= zz ( )

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VISCOSITE12
Un fluide de viscosité dynamique η et de masse volumique µ s’écoule en régime stationnaire et incompressible dans une conduite cylin-
drique d’axe Oz, de longueur L et de rayon R. Du fait des symétries du problème, on cherche en coordonnées cylindriques un champ des vitesses et
un champ de pression de la forme:
v
(M) = v
Z
(r)
u
Ζ
; p(M) = p(r, z)
On admet que la relation fondamentale s’écrit pour une particule de fluide dans ce cas: η1
r
d
dr rdv dr u p
ZZ
grad
F
H
G
I
K
J
=
 →
pour un
écoulement stationnaire et laminaire dans lequel la pesanteur est négligée.
1) Montrer que la pression p ne dépend pas de r.
2) Établir l’équation différentielle dont est solution v
Z
(r) et montrer que
dp
dz
est une constante C. Expliciter C et v
Z
(r) en exploitant les
conditions aux limites sur la paroi de la conduite. On admettra que
dv
dr
Z
est bornée.
3-a) En déduire l’expression du débit volumique q v r dS
V Z
=
zz
( ) en fonction des pressions p(z = 0) = p
1
à l’entrée et
p(z = L) = p
2
à la sortie de la conduite.
b) Comparer le résultat à la loi d’Ohm pour un conducteur filiforme en électrocinétique. Introduire la résistance hydraulique R
et l’exprimer en fonction de η, R et L. Comparer l’influence du rayon R sur la résistance électrique et sur la résistance hydraulique et commenter.
4) Calculer la chute de pression dans une pression dans une artère de longueur L = 1 m, de rayon R = 0,5 cm, où le débit volumique vaut
q
V
= 80 cm
3
.s
–1
, sachant que la viscosité du sang vaut η = 4×10
–3
Pl.
Commenter ce résultat sachant que le coeur maintient une différence de pression ∆p qui, symbolisée par « 12–8 de tension » en médecine,
vaut ∆p = 12 – 4 = 8 centimètres de mercure; on rappelle que 1 bar = 760 millimètre de mercure.
Corrigé
1) Dans la base cylindrique, on a grad
 →
p =
∂
∂
∂
∂
p
r
u
p
z
u
r Z
+ car p ne dépend pas de θ par hypo-
thèse.
L’équation de Navier-Stockes conduit à
∂
∂
p
r
=0 donc p est indépendant de r.
2) En projection sur
u
Z
, l’équation de Navier-Stockes conduit à η1
r
d
dr rdv r dr
dp z
dz
Z
( ) ( )
F
H
G
I
K
J
=
Comme v
Z
(r) ne dépend que de r et p(z) que de z, on a une égalité entre les valeurs de deux
fonctions dépendant de variables différentes. Cette égalité ne peut être vérifiée qye si chacun des
deux termes est indépendant de la variable soit
dp
z
dz
C
(
)
= d’une part et η1
r
d
dr rdv r dr C
Z
( )
F
H
G
I
K
J
= d’autre part.
On en déduit p(z) – p
0
= Cz d’où C
p
L
p
L
=
−
(
)
(
)
0
et d
dr rdv r dr
Cr
Z
( )
F
H
G
I
K
J
=η qui s’intègre en rdv r
dr
C r a
Z
( ) = +
η
2
2 soit
dv
r
dr
C
r
a
r
Z
(
)
= +
η2.
La condition «
dv
r
dr
Z
(
)
est bornée quel que soit r » entraîne a = 0 (pour éviter la divergence
en r = 0).
Il reste donc
dv
r
dr
C
r
Z
(
)
=η2 qui s’intègre en v r C r b
Z
( ) = +
η
2
4.
La condition aux limites est v
Z
(r = R) = 0 (car la vitesse d’un fluide visqueux en un point de
contact avec une paroi fixe dans un référentiel est nécessairement nulle dans ce référentiel).
On a donc 0 4
2
= +
C
R b
η puis v r
C
r R
Z
( ) = −
4
2 2
η
c
h
.
Avec l’expression de C obtenue ci-dessus, il vient v r
p
p
L
LR r
Z
( )
(
)
(
)
=
−
−
1
4
0
2 2
η
c
h

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Comme R > r, un écoulement vers les z croissants nécessite p(0) > p(L) : la pression doit di-
minuer le long de l’écoulement. C’est le phénomène de perte de charge régulière, il est dû à la vis-
cosité dans un tuyau rectiligne.
3-a) On calcule le débit volumique à travers une section du tuyau. Par définition,
q v r n dS
V
=
zz
( ).
Σ
=
zz
v r dS
Z
( ) car
v
(r) = v
Z
(r)
u
Z
et
n
Σ
=
u
Z
.
On repère le point courant de la surface Σ dans la base cylindrique
d’axe Oz. Alors, on a dS = rdrdθ avec r ∈ [0, R] et θ ∈ [0, 2π].
On a donc q
C
R r rdrd d
C
R r r dr
R
V
= − = −
zz
z
z
4 4
2 2
0
22 3
0
ηθ θ η
π
c
h
c
h
=
L
N
M
O
Q
P
−
L
N
M
O
Q
P
F
H
G
I
K
J
24 2 4
22
0
4
0
πη
CRr r
R R
=
L
N
M
O
Q
P
−
L
N
M
O
Q
P
F
H
G
I
K
J
24 2 4
4 4
πη
C R R
donc il vient qC R
V
=π
η2 4
4
. soit, avec
l’expression de C, qR
Lp p L
V
= −
π
η
4
80( ) ( ) ou, pour le débit massique D
m
= µq
V
,
DR
L
p p L
m
= −
π
ν
µ
4
8
0( ) ( )
On constate que la perte de charge p(0) – p(L) est proportionnelle à la longueur L de la
conduite, à la viscosité cinématique
η
µ du fluide et au débit massique D
m
. Elle augmente si l’on di-
minue le rayon de la conduite.
b) On a montré que le débit est proportionnel à la diminution de la pression. Cela
permet de faire une analogie avec l’électrocinétique où le débit de charge (l’intensité du courant) est
proportionnel à la diminution du potentiel I V V= −
1
R
E S
b
g
. On appelle donc résistance hydraulique
de la conduite
R
H
=
8
4
η
π
L
R
en considérant le débit de volume.
Si l’on exprime la résistance électrique d’un barreau de longueur L et de section S = πR
2
, on
obtient R = ρ
π
L
R
2
. On peut dire que la viscosité η joue le rôle de la résistivité. La dépendance avec
la longueur L est la même. Par contre, la dépendance avec R est plus importante dans le cas hydrau-
lique ; cela est dû à la différence des conditions aux limites en r = R :
dans le cas hydraulique, la condition est
v
= 0 soit
v
⊥
= 0 et v
//
= 0. Cela entraîne
un profil de vitesse v
Z
( r ) qui est parabolique sur la section. On a donc
dv
r
dr
Z
(
)
≠0 ce qui provoque
l’existence de forces de frottement dues à la viscosité.
dans le cas électrocinétique, la condition à l’interface se réduit à
v
⊥
= 0 mais v
//
≠ 0.
Alors la vitesse est uniforme sur une section et
dv
r
dr
Z
(
)
=0 . La résistance électrique n’est pas due à
des forces de viscosité dans le « fluide de charges ».
4) A.N. ∆ p = ∆ p =×
×
×
−
−
−
8 4 10 1
0 5 10 80 10
3
24
6
. .
,π
c h c h
= 1,3×10
3
Pa.
La différence de pression imposée par le cœur est ∆ p
C
=
8
76
10
5
× = 1,05×10
4
Pa. Elle est
plus grande que la valeur calculée ci-dessus car le réseau sanguin ne se réduit pas à une seule artère.
u
Z
u
r
u
θ
M
n
Σ
v

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Il a donc une résistance hydraulique plus grande, ce qui entraîne une perte de charge plus grande, de
l’ordre de 0,1 bar.