Magnétostatique du vide

S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme VII - 1
Magnétostatique du vide
A. Introduction
Certaines manifestations de ce que nous appelons le magnétisme sont connues depuis
l’antiquité. Ce terme a pour origine la magnétite, un minerai trouvé dans la région de
Magnésie en Asie Mineure, qui possède une aimantation permanente. En particulier il a la
propriété d’attirer le fer. Les chinois ont été les premiers à l’utiliser pour réaliser des
boussoles.
On observe que les aimants ont deux pôles de natures différentes. D’autre part, deux pôles de
même nature se repoussent et deux pôles de natures différentes s’attirent. La terre peut être
considérée comme un aimant géant ce qui explique son action sur une boussole.
En 1820, Oersted mis en évidence l’action d’un courant électrique sur une boussole. L’étude
quantitative des effets magnétiques induits par les courants électriques fut ensuite entreprise
par Biot et Savart avant d’être formalisée par Laplace et Ampère.
Dans ce chapitre nous introduisons les lois gouvernant les champs magnétiques produits par
des courants permanents stationnaires : la magnétostatique.
B. Loi de Biot et Savart
Nous avons vu en électrostatique que l’action d’un champ électrique E
ሬ
ሬ
Ԧ
sur un dipôle
électrostatique de moment dipolaire pሬ
Ԧ
peut être caractérisée par un couple :
C
ሬ
Ԧ
= pሬ
Ԧ
∧ E
ሬ
ሬ
Ԧ
De même nous pouvons supposer l’existence d’un champ magnétique B
ሬ
ሬ
Ԧ
qui permet de
caractériser l’action d’un aimant ou d’un courant électrique sur une boussole par un
couple que nous écrivons :
C
ሬ
Ԧ
= mሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
∧ B
ሬ
ሬ
Ԧ
où le vecteur mሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ne dépend que des caractéristiques de la boussole. Les travaux de Biot et
Savart reposaient sur la mesure de la période d’oscillation d’une boussole autour de sa
position d’équilibre. Celle-ci donnait l’orientation du champ magnétique et la période
d’oscillation son intensité. Leurs résultats peuvent se résumer dans une loi qui porte leur nom
que nous commençons par exprimer pour les circuits filiformes.
Considérons un courant d’intensité i circulant dans un conducteur filiforme. Un élément dlԦ de
ce circuit en un point P crée en tout point M, extérieur au circuit, un champ magnétique dont
l’intensité est proportionnelle à l’élément de courant dࣝԦ=i dlԦ et inversement proportionnelle
au carré de la distance r entre les points P et M. D’autre part ce champ est perpendiculaire au

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plan contenant les points P et M et l’élément de courant dࣝԦ. Ce qui peut se résumer sous la
forme : dB
ሬ
ሬ
Ԧ
(M) = K i dlԦ ∧ uሬ
Ԧ
r
2
où uሬ
Ԧ
est le vecteur unitaire dirigé de P vers M. La constante de proportionnalité K vaut :
K = 10
−7
USI
Elle s’exprime également en fonction de la perméabilité du vide µ
0
:
K = μ
0
4 π
Fig. 1 : Champ magnétique induit par un élément de courant.
Nous ne pouvons évidemment pas nous limiter à un élément de courant isolé. Il faut
considérer le champ magnétique créé par l’ensemble du circuit fermé (C) dans lequel circule
ce courant. En appliquant le principe de superposition, celui-ci s’obtient en sommant les
contributions élémentaires tout au long du circuit :
B
ሬ
ሬ
Ԧ
(M) = μ
0
4 πරi dlԦ ∧ uሬ
Ԧ
r
2
(େ)
Dans le cas d’une densité volumique de courant, il faut considérer un tube de courant et
l’élément de courant s’écrit alors :
i = jԦ dSሬ
Ԧ
⇒ dࣝԦ=jԦ dSሬ
Ԧ
dlԦ
Comme l’élément d’intégration dlԦ d’un tube de courant est parallèle au vecteur densité de
courant jԦ, nous pouvons écrire :
dࣝԦ=jԦ dτ avec dτ=dSሬ
Ԧ
dlԦ
L’expression du champ magnétique devient :

