Magnétostatique du vide

Magnétostatique du vide
A. Introduction
Certaines manifestations de ce que nous appelons le magnétisme sont connues depuis
l’antiquité. Ce terme a pour origine la magnétite, un minerai trouvé dans la région de
Magnésie en Asie Mineure, qui possède une aimantation permanente. En particulier il a la
propriété d’attirer le fer. Les chinois ont été les premiers à l’utiliser pour réaliser des
boussoles.
On observe que les aimants ont deux pôles de natures différentes. D’autre part, deux pôles de
même nature se repoussent et deux pôles de natures différentes s’attirent. La terre peut être
considérée comme un aimant géant ce qui explique son action sur une boussole.
En 1820, Oersted mis en évidence l’action d’un courant électrique sur une boussole. L’étude
quantitative des effets magnétiques induits par les courants électriques fut ensuite entreprise
par Biot et Savart avant d’être formalisée par Laplace et Ampère.
Dans ce chapitre nous introduisons les lois gouvernant les champs magnétiques produits par
des courants permanents stationnaires : la magnétostatique.
B. Loi de Biot et Savart
Nous avons vu en électrostatique que l’action d’un champ électrique ሬEԦ sur un dipôle
électrostatique de moment dipolaire ሬpԦ peut être caractérisée par un couple :
ሬԦ
ሬԦ
C = ሬpԦ ∧ E
De même nous pouvons supposer l’existence d’un champ magnétique ሬBԦ qui permet de
caractériser l’action d’un aimant ou d’un courant électrique sur une boussole par un
couple que nous écrivons :
ሬԦ = ሬm
ሬԦ
C
ሬሬԦ ∧ B
où le vecteur ሬm
ሬሬԦ ne dépend que des caractéristiques de la boussole. Les travaux de Biot et
Savart reposaient sur la mesure de la période d’oscillation d’une boussole autour de sa
position d’équilibre. Celle-ci donnait l’orientation du champ magnétique et la période
d’oscillation son intensité. Leurs résultats peuvent se résumer dans une loi qui porte leur nom
que nous commençons par exprimer pour les circuits filiformes.
Considérons un courant d’intensité i circulant dans un conducteur filiforme. Un élément dlԦ de
ce circuit en un point P crée en tout point M, extérieur au circuit, un champ magnétique dont
l’intensité est proportionnelle à l’élément de courant dࣝԦ = i dlԦ et inversement proportionnelle
au carré de la distance r entre les points P et M. D’autre part ce champ est perpendiculaire au
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VII - 1
plan contenant les points P et M et l’élément de courant dࣝԦ. Ce qui peut se résumer sous la
forme :
i dlԦ ∧ ሬuԦ
ሬԦ(M) = K
dB
r2
où ሬuԦ est le vecteur unitaire dirigé de P vers M. La constante de proportionnalité K vaut :
K = 10−7 USI
Elle s’exprime également en fonction de la perméabilité du vide µ 0 :
K=
μ0
4π
Fig. 1 : Champ magnétique induit par un élément de courant.
Nous ne pouvons évidemment pas nous limiter à un élément de courant isolé. Il faut
considérer le champ magnétique créé par l’ensemble du circuit fermé (C) dans lequel circule
ce courant. En appliquant le principe de superposition, celui-ci s’obtient en sommant les
contributions élémentaires tout au long du circuit :
ሬBԦ(M) =
μ0
i dlԦ ∧ ሬuԦ
ර
4 π (େ) r 2
Dans le cas d’une densité volumique de courant, il faut considérer un tube de courant et
l’élément de courant s’écrit alors :
i = Ԧj dSሬԦ ⇒ dࣝԦ = Ԧj dSሬԦ dlԦ
Comme l’élément d’intégration dlԦ d’un tube de courant est parallèle au vecteur densité de
courant Ԧj, nous pouvons écrire :
dࣝԦ = Ԧj dτ
avec dτ = dSሬԦ dlԦ
L’expression du champ magnétique devient :
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VII - 2
ሬBԦ(M) =
en intégrant sur le volume (ࣰ) du circuit.
Ԧj ∧ ሬuԦ
μ0
ම
d߬
2
4π
(ࣰ) r
L’unité dans le système international du champ magnétique est le tesla (symbole : T). On
utilise souvent une autre unité, le gauss (G) ayant pour valeur : 1 G = 10−4 T.
