OSP 05 : Théorème d`Ampère

OSP 05 : Théorème d'Ampère (Magnétostatique)
Le théorème d'Ampère met en évidence des liens entre champs magnétiques et courants continus. Ces liens ont
été mis en évidence grâce aux expériences suivantes :
1- La force magnétique
Lorsqu'un courant I constant parcourt le fil électrique, la boussole change son orientation. Le courant
parcourant le fil crée un champ magnétique qui vient se superposer au champ magnétique terrