1. Cinématique - Enseignons.be

1. Cinématique
En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement
des
corps, en faisant abstraction des causes du mouvement (celles-ci sont généralement
modélisées par des forces et des moments). Elle utilise la géométrie analytique.
1.1. Chronophotographie
La chronophotographie est le terme historique qui désigne une technique photographique
qui permet de prendre une succession de vues à intervalle de temps fixé en vue d'étudier
le
mouvement de l'objet photographié.
Chronophotographie d'un swing de joueur de golf
1.2. Système de référence
Lorsqu’on traverse la campagne dans un joli petit train, il n’est pas rare d’observer
une
vache qui se déplace à 90 km/h. Oui, mais 90 km/h par rapport au train ! par rapport
au
sol
, la vache se balade gentiment. Si je suis dans un TGV qui avance à 300 km/h et que je
cours vers l’arrière le plus vite possible, un voya- geur me verra passer à 25 km/h
tandis
qu’un piéton me verra passer à 275 km/h. Quand on donne une vitesse, il est donc
indispensable de préciser par rapport à quel objet on la mesure. Pour les distances, c’est
pareil
. Dire « Vienne est à 250 km » c’est presque comme demander la différence entre un
canard. À 250 km de quoi ? Entre un canard et quoi ? Il faut prendre un point de repère.
Et
en prime, pour désigner la position d’un objet, il faut non seulement donner la
distance
entre
l
’
objet
et
le
point
de
référence
,
mais
il
faut
aussi
donner
la
direction
.
En
effet
,
si
un

entre l’objet et le point de référence, mais il faut aussi donner la direction. En effet, si un
élève dit qu’il habite à 5 km de l’école, ça n’aide pas tellement pour savoir comment
aller
chez lui. Pour réaliser tout cela, on utilise la notion de système d’axe.
Sur un terrain de foot, on prend par exemple un coin comme point de repère (qu’on appelle
l’origine du système d’axe) et les lignes blanches de la longueur et de la largeur du terrain
comme axes. Disons qu’on les gradue en mètres. Pour désigner le goal proche du coin
choisi, on va dire qu’il est à 20m dans la direction de l’axe de la largeur, tandis que
l’arbitre de ligne sera par exemple à 60m dans la direction de la longueur. Pour
désigner
l’autre goal, c’est plus compliqué. Il faut dire à la fois 20m dans la direction de la largeur
et 100m dans la direction de la longueur. Si on avait choisi le centre du terrain
comme
point
de repère, on aurait eut un petit problème. Les deux goals sont à 50m dans la
direction de la longueur. Mais pour désigner l’un des deux, il faut dire dans quel sens.
C’est pour cela qu’on oriente l’axe – c’est à dire qu’on met une flèche dessus. Disons qu’
on
a orienté l’axe vers le goal de l’équipe A. Alors on dit que le goal de A est situé à 50
m
tandis que le goal de l’équipe B est à −50m. Le signe moins indique qu’il faut parcourir la
distance dans le sens inverse de celui de la flèche placé sur l’axe.
Il faut donc définir un référentiel, c'est-à-dire un repère de l’espace et une référence pour
le temps.
L'objet de base est le point, dont les dimensions sont nulles et qui est défini par ses
coordonnées P (x,y,z,t).
1.2.1. Mouvement vs repos
Un point matériel est en mouvement par rapport à un référentiel spatial donné si sa
position
varie au cours du temps. Un point matériel est au repos par rapport à un
référentiel spatial donné si sa position reste constante au cours du temps.
Il est important de comprendre que le concept de repos ou de mouvement n’est pas
«
absolu » mais relatif à un système de référence donné. On a envie de dire d’un enfant
bien
sage
qui ne cours pas dans tout les sens et qui est gentiment assis en train de lire qu’il est
au repos. Il n’en reste pas moins qu’il bouge à une vitesse de 10758 km/h autour du Soleil !
Dire qu’il ne bouge pas est tout relatif.
Exemple : Si on fixe un repère spatial sur le quai d’une gare, le train qui passe sera bel
et
bien en mouvement. Mais si je fixe mon repère sur la banquette sur laquelle je suis assis,
eh bien je dirai que les autres voyageurs sont au repos. Le type qui dort devant moi a beau
avancer à 90 km/h par rapport au quai de la gare, il ne s’éloigne pas de moi ; pas plus que
du roman d’Émile Zola que j’ai dans les mains !