C. Théorème d’Ampère
C.1. Champ magnétique induit par un fil rectiligne
Nous considérons un circuit filiforme constitué d’un fil rectiligne parcouru par un courant
ሬԦ créé par ce fil en un point M
d’intensité I. Nous nous intéressons au champ magnétique B
situé à une distance a.
Fig. 2 : Champ magnétique créé par un fil rectiligne.
Commençons par le champ élémentaire créé par un élément de courant, avec les notations de
la figure 2 nous avons :
μ I dlԦ ∧ ሬuԦ
ሬԦ = 0
dB
4π
r2
Ce vecteur est perpendiculaire au plan contenant le fil et le point M et a pour module :
Or :
Ce qui nous donne :
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dB =
μ0 I dl sin α
4π
r2
α = θ+
π
2
VII - 3
μ0 I dl cos θ
4π
r2
dB =
r=
De plus nous avons :
et :
തതതത = a tan θ
l = HP
a
cos θ
⇒
En reportant dans l’expression du champ il vient :
dB =
dl =
a dθ
cosଶ θ
μ0 I cosଶ θ a dθ
μ0 I
cos θ =
cos θ dθ
2
ଶ
4π a cos θ
4π a
La contribution de chaque tronçon du fil ayant la même direction nous pouvons sommer tout
au long du fil. Pour un segment de fil vu du point M entre les angles θ1 et θ2 nous avons :
B=
μ0 I
(sin θ2 − sin θ1 )
4π a
Ce qui nous donne pour un fil infini (θ1 = −π/2 et θ2 = π/2) :
B=
μ0 I
2π a
C.2. Circulation du champ magnétique
Nous nous intéressons à la circulation du champ magnétique créé par un fil rectiligne infini le
long d’un parcours fermé (Γ). Choisissons un repère orthonormé direct (O, eሬԦx , eሬԦy , eሬԦz ) dont
l’origine O et le troisième axe sont portés par le fil. Dans le système de coordonnées
cylindriques associé à un point M hors du fil, le champ magnétique en ce point s’écrit
(notation de la figure 2 de l’annexe mathématique) :
ሬԦ =
B
μ0 I
eሬԦ
2π a θ
En coordonnées cylindriques tout déplacement élémentaire peut s’écrire :
dsԦ dr
อa dθ
dz
Ce qui nous donne pour la circulation infinitésimale du champ magnétique :
dࣝ = ሬBԦ dsԦ =
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μ0 I
μ0 I
a dθ =
dθ
2π a
2π
VII - 4
La circulation du champ magnétique le long d’un parcours fermé quelconque (Γ) parcouru
dans le sens trigonométrique a donc pour expression :
ࣝ୻ =
μ0 I
ර dθ
2π (୻)
Si le chemin (Γ) entoure le fil l’angle θ parcours un intervalle de longueur 2π et l’intégrale
curviligne vaut naturellement 2π. Ce qui nous donne pour la circulation :
ࣝ୻ = μ0 I
Par contre si le chemin (Γ) n’entoure pas le fil l’intégrale curviligne est nulle et il en est de
même de la circulation du champ magnétique.
C.3. Théorème d’Ampère
Le résultat précédent peut se généraliser à un nombre quelconque de circuits de toutes formes.
La circulation le long d’un parcours fermé orienté (Γ) du champ magnétique créé par un
ensemble de courants est égale à la somme algébrique des intensités enlacées multipliée par la
perméabilité du vide µ0 :
ර ሬBԦ dlԦ = μ0 ඵ Ԧj dSሬԦ = μ0 Ienlacée
(Γ)
(S)
L’intensité enlacée représente le flux des vecteurs courant au travers d’une surface orientée
(S) s’appuyant sur le contour (Γ). Les orientations du contour et de la surface doivent être
cohérentes (règle du tire-bouchon).
Le théorème d’Ampère joue en magnétostatique un rôle similaire au théorème de Gauss en
électrostatique.
