= zz ( )

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VISCOSITE12
Un fluide de viscosité dynamique η et de masse volumique µ s’écoule en régime stationnaire et incompressible dans une conduite cylindrique d’axe Oz, de longueur L et de rayon R. Du fait des symétries du problème, on cherche en coordonnées cylindriques un champ des vitesses et
un champ de pression de la forme:
v (M) = vZ(r) u Ζ
; p(M) = p(r, z)
On admet que la relation fondamentale s’écrit pour une particule de fluide dans ce cas:
η
FG
H
IJ
K

→
1 d
dv r Z uZ = grad p
r dr
dr
pour un
écoulement stationnaire et laminaire dans lequel la pesanteur est négligée.
1) Montrer que la pression p ne dépend pas de r.
2) Établir l’équation différentielle dont est solution vZ(r) et montrer que
conditions aux limites sur la paroi de la conduite. On admettra que
3-a) En déduire l’expression du débit volumique
dvZ
dr
qV =
p(z = L) = p2 à la sortie de la conduite.
dp
dz
est une constante C. Expliciter C et vZ(r) en exploitant les
est bornée.
zz
vZ (r ) dS
en fonction des pressions p(z = 0) = p1 à l’entrée et
b) Comparer le résultat à la loi d’Ohm pour un conducteur filiforme en électrocinétique. Introduire la résistance hydraulique R
et l’exprimer en fonction de η, R et L. Comparer l’influence du rayon R sur la résistance électrique et sur la résistance hydraulique et commenter.
4) Calculer la chute de pression dans une pression dans une artère de longueur L = 1 m, de rayon R = 0,5 cm, où le débit volumique vaut
qV = 80 cm3.s–1, sachant que la viscosité du sang vaut η = 4×10–3 Pl.
Commenter ce résultat sachant que le coeur maintient une différence de pression ∆p qui, symbolisée par « 12–8 de tension » en médecine,
vaut ∆p = 12 – 4 = 8 centimètres de mercure; on rappelle que 1 bar = 760 millimètre de mercure.
Corrigé

→
1) Dans la base cylindrique, on a grad p =
thèse.
∂p ∂p ur + uZ car p ne dépend pas de θ par hypo∂r
∂z
∂p
= 0 donc p est indépendant de r.
∂r
1 d
dv (r )
dp( z )
2) En projection sur u Z, l’équation de Navier-Stockes conduit à η
r Z
=
r dr
dr
dz
Comme vZ(r) ne dépend que de r et p(z) que de z, on a une égalité entre les valeurs de deux
fonctions dépendant de variables différentes. Cette égalité ne peut être vérifiée qye si chacun des
deux termes est indépendant de la variable soit
dp( z )
1 d
dv (r )
= C d’une part et η
r Z
= C d’autre part.
r dr
dr
dz
p( L) − p(0)
On en déduit p(z) – p0 = Cz d’où C =
L
d
dv (r )
C
dv (r ) C r 2
dvZ (r ) C r a
et
r Z
= r qui s’intègre en r Z
=
+ a soit
=
+ .
η
dr
dr
η2 r
dr
dr
η 2
dvZ (r )
La condition «
est bornée quel que soit r » entraîne a = 0 (pour éviter la divergence
dr
en r = 0).
L’équation de Navier-Stockes conduit à
FG
H
FG
H
FG
H
IJ
K
IJ
K
IJ
K
C r2
dvZ (r ) C r
Il reste donc
=
qui s’intègre en vZ (r ) =
+ b.
dr
η2
η 4
La condition aux limites est vZ(r = R) = 0 (car la vitesse d’un fluide visqueux en un point de
contact avec une paroi fixe dans un référentiel est nécessairement nulle dans ce référentiel).
C 2
C 2
On a donc 0 =
R + b puis vZ (r ) =
r − R2 .
4η
4η
1 p(0) − p( L) 2 2
R −r
Avec l’expression de C obtenue ci-dessus, il vient vZ (r ) =
4η
L
c
h
c
page 1/3
h
Comme R > r, un écoulement vers les z croissants nécessite p(0) > p(L) : la pression doit diminuer le long de l’écoulement. C’est le phénomène de perte de charge régulière, il est dû à la viscosité dans un tuyau rectiligne.
3-a) On calcule le débit volumique à travers une section du tuyau. Par définition,
q V = v (r ). nΣ dS = vZ (r ) dS car v (r) = vZ(r) u Z et n Σ = u Z.
M
uθ ur uZ
On repère le point courant de la surface Σ dans la base cylindrique
d’axe Oz. Alors, on a dS = rdrdθ avec r ∈ [0, R] et θ ∈ [0, 2π].
v
nΣ
2π
R C
C 2 2
2
3
On a donc q V =
R − r rdrdθ = dθ
R r − r dr
0
0 4η
4η
zz
zz
C
= 2π
4η
l’expression
Dm =
F LR
GH MN
de
zz
2
c h
z z c h
r O Lr O I
C F L R O L R OI
− M P J = 2π
−
donc il vient q
P
2Q N4Q K
4 η GH MN 2 PQ MN 4 PQJK
2
R
4
0
C,
R
4
4
0
πR 4
qV =
p(0) − p( L)
8 ηL
ou,
pour
le
débit
V
=
πC R 4
.
soit, avec
2η 4
massique
Dm = µqV,
πR 4
p(0) − p( L)
ν
8 L
µ
On constate que la perte de charge p(0) – p(L) est proportionnelle à la longueur L de la
η
conduite, à la viscosité cinématique du fluide et au débit massique Dm. Elle augmente si l’on diµ
minue le rayon de la conduite.
b) On a montré que le débit est proportionnel à la diminution de la pression. Cela
permet de faire une analogie avec l’électrocinétique où le débit de charge (l’intensité du courant) est
1
proportionnel à la diminution du potentiel I =
VE − VS . On appelle donc résistance hydraulique
R
8ηL
de la conduite RH =
en considérant le débit de volume.
πR 4
Si l’on exprime la résistance électrique d’un barreau de longueur L et de section S = πR2, on
L
obtient R = ρ 2 . On peut dire que la viscosité η joue le rôle de la résistivité. La dépendance avec
πR
la longueur L est la même. Par contre, la dépendance avec R est plus importante dans le cas hydraulique ; cela est dû à la différence des conditions aux limites en r = R :
dans le cas hydraulique, la condition est v = 0 soit v⊥ = 0 et v// = 0. Cela entraîne
dv (r )
un profil de vitesse vZ(r) qui est parabolique sur la section. On a donc Z
≠ 0 ce qui provoque
dr
l’existence de forces de frottement dues à la viscosité.
dans le cas électrocinétique, la condition à l’interface se réduit à v⊥ = 0 mais v// ≠ 0.
dv (r )
= 0 . La résistance électrique n’est pas due à
Alors la vitesse est uniforme sur une section et Z
dr
des forces de viscosité dans le « fluide de charges ».
b
4) A.N. ∆p = ∆p =
8 . 4 × 10 −3 . 1
c
π 0,5 × 10
h
−2 4
g
c80 × 10 h = 1,3×10 Pa.
−6
3
8
× 105 = 1,05×104 Pa. Elle est
76
plus grande que la valeur calculée ci-dessus car le réseau sanguin ne se réduit pas à une seule artère.
La différence de pression imposée par le cœur est ∆pC =
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Il a donc une résistance hydraulique plus grande, ce qui entraîne une perte de charge plus grande, de
l’ordre de 0,1 bar.
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