1.3. Mouvement à une dimension
Lorsqu’on traite un mouvement se déroulant sur une droite, on dit que le problème a
une
dimension. C’est le cas d’un train qui se déplace entre deux villes. La caractéristique d’un
mouvement à une dimension est qu’il faut un seul nombre pour donner la position.
Dans
l’exemple du train : la distance entre le train et la ville de départ suffit.
Un mouvement a une dimension est un mouvement à deux paramètres : un pour la position
et un pour la vitesse.
A une dimension, la position d'un point est défini par ses coordonnées P(x, t) par rapport
à
l'origine du référentiel.
Si l'objet est du côté positif / négatif de l'axe la position est positive / négative.
1.3.1. Déplacement
Le déplacement de l'objet est le changement de position de celui-ci d'une position initiale
x
1
à une position finale x
2
. Le déplacement se note :
x = x
2
-x
1
A ce déplacement spatial est associé un déplacement temporel t = t
2
-t
1
qui correspond
au
temp écoulé lors de ce déplacement x.
1.3.2. Vitesse
Lorsqu’un sportif cours le 100 mètres en 11 secondes, on dit qu’il le fait avec une vitesse
moyenne de 100/11 = 9.09 mètres par secondes. Mais, le sportif partant à l’arrêt, il est
évident qu’il n’a pas couru à vitesse constante : il a d’abord accéléré.
Afin
de décrire correctement le mouvement de la course, la vitesse moyenne de 9.09m/
s
est intéressante, mais ce n’est pas tout. Il faudrait aussi savoir la vitesse après
une
seconde
, après deux secondes, . . .
On définit la vitesse moyenne d'un objet par le rapport entre un déplacement x et
le
temps du déplacement t.
v = v
m
=x
t
=x
2
-x
1
t
2
-t
1
(1)

En considérant un objet partant à un temps initial t
0
d'une position initiale x
0
, l'équation (1)
nous donne la position de l'objet en un temps t, ce qui se note x
t
. En effet, on
remplace
dans (1) t
1
, t
2
, x
1
, x
2
par t
0
, t, x
0
, x
t
et nous trouvons (2)
x
t
= x
0
+ v (t-t
0
) (2)
Et si un objet part en t
0
= 0 de l'origine (de sorte que x
0
= 0), la position après un temps
t
est donnée par
x
t
= v t
Si on veut savoir la vitesse du sportif exactement une seconde après le départ de la course,
il faut être plus subtil. Une bonne idée est de mesurer la distance qu’il a parcourue entre
0.9 secondes et 1.1 secondes, et de diviser cette distance par 0.2. Ainsi on a la vitesse
moyenne du sportif dans un intervalle de temps de 0.2 secondes autour du moment qui
nous intéresse. Nous pouvons espérer que la vitesse du coureur n’ait pas trop
variée
pendant
ce laps de temps, et donc on peut dire que cela est sa vitesse.
Pour quelqu’un qui cours, 0.2 secondes, c’est satisfaisant. Mais si on étudie une balle de
fusil
qui sort du canon, en réalité 0.2 secondes c’est énorme ! Il faudra utiliser des
intervalles de temps beaucoup plus petit.
Donc, plus on veut avoir une idée précise de la vitesse, plus il faut la mesurer sur un
intervalle court. D’où l’idée de définir la vitesse instantanée d’un mobile au temps t
0
comme la vitesse moyenne du mobile pendant un temps infiniment court autour de t0.
On défini la vitesse instantanée comme la limite de la vitesse moyenne lorsque t tend
vers
0 :
v ≡
lim
t→0
x
t
=dx
dt
(3)
La vitesse s'exprime en mètre par seconde : m/s.

La vitesse instantanée correspond à la pente du graphique de x en fonction de t. Lorsque la
pente est positive, l'objet s'éloigne de l'origine du repère, lorsqu'elle est négative, l'object
se dirige vers l'origine du repère. Lorsque la pente est nulle l'objet est à l'arrêt.
Figure 1.0 : Déplacement d'un objet lancé verticalement avec une vitesse initiale de 10 m/
s. Le repère est placé verticalement et la position x correspond à la hauteur de l'objet par
rapport au sol. On voit que la vitesse diminue jusqu'à s'inverser lorsque l'objet redescend.
1.3.3. Vitesse instantanée constante : MRU
Le MRU (mouvement rectiligne uniforme) décrit le mouvement de corps se déplaçant
à
vitesse constante.
En considérant une vitesse constante (4), l'équation (2) s'écrit :
v = v
0
= v
x
t
= x
0
+ v (t-t
0
)
(4)
(5)