D. Potentiel vecteur
D.1. Introduction
Soit un repère orthonormé direct (O, eሬԦ௫ , eሬԦ௬ , eሬԦ௭ ). Nous notons M(x, y, z) et P(X, Y, Z) les
coordonnées cartésiennes des points M et P. Avec ces notations, nous pouvons écrire pour
l’élément de courant d’un circuit filiforme i dlԦ et pour le vecteur rԦ = ሬሬሬሬሬሬԦ
PM :
dlԦ dX
อdY dZ
et
rԦ x − X
อy − Y
z−Z
Nous pouvons donc mettre le champ magnétique élémentaire sous la forme :
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ሬԦ = K
dB
dY (z − Z) − dZ (y − Y)
i dlԦ ∧ rԦ
i
= K 3 ቮ dZ (x − X) − dX (z − Z) r3
r
dX (y − Y) − dY (x − X)
Par ailleurs calculons la dérivée partielle de 1/r par rapport à x :
Or :
߲ 1
1 ߲r
൬ ൰= − 2
߲x r
r ߲x
r 2 = (x − X)2 + (y − Y)2 + (z − Z)2
Ce qui nous donne :
De même nous avons :
⇒
߲ 1
1
൬ ൰ = − 3 (x − X)
߲x r
r
2r
߲r
= 2(x − X)
߲x
߲ 1
1
൬ ൰ = − 3 (y − Y)
߲y r
r
߲ 1
1
൬ ൰ = − 3 (z − Z)
߲z r
r
Ces termes apparaissent dans l’expression du champ magnétique, donc par substitution nous
pouvons écrire :
߲ 1
߲ 1
dY
൬ ൰ − dZ
൬ ൰
߲z
r
߲y
r
ተ
ሬԦ = − K i dZ ߲ ൬1൰ − dX ߲ ൬1൰ dB
߲x r
߲z r
ተ
߲ 1
߲ 1
dX
൬ ൰ − dY
൬ ൰
߲y r
߲x r
Nous pouvons y reconnaitre l’expression d’un rotationnel :
dlԦ
ሬԦ = K i rot
ሬሬሬሬሬԦ M ቆ ቇ
dB
r
Pour le champ créé par le circuit nous devons intégrer le long du circuit :
ሬBԦ = K i ර rot
ሬሬሬሬሬԦ M ቆ
P
dlԦ
ቇ
r
ሬԦ :
ሬԦ dérive d’un potentiel vecteur A
Le champ magnétique B
avec pour un circuit filiforme :
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ሬԦ = ∇
ሬBԦ = rot
ሬԦ ∧ ሬAԦ
ሬሬሬሬሬԦ A
ሬAԦ =
μ0
i dlԦ
ර
4π P r
VII - 6
Pour une densité volumique de courant le potentiel vecteur a pour expression :
ሬԦ =
A
Ԧj
μ0
ම
d߬
4 π (V) r
En fait cette solution n’est pas unique. Comme le rotationnel d’un gradient est nul, le potentiel
vecteur est défini à un gradient près :
∀ϕ
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ϕ൯ = rot
ሬԦ + grad
ሬԦ = B
ሬԦ
ሬሬሬሬሬԦ ൫A
ሬሬሬሬሬԦ A
rot
Le champ scalaire Φ est appelé fonction de jauge.
D.2. Jauge de Coulomb
Considérons le potentiel vecteur créé en un point M par un circuit linéique écrit sous la forme
trouvée dans le paragraphe précédent, sans gradient additionnel :
ሬAԦ =
μ0 i
dlԦ
ර
4π P r
Nous cherchons à calculer la divergence de ce potentiel vecteur.
Commençons par le potentiel vecteur infinitésimal créé au point M par un élément de courant
linéique situé en un point P du circuit. Nous écrivons ce potentiel sous la forme :
ሬԦ =
dA
μ0 i dlԦ
4π r
Calculons la divergence (au point M) de ce potentiel vecteur. Nous avons :
ሬԦ =
divM dA
Développons le dernier terme :
μ0 i
dlԦ
divM ቆ ቇ
4π
r
dlԦ
1
1
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ୑ ൬ ൰
divM ቆ ቇ = divM ൫dlԦ ൯ + dlԦ grad
r
r
r
Or dlԦ est indépendant des variables x, y et z, donc :
divM ൫dlԦ ൯ = 0
Si nous notons ሬuԦ le vecteur unitaire dirigé de P vers M nous avons :
1
1
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
grad୑ ൬ ൰ = − 2 ሬuԦ
r
r
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La fonction 1/r augmente lorsque M se "rapproche" de P, son gradient est donc dirigé vers P.
