont déterminés à l’aide d’un nombre appelé
nombre de Reynolds (sans unité), noté Re
Laminaire
Re=V.D/n
V: Vitesse d’écoulement en (m/s)
Avec D : Diamètre en (m) mètre
n : Viscosité cinématique en (m2/s)
Turbulent
3.7 - Les pertes de charge:
La viscosité du fluide et la longueur de la conduite engendrent
des pertes de pression appelées aussi pertes de charge
Les pertes de charges linéiques ou régulières, notées p,
sont exprimées en pascal (Pa):

K: coefficient de pertes de charge(sans unité)
2 
L: longueur de la conduite(en m)
L

·
v

p
diamètre de la conduite(en m)
p  K· ·
D:
volumique du fluide(en kg/m3)
D 2 :v : masse
vitesse du fluide(en m/s)


Pour un écoulement laminaire:
64
K
Re
Pour un écoulement turbulent:
0,316
K 4
Re
Remarque :
Il existe d’autres pertes de charge liées à des singularités des
conduites : coudes, rétrécissements, vannes…Elles sont nommées
pertes singulières.
Dans la pratique, des tableaux ou des abaques permettent de
calculer les pertes de charge en mètres de longueur de conduite.
3.8 - Énergétique hydraulique
Appliquée à l’étude d’un système composé d’une pompe hydraulique entraînée par un
moteur, pour alimenter un vérin.
Schéma hydraulique de l’opérateur FAAC
Étude d’un système composé d’une
pompe hydraulique entraînée
par un moteur, pour alimenter un vérin.
1. Moteur
L’arbre du moteur est soumis à un couple de forces de moment M
Avec
M  F ·d 

M en N·m
d : Distance (bras de levier )en (m) mètre
F en N
Puissance utile du couple moteur  Pu = W . M
Pu ( moteur )
 Pu ( moteurM)en N·m (Newton.mètre)
 Avec n: fréquence de rotation en tr/s
 2 nM n
P en watt(W)
M

Rendement du moteur
moteur
Pu ( moteur )  (éta) : Rendement (nombre sans unité)

Pa ( moteur )
2. La pompe
Caractéristiques:
-débit Q en m3/s
-fréquence de rotation n en tr/s
-cylindrée C: volume du fluide refoulé à chaque tour de pompe
Q
C
n
(C est en m3/tr)
Puissance hydraulique d’une pompe
Pu ( pompe )


 p·Q 


Pu: puissance en watt
Avec p: pression en pascals (Pa)
Q: débit en m3/s
Rendement d’une pompe
( pompe )
Pu ( pompe )

Pa ( pompe )
P a(pompe) = P u(moteur)
3. Vérin
Le fluide exerce une force pressante F sur le piston du vérin
provoquant son déplacement d’une distance d(sa course),
à la vitesse constante v pendant une durée t;

Dans ce cas la puissance est donnée par:


F ·d
Pu ( vérin ) 
 F ·v Avec
t



Pu: puissance en watt
F: force exercée en N
d: distance(course) en m
v: vitesse en m/s
t: durée en secondes(s)
Rendement d’un vérin
P a(vérin) = P u(pompe)
vérin
Pu ( vérin )

Pa ( vérin )
4. Rendement global d’une installation hydraulique
Pu ( vérin )

Pa ( moteur )
 moteur · pompe ·vérin
Pu ( moteur ) Pu ( pompe ) Pu ( vérin )

·
·
Pa ( moteur ) Pa ( pompe ) Pa ( vérin )
Fin
Exercice N° 7 – Hydrodynamique –
Pompage et pertes de charges
Plan du chantier (le puits est ouvert à l’air libre)
Alimenter
Distribuer
Convertir
Panneaux
solaires
Driver de
commande
Moteur
courant
continu
Pompe mono
volumétrique
2 = 83%
3 = 70%
1 = 99%
Énergie
« Solaire »
Chaîne d’énergie partielle- Schéma N°2
Chaîne d’énergie du système de pompage
Transmettre
Adapter
1) Pression relative au point 1  P1 = P atm (écoulement à l’air libre)
Pression relative au point 2  principe fondamental de l’hydrostatique
P2 – P3 = ρ g h Le point 3 étant à la surface de l’eau dans le puits
D’où : P2 = 1000 x 9,81 x 6 =58860 Pa soit environ 0,59 bar
2) 2.1 Les pertes de charge linéaires (ou régulières) sont :
• - proportionnelles à la longueur du conduit
• - inversement proportionnelles à la longueur du conduit
• - dépendantes du type d’écoulement (nombre Reynolds)
• - proportionnelles au diamètre du conduit
• - inversement proportionnelles au diamètre du conduit
• - proportionnelles à l’épaisseur de la canalisation.
2.2 La canalisation peut être réalisée dans l’un des deux
diamètres (en mm) suivants : 20 ou 40.
Le diamètre le plus adapté est le plus grand soit 40 mm pour
diminuer les pertes de charge linéaires
3


 p·Q 


3) La pompe doit fournir une pression de 2,6 bars pour faire monter l’eau avec un débit de
30L/min. Puissance hydraulique de la pompe ?
Pu: puissance en watt
P=Q.p
Avec
p: pression en pascals (Pa)
u ( pompe )
Q: débit en m3/s
Donc P = (30x 10-3/60) x (2,6 x 105) = 3 x 102 x 2,6 /6
P
soit 130
Watt
4) Le système de pompage est alimenté par des panneaux solaires.
La pompe fournie par le fabricant a une puissance de 130 W.
Rendement global  g du système ?
Rendement global  g = produit des rendements intermédiaires
=  1 x  2 x  3 = 0,99 x 0,83 x 0,7
soit 0,57519 arrondi à
0,58
3
Puissance électrique fournie par les panneaux solaires ?
P Entrée système = P Sortie système /  g
= 130 / 0,57519 = 226 Watt
FIN