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B
ሬ
ሬ
Ԧ
(M)=μ
0
4 π ම jԦ∧uሬ
Ԧ
r
2
d߬
(ࣰ)
en intégrant sur le volume (ࣰ) du circuit.
L’unité dans le système international du champ magnétique est le tesla (symbole : T). On
utilise souvent une autre unité, le gauss (G) ayant pour valeur : 1 G = 10
−4
T.
C. Théorème d’Ampère
C.1. Champ magnétique induit par un fil rectiligne
Nous considérons un circuit filiforme constitué d’un fil rectiligne parcouru par un courant
d’intensité I. Nous nous intéressons au champ magnétique B
ሬ
ሬ
Ԧ
créé par ce fil en un point M
situé à une distance a.
Fig. 2 : Champ magnétique créé par un fil rectiligne.
Commençons par le champ élémentaire créé par un élément de courant, avec les notations de
la figure 2 nous avons : dB
ሬ
ሬ
Ԧ
= μ
0
4π I dlԦ ∧ uሬ
Ԧ
r
2
Ce vecteur est perpendiculaire au plan contenant le fil et le point M et a pour module :
dB = μ
0
I
4π dlsinα r
2
Or : α = θ+π
2
Ce qui nous donne :

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dB = μ
0
I
4π dlcosθ r
2
De plus nous avons : r= a
cosθ
et : l=HP
ത
ത
ത
ത
=atanθ ⇒ dl= a dθ
cos
ଶ
θ
En reportant dans l’expression du champ il vient :
dB=μ
0
I
4πcos
ଶ
θ
a
2
a dθ
cos
ଶ
θcosθ=μ
0
I
4π acosθdθ
La contribution de chaque tronçon du fil ayant la même direction nous pouvons sommer tout
au long du fil. Pour un segment de fil vu du point M entre les angles θ
1
et θ
2
nous avons :
B=μ
0
I
4π a(sinθ
2
−sinθ
1
)
Ce qui nous donne pour un fil infini (θ
1
= −π/2 et θ
2
= π/2) :
B=μ
0
I
2π a
C.2. Circulation du champ magnétique
Nous nous intéressons à la circulation du champ magnétique créé par un fil rectiligne infini le
long d’un parcours fermé (Γ). Choisissons un repère orthonormé direct (O,eሬ
Ԧ
x
,eሬ
Ԧ
y
,eሬ
Ԧ
z
) dont
l’origine O et le troisième axe sont portés par le fil. Dans le système de coordonnées
cylindriques associé à un point M hors du fil, le champ magnétique en ce point s’écrit
(notation de la figure 2 de l’annexe mathématique) :
B
ሬ
ሬ
Ԧ
=μ
0
I
2π aeሬ
Ԧ
θ
En coordonnées cylindriques tout déplacement élémentaire peut s’écrire :
dsԦอdr
a dθ
dz 
Ce qui nous donne pour la circulation infinitésimale du champ magnétique :
dࣝ=B
ሬ
ሬ
Ԧ
dsԦ=μ
0
I
2π aa dθ=μ
0
I
2πdθ

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La circulation du champ magnétique le long d’un parcours fermé quelconque (Γ) parcouru
dans le sens trigonométrique a donc pour expression :
ࣝ
୻
=μ
0
I
2πර dθ
(୻)
Si le chemin (Γ) entoure le fil l’angle θ parcours un intervalle de longueur 2π et l’intégrale
curviligne vaut naturellement 2π. Ce qui nous donne pour la circulation :
ࣝ
୻
=μ
0
I
Par contre si le chemin (Γ) n’entoure pas le fil l’intégrale curviligne est nulle et il en est de
même de la circulation du champ magnétique.
C.3. Théorème d’Ampère
Le résultat précédent peut se généraliser à un nombre quelconque de circuits de toutes formes.
La circulation le long d’un parcours fermé orienté (Γ) du champ magnétique créé par un
ensemble de courants est égale à la somme algébrique des intensités enlacées multipliée par la
perméabilité du vide µ
0
:
ර B
ሬ
ሬ
Ԧ
dlԦ
(Γ)
=μ
0
ඵ jԦ dSሬ
Ԧ
(S)
=μ
0
I
enlacée
L’intensité enlacée représente le flux des vecteurs courant au travers d’une surface orientée
(S) s’appuyant sur le contour (Γ). Les orientations du contour et de la surface doivent être
cohérentes (règle du tire-bouchon).
Le théorème d’Ampère joue en magnétostatique un rôle similaire au théorème de Gauss en
électrostatique.
D. Potentiel vecteur
D.1. Introduction
Soit un repère orthonormé direct (O,eሬ
Ԧ
௫
,eሬ
Ԧ
௬
,eሬ
Ԧ
௭
). Nous notons M(x, y, z) et P(X, Y, Z) les
coordonnées cartésiennes des points M et P. Avec ces notations, nous pouvons écrire pour
l’élément de courant d’un circuit filiforme i dlԦ et pour le vecteur rԦ=PM
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
:
dlԦอdX
dY
dZ  et rԦอx−X
y−Y
z−Z
Nous pouvons donc mettre le champ magnétique élémentaire sous la forme :