Nous pouvons également évaluer le gradient de la fonction 1/r au point P par rapport aux
variables X, Y et Z. Nous avons alors :
1
1
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ୔ ൬ ൰ =
grad
ሬuԦ
r
r2
1
1
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ୑ ൬ ൰ = −grad
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ୔ ൬ ൰
grad
r
r
Donc :
Nous pouvons donc écrire pour la divergence du potentiel vecteur infinitésimal :
ሬԦ = −
divM dA
μ0 i
1
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ୔ ൬ ൰ dlԦ
grad
4π
r
Revenons au potentiel vecteur créé par l’ensemble du circuit et à sa divergence. La linéarité
des relations utilisées nous permet d’écrire :
ሬAԦ = ර dA
ሬԦ
⇒
P
Ce qui nous donne :
ሬԦ = −
divM A
ሬԦ = ර divM dA
ሬԦ
divM A
P
μ0 i
1
ර ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
grad୔ ൬ ൰ dlԦ
r
4π P
La circulation d’un gradient le long d’un chemin fermé étant nulle nous avons :
ሬԦ = 0
divM A
Ce résultat est valable pour la forme utilisée pour exprimer le potentiel vecteur.
Nous avons vu que la définition du potentiel vecteur n’est pas unique. Parmi l’ensemble des
solutions possibles la solution particulière trouvée dans le paragraphe précédent correspond à
ce qu’on appelle la jauge de Coulomb définie par :
div ሬAԦ = 0
D.3. Potentiel vecteur et théorème d’Ampère
Dans le cas général d’une densité volumique de courant, le théorème d’Ampère permet de
relier la circulation du champ magnétique le long d’un contour fermé au flux du vecteur
courant au travers de toute surface s’appuyant sur ce contour :
ර ሬBԦ dlԦ = μ0 ඵ Ԧj dSሬԦ
(Γ)
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(S)
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Le théorème de Stokes permet de relier la circulation fermée d’un champ vectoriel au flux de
son rotationnel :
ሬԦ dSሬԦ
ሬሬሬሬሬԦ B
ර ሬBԦ dlԦ = ඵ rot
(Γ)
(S)
Par identification, le théorème d’Ampère étant valable pour tout contour fermé, nous obtenons
la forme locale du théorème d’Ampère :
ሬԦ = μ0 Ԧj
ሬሬሬሬሬԦ
rot B
Nous pouvons également développer le rotationnel du champ magnétique en faisant intervenir
le potentiel vecteur :
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ div ሬAԦ − ∆A
ሬԦ) = grad
ሬԦ
ሬԦ = rot
ሬሬሬሬሬԦ B
ሬሬሬሬሬԦ (rot
ሬሬሬሬሬԦ A
rot
L’équation locale du théorème d’Ampère devient donc pour le potentiel vecteur :
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬԦ = μ0 Ԧj
grad div ሬAԦ − ∆A
Dans le cas de la jauge de Coulomb nous avons :
ሬԦ + μ0 Ԧj = ሬԦ
∆A
0
E. Propriétés du champ magnétique
E.1. Champ à flux conservatif
ሬԦ :
ሬԦ dérive d’un potentiel vecteur A
Nous venons de voir que le champ magnétique B
ሬԦ
ሬBԦ = rot
ሬሬሬሬሬԦ A
Or la divergence d’un rotationnel est nulle, nous avons donc :
ሬԦ൯ = 0
div ሬBԦ = div൫ ሬሬሬሬሬԦ
rot A
Donc, d’après le théorème de Green, le flux du champ magnétique sortant de toute surface
fermée est nul :
ሬԦ dSሬԦ = ම div ሬBԦ dτ = 0
඾ B
(S)
(ࣰ)
Le champ magnétique est donc à flux conservatif.
Comme pour tout champ vectoriel nous pouvons définir des lignes et des tubes de champ. Les
lignes de champ magnétique sont des courbes en tout point tangentes au champ magnétique.
Les tubes de champ magnétique sont formés par l’ensemble des lignes de champ s’appuyant
sur un contour fermé.
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
VII - 9
Comme le champ magnétique est à flux conservatif son flux au travers de n’importe quelle
section d’un tube de champ est constant. En particulier les lignes de champ ne peuvent
converger (ou diverger) en un point : la section nulle en ce point imposerait une intensité
infinie du champ.
