Chapitre 3 : Dérivation et continuité

1 DÉRIVATION D’UNE FONCTION
Chapitre 3 : Dérivation et continuité
1 Dérivation d’une fonction
1.1 Nombre dérivé de fen aet fonction dérivée
Définition 1
Soit fune fonction définie sur un intervalle ouvert I de R,aet xdes réels appartenant à I et hun réel différent de 0 tel que
a+h∈I.
fest dite dérivable en asi l’une des conditions équivalentes suivantes est réalisée :
• le rapport f(a+h)−f(a)
hadmet une limite finie quand htend vers 0.
• le rapport f(x)−f(a)
x−aadmet une limite finie quand xtend vers a.
Cette limite est le nombre dérivé de fen a, elle est notée f′(a).Ainsi on a :
lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h=f′(a) et lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a=f′(a)
Si fest dérivable en tout point xd’un intervalle ouvert I, on dit que fest dérivable sur I, et on appelle fonction dérivée de f,
notée f′, la fonction qui à chaque x∈I associe f′(x).
Définition 2
Soit fune fonction définie sur un intervalle ouvert I de Ret soit aun réel appartenant à I.On note Cfla courbe de fdans un
repère du plan.
Si fest dérivable en a, la droite passant par le point M¡a;f(a)¢de Cfet de coefficient directeur f′(a) est appelée tangente à Cf
en M.
Une équation cartésienne de cette tangente en M est : y=f′(a)(x−a)+f(a).
FIGURE 1 – Tangente en A¡0,5; f(0,5)¢à la courbe de la fonction f:x7→−x2+2x
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1.1 Nombre dérivé de f en a et fonction dérivée 1 DÉRIVATION D’UNE FONCTION
Propriété 1 Approximation affine
Soit fune fonction définie sur un intervalle ouvert I de Ret soit aun réel appartenant à I. fest dérivable en a∈I si et seulement
s’il existe une fonction εtelle que pour tout réel x∈I, on ait :
f(x)=f(a)+(x−a)×f′(a)+(x−a)×ε(x) avec lim
x→aε(x)=0
La fonction définie sur I par ϕ:x7→ f(a)+(x−a)×f′(a) est l’approximation affine d’ordre 1 de fau voisinage de a.
Exemple 1
Soit fla fonction définie sur ·−1
2;+∞·par f(x)=p1+2x.
1. Démontrer que fest dérivable en 3 et déterminer f′(3).
2. En déduire une approximation affine de f¡3+10−10¢, comparer avec la valeur approchée donnée par la calculatrice (on com-
parera celle-ci avec la valeur qu’elle donne pour p7 puis on lui fera évaluer f¡3+10−10¢−p7).
Exemple 2
Sur la figure ci-dessous, Cfest la courbe représentative d’une fonction fdérivable sur R. Les droites d1,d2,d3et d4sont tangentes
à la courbe Cf.
1
2
3
4
5
6
7
−1
−2
−3
−4
12345−1−2−3−4−5−6−7−80x
y
d1
d2
d3
d4
Cf
B
A
1. Déterminer graphiquement f(−4), f(−2) et f(2).
2. Déterminer graphiquement les nombres dérivés f′(−4) et f′(2).
3. La tangente à la courbe Cfau point Ad’abscisse −2 passe par l’origine du repère. Déterminer f′(−2).
4. La tangente Tà la courbe Cfau point Bµ−6; 8
3¶est parallèle à la droite d4. Déterminer f′(−6) puis, donner une équation de
la tangente Tà la courbe au point B. Tracer cette droite sur le graphique précédent.
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2 FONCTIONS DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS
2 Fonctions dérivées et opérations
2.1 Dérivées des fonctions usuelles
f est une fonction dérivable sur Dpar rapport à la variable x
Fonction fFonction dérivée f′Ensemble Dde dérivabilité de f
f(x)=pavec p∈Rf′(x)=0R
f(x)=mx +pavec (m,p)∈R×Rf′(x)=mR
f(x)=x2f′(x)=2xR
f(x)=xnavec n∈Nf′(x)=nxn−1R
f(x)=1
xf′(x)=−1 x2R\{0}
f(x)=1
xnavec n∈Nf′(x)=− n xn+1R\{0}
f(x)=px f ′(x)=1
2px]0; +∞[
f(x)=sinx f ′(x)=cosxR
f(x)=cosx f ′(x)=−sin xR
TABLE 1 – Dérivées des fonctions usuelles (à compléter en cours d’année)
2.2 Règles opératoires sur les dérivées
Soient u et v deux fonctions dérivables par rapport à la variable x sur un intervalle ouvert I
Opération sur uet v,f=Fonction dérivée f′=Ensemble de dérivabilité de f
u+v u′+v′I
λuavec λ∈Rλu′I
uv u′v+uv′I
1
v−v′ v2I privé des réels xtels que v(x)=0
u
v
u′v−uv′
v2I privé des réels xtels que v(x)=0
TABLE 2 – Opérations algébriques sur les fonctions dérivables
Propriété 2 Conséquence des régles opératoires
• Les fonctions polynômes sont dérivables sur R.
