Examen Final : Mécanique des Fluides 2009 I. Dans la paroi

I.
ExamenFinal:MécaniquedesFluides2009
Danslaparoiverticaled’unecuveremplied’eau,unorificecirculairedediamètre4Restobturé
parunevanne.Cettevanneestconstituéed’undisquedediamètre2R(partieBC)raccordéà¼
detore(partiesABetCD).
1) L’axedel’orificecirculaireOétantimmergéàuneprofondeurH,calculerles
composanteshorizontaleetverticaledeseffortsappliquésparl’eausurlavanne.
2) Mêmequestionlorsqueleniveaudel’eaupasseparlepointO.
II.
Lepotentielcomplexedel’écoulementd’unfluideparfaitautourd’unprofil,dontlatracedansle
plandelafigureestundisquecentréen𝐶(−𝑐, 0)etpassantparlepoint𝐴(𝑎, 0),estdonnéparla
relation:
𝑅`
Γ
𝐹 𝑧 = 𝑈] 𝑧 + 𝑐 +
+
ln 𝑧 + 𝑐 𝑧+𝑐
2𝑖𝜋
Danslaquelle,𝑈] estlavitesseàl’infini,RlerayondudisqueetΓlacirculationautourdudisque.
1) Déterminerletorseurdesactionsmécaniquess’exerçantsurledisque.
2) Quesepasserait-ilsil’onavaitΓ = 0?
III.
Soitl’écoulementuniforme𝑓 𝑍 = −𝑈] 𝑍
1) Donnerleslignesdecourantetleséquipotentielles.Montrerquel’onpeutainsiétudier
l’écoulementautourd’uneplaqueplanedelongueur4a.
lm
2) Soitlatransformation𝑍 = 𝑧 + .Trouverleshomologuesdeslignesdecourantetdes
n
équipotentiellestrouvéesen1.Commentesttransforméelaplaque?
3) Donnerlavitessecomplexeenunpoint,lescomposantesdelavitesseàpartirdela
transformation.
IV.
Dansunmodèleréduitderivière,laprofondeurdel’eauestde100mm.Ellecorrespondàune
profondeurréellede3m.Silavitessedel’eaudanslarivièreestde2m/s.
1) Quelleseraitlavitessedel’eaudanslemodèleréduit?
V.
Del’eaudeviscositécinématique𝜈ruisselle,àépaisseurconstantea,surunplaninclinédepente
𝛼etdelargeurl.
1) Donnerleprofildesvitessesdansunesectiondroiteetcalculerledébit.
2) Applicationnumérique:𝜈 = 10uv 𝑚 ` /𝑠 uy ;a=2mm;𝛼 = 1°;l=1m
VI.
LecoupleΓdéveloppéparunepompecentrifugeestfonctiondelamassevolumiquedufluide𝜌,
dudiamètredurotorD,dunombredetoursderotationN,delaviscositédynamique𝜇,dudébit
volumiqueQetdel’énergieparunitédemassegHoùgestl’accélérationdelapesanteuretHla
chargetotale.
1) Donnerlarelationentre4nombressansdimensionàl’aidedeΓ,𝜌,D,N,𝜇,QetgH.
2) Endéduirelarelationexprimantlapuissancedelapompeennégligeantl’influencedu
nombredeReynolds.
3) Silapompe,dontlerotora200mmdediamètre,aundébitde0.07𝑚 • . 𝑠 uy pourune
chargede5mettourneà2300𝑡𝑟. 𝑚𝑖𝑛uy ,trouverlavitessederotationd’unepompe
similairede600mmdediamètreetd’undébitde2𝑚 • . 𝑠 uy .Donnerégalementsacharge.
VII.
Cylindreintérieurconcentriqueenrotation.
LefluideentreparA,s’écouledansl’espaceannulaireetsortenB.LapressionenBest
supérieureàcelleenA.Ladifférenceétantdésignépar∆𝑝.Lalongueurdel’anneauestdésignée
parl.Lalargeurhdel’anneauesttrèspetitecomparéeaudiamètredescylindresdefaçonque
l’étudedel’écoulementpeutêtreconsidéréecommeceluid’unfluideentredeuxplansparallèles
delargeurinfinie.
L’écoulementétantlaminaire,soit𝜌et𝜇lamassevolumiqueetlaviscositédynamiquefluide.
1) Déterminerl’expressionde∆𝑝.
2) CalculerlecoupledûauxforcesdeviscositéenfonctiondeL,R,∆𝑝,𝜔,𝜇eth.
3) Calculerlapuissancedefrottement
4) Déterminerlerendementdecettemachine.Lapuissanceutileestdonnéepar𝑃Œ = 𝑞Ž . ∆𝑝
Onmontreraqu’ilpeuts’écriresouslaforme:
6𝑞Ž
2𝑞Ž
6𝑞Ž
𝜂=
1−
/ 4−
𝜔𝑅ℎ
𝜔𝑅ℎ
𝜔𝑅ℎ
VIII.
Exercice1dufinal2012