Dans le système international l’unité de flux magnétique est le weber (symbole : Wb) avec
pour définition :
1 Wb = 1 T⋅m2
E.2. Traversée d’une nappe de courant
Nous considérons une nappe de courant définie par une densité surfacique de courant ԦjS .
Localement nous pouvons assimiler ce courant surfacique à son plan tangent. Notons 1 et 2
les deux demi-espaces séparés par ce plan et ሬnԦ12 le vecteur normal dirigé de 1 vers 2. Nous
voulons comparer le champ magnétique de part et d’autre de la nappe de courant.
Commençons par étudier le flux du champ magnétique sortant d’un cylindre élémentaire tel
que présenté sur la figure suivante :
Fig. 3 : Cylindre élémentaire au travers d’une nappe de courant.
Les deux surfaces de base du cylindre sont choisies parallèles à la nappe de courant et situées
symétriquement dans les deux demi-espaces. Nous notons dS l’aire de ces surfaces. La
hauteur du cylindre est supposée négligeable, de manière à pouvoir négliger l’aire de la face
latérale du cylindre devant dS. Nous pouvons alors écrire le flux sortant de ce cylindre
élémentaire :
ሬԦ dSሬԦ = B
ሬԦ2 dS ሬnԦ12 − B
ሬԦ1 dS ሬnԦ12
඾ B
(஼)
Le champ magnétique étant à flux conservatif ce flux sortant est nul, donc :
ሬԦ2 − B
ሬԦ1 ) ሬnԦ12 = 0
(B
Il y a continuité de la composante normale du champ magnétique à la traversée d’une nappe
de courant. Pour étudier la composante tangentielle intéressons nous à la circulation du champ
magnétique le long d’un rectangle élémentaire présenté sur la figure 4.
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
VII - 10
La section de ce rectangle est perpendiculaire à la nappe de courant, ses grands côtés étant
parallèles à celle-ci et situés symétriquement dans les deux demi-espaces. La largeur ε de ce
rectangle est très petite (du deuxième ordre) devant sa longueur dl. Nous pouvons donc
négliger la contribution des petits côtés à la circulation du champ magnétique le long du
rectangle.
Fig. 4 : Parcours rectangulaire au travers d’une nappe de courant.
Avec les notations de la figure 4, l’application du théorème d’Ampère nous conduit à :
ሬBԦ1 dlԦ − B
ሬԦ2 dlԦ = μ0 ԦjS dl ሬnԦ
Le vecteur ሬnԦ est unitaire, orthogonal au parcours et orienté selon le sens de la circulation le
long du rectangle. Si nous choisissons dlԦ parallèle à ԦjS le terme de droite est nul. Il n’y a pas
de discontinuité de la composante tangentielle parallèle à la densité surfacique de courant. Par
contre si nous choisissons dlԦ perpendiculaire à ԦjS nous observons une discontinuité de la
composante tangentielle normale au vecteur densité surfacique de courant.
Pour préciser cette discontinuité travaillons dans un repère orthonormé direct ( eሬԦx , eሬԦy , eሬԦ௭ ) tel
que eሬԦx est parallèle à ԦjS et eሬԦz = ሬnԦ12 . Nous venons de constater qu’il n’y a pas de discontinuité
du champ magnétique le long des axes x et z. Choisissons un parcours parallèle à l’axe y :
Fig. 5 : Rectangle normal à courant surfacique.
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Avec les notations des figures 4 et 5 nous avons :
ԦjS = jS eሬԦx
Nous pouvons donc écrire :
Soit :
,
dlԦ = dl eሬԦy
et
ሬnԦ = eሬԦx
ሬԦ1 − B
ሬԦ2 ൯ dlԦ = ൫B1y − B2y ൯ dl = μ0 ԦjS dl ሬnԦ = μ0 jS dl
൫B
Nous avons donc :
B1y − B2y = μ0 jS
ሬԦ1 − B
ሬԦ2 = μ0 jS eሬԦy
B
Cette discontinuité est normale aux vecteurs ԦjS et ሬnԦ12 . Nous pouvons la comparer à leur
produit vectoriel :
ԦjS ∧ ሬnԦ12 = jS eሬԦx ∧ eሬԦz = −jS eሬԦy
Nous pouvons donc écrire :
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ሬBԦ2 − B
ሬԦ1 = μ0 ԦjS ∧ ሬnԦ12
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