OSP 05 : Théorème d'Ampère (Magnétostatique) Le théorème d'Ampère met en évidence des liens entre champs magnétiques et courants continus. Ces liens ont été mis en évidence grâce aux expériences suivantes : 1- La force magnétique Lorsqu'un courant I constant parcourt le fil électrique, la boussole change son orientation. Le courant parcourant le fil crée un champ magnétique qui vient se superposer au champ magnétique terrestre et change l'orientation de l'aiguille de la boussole. L'aiguille s'aligne avec le nouveau champ magnétique. Puisque l'aiguille bouge c'est qu'une force F' Figure 1 : Expérience s'exerce sur elle. Le principe d'action et de réaction d'Oersted : L'aiguille permet de concevoir une expérience de l'aimant dévie complémentaire : lorsqu'un courant Si une force s'exerce sur la boussole et que la cause parcourt un fil électrique placé à de ce phénomène vient du fil parcourut par un proximité courant, alors une force opposée F doit s'exercer aussi sur le fil. Figure 2: 2ème Pour mettre en évidence la force exercée sur le fil expérience d'Oersted: parcourut par un courant, il est soumis au champ Un aimant placé sous magnétique provoqué par un aimant. le fil parcourut par un Le fil se déplace latéralement mettant en évidence courant I, provoque une force perpendiculaire à la fois au champ un déplacement ⃗ latéral du fil. Les magnétique B et au sens du courant I. charges dans le fil subissent une force. Soit ⃗v la vitesse indiquant la direction des électrons ⃗ . de ce courant I, et étant donné la direction des différents vecteurs, la force F est orientée suivant ⃗v ∧B ⃗ F =q . ⃗ v∧⃗ B Puisque F augmente avec le courant I et donc avec la quantité de charge q : Lorsqu'à cette force on ajoute la force de Coulomb vue précédemment, on obtient la force de Lorentz: ⃗ ⃗ magnétique =q . ( ⃗ ⃗) F Lorentz = ⃗ F Coulomb + F E +⃗ v ∧B 2- Représentation du champ magnétique Pour savoir comment varie le champ magnétique B dans l'espace autour du fil parcouru par un courant constant on peut promener la boussole et l'orientation de l'aiguille permet de repérer la direction du champ magnétique produit par le fil: - L'effet diminue lorsqu'on s'éloigne du fil parcouru par le courant. - La symétrie de révolution du système permet d'obtenir une représentation du champ magnétique dans un plan perpendiculaire au fil. figure 3: - Les trois directions suivantes 1- le sens du courant I, 2- l'axe OM, 3-le champ magnétique B, forment un trièdre direct (Règle des 3 doigts). - Par symétrie de révolution, le cercle de Centre O passant par M est une ligne de champ magnétique. Le champ B est tangent à la ligne de champ en tout point du cercle. 3- Circulation Le fait que les lignes de champ magnétique se referment sur elles mêmes figure 4 figure 5 est une indication intéressante. Ici, elles sont centrées sur O l'endroit ou passe dans le plan, le fil parcouru par un courant I. Or le fil est justement la cause du champ magnétique. On peut donc dire que le courant I parcourant le fil provoque le "tourbillon" de champ magnétique. Réciproquement si on détecte un tourbillon de champ magnétique c'est qu'un courant l'aura provoqué : Tourbillon( ⃗ B )⇔ I Pour des cas plus compliqués et moins évident que celui-ci il faut pouvoir calculer la présence d'un "tourbillon". La "détection" d'un "tourbillon" utilise l'outil mathématique appelé "circulation". Pour comprendre la circulation on peut prendre l'analogie suivante : Supposons que nous considérions un champ de vitesses qui décrit l'écoulement d'un liquide (figure 6a :les vitesses des particules d'eau dans un ruisseau turbulent). Nous pourrions nous poser la question : Le liquide circule-t-il ? C'est-à-dire : Y a-t-il un mouvement de rotation global le long d'une boucle donnée ? (voir figure 6b). Supposons qu'à un instant donné on solidifie le liquide sauf dans un tube de section constante qui forme une boucle fermée le long de ; A l'extérieur du tube le liquide s'arrête mais à l'intérieur du tube il peut continuer de se déplacer grâce à son impulsion – c'est-à-dire si l'impulsion dans un sens est plus grande que dans l'autre sens(voir figure 6c). Il faut donc calculer pour chaque portion de tube de longueur l une quantité qui tient compte à la fois du volume de liquide dans la portion du tube et de la vitesse ⃗v de chaque portion d'eau de ce tube en prenant en compte le sens de rotation. Pour chaque segments l Il faut donc tenir compte de la projection de la vitesse ⃗v sur la tangente à la trajectoire. (si il y a un sens de rotation positif le long de alors l est orienté et devient ⃗ Δl ce qui permet avec un produit scalaire avec ⃗v de tenir compte du sens de rotation). ⃗v⋅⃗ dl En faisant la somme de toutes ces portions on obtient un bilan qui indique s'il y a plus d'impulsion dans un sens de rotation que dans l'autre. On définit donc la circulation d'un vecteur ⃗v sur une portion de contour AB de la façon suivante : dl ∫ ⃗v⋅⃗ Figure 6 dl La circulation d'un contour fermé (trajet fermé sur lui-même A=B) s'écrit: ∮ ⃗v⋅⃗ Avec cet indicateur mathématique nous pouvons calculer l'existence de tourbillon du champ magnétique B et les relier au courant I qui leur donne naissance. Figure 7 4- Théorème d'Ampère Le théorème d'Ampère relie justement la circulation du champ magnétique B avec le courant : ∮ Γcontourfermé ⃗ B⋅⃗ dl =μ 0 . I I est le courant qui traverse la surface s'appuyant sur le contour fermé . Dl est un élément de longueur infinitésimal du contour . Lorsque plusieurs fils parcourus par plusieurs courants traversent la surface qui s'appuie sur , on généralise le théorème d'Ampère : ∮ Γ : contour fermé ⃗ B⋅⃗ dl =μ0 . ∑ courant traversant la surface qui s I 'appuie sur Γ On le généralise encore plus en considérant ⃗j la densité de courant par unité de surface ⃗ ds qui est relié au ⃗ ⃗ courant par : I= ∬ j⋅ds , ce qui donne : sec tion ∮ Γ : contour fermé ⃗ B⋅⃗ dl =μ 0 . ∬ la surface 'appuie qui s ⃗j⋅⃗ ds sur Γ μ0 est un coefficient de proportionnalité. Il a pour nom perméabilité du vide (4. 10-7H/m)