• Les fonctions rationnelles sont dérivables sur tout intervalle où elles sont définies.
Exemple 3
Soient les fonctions f,g,het mdéfinies sur ]0; +∞[par :
f(x)=2x3
5−4x2+7x−6g(x)=4xpx h(x)=cos x 2+sinxm(x)=x2+x+2 x2+2
Justifier que ces fonctions sont dérivables sur ]0; +∞[et calculer leurs fonctions dérivées.
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2.3 Dérivée d’une fonction composée, compléments 2 FONCTIONS DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS
2.3 Dérivée d’une fonction composée, compléments
Propriété 3
• Si uest une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction puest dérivable sur I et
¡pu¢′=u′
2pu
• Soit nun entier relatif non nul, si uest une fonction dérivable sur un intervalle I et ne s’annulant pas sur I si n<0, alors
la fonction unest dérivable sur I et ¡un¢′=nu′un−1.
Propriété 4 Généralisation, propriété admise
Soit uest une fonction dérivable sur un intervalle I et fune fonction dérivable en u(x)pour tout xappartenant à I, alors la
fonction composée g:x7→ f(u(x)) est dérivable sur I et on a :
∀x∈I,g′(x)=u′(x)×f′(u(x))
Corollaire
Soit une fonction affine u:x7→ ax +bet fune fonction dérivable sur un intervalle J et I est un intervalle tel que pour tout x∈I
on a u(x)=ax +b∈J.
La fonction gdéfinie sur I par g(x)=f(ax +b)est dérivable sur I et pour tout réel x∈I,g′(x)=a f ′(ax +b).
Preuve : Preuve du corollaire, voir manuel page 104
Exemple 4
1. Soient les fonctions f,g,het mdéfinies sur ]0; +∞[par :
f(x)=¡3x−1+x2¢3g(x)=px4+1h(x)=5
¡3x3+4¢4m(x)=r1+1
x
Justifier que ces fonctions sont dérivables sur ]0; +∞[et calculer leurs fonctions dérivées.
2. Soit fune fonction dérivable sur Rde dérivée f′.
Soient get hles fonctions définies sur Rpar g(x)=f(3x+1) et h(x)=f(−x).
a. Justifier que get hsont dérivables sur R. Pour xréel, exprimer g′(x) et h′(x) à l’aide de f′(x).
b. Pour tout réel xon donne f′(x)=1
px2+1, en déduire g′(x) et h′(x) en fonction de x.
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3 FONCTION DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION
3 Fonction dérivée et sens de variation
3.1 Lien entre signe de f′et variations de f
Théorème 1
Soit fune fonction monotone et dérivable sur un intervalle I de R.
• Si fest constante sur I alors pour tout x∈I on a f′(x)=0.
• Si fest croissante sur I alors pour tout x∈I on a f′(x)Ê0.
• Si fest décroissante sur I alors pour tout x∈I on a f′(x)É0.
Théorème 2
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle I de R.
• Si f′est nulle sur I alors fest constante sur I.
• Si f′strictement positive sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule alors fest strictement
croissante sur I.
• Si f′strictement négative sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule alors fest strictement
décroissante sur I.
Exemple 5 Métropole juin 2012
Le plan est muni d’un repère orthonormé ³O, −→ ı,−→ ´.
On considère une fonction fdérivable sur l’intervalle [−3 ; 2].
On dispose des informations suivantes :
•f(0) =−1.
•la dérivée f′de la fonction fadmet la courbe représentative D′ci -dessous.
D′
−→
ı
−→
O
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Pour tout réel xde l’intervalle [−3,−1], f′(x)É0.
2. La fonction fest croissante sur l’intervalle [−1 ; 2].
3. Pour tout réel xde l’intervalle [−3 ; 2], f(x)Ê−1.
4. Soit Cla courbe représentative de la fonction f.
La tangente à la courbe Cau point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1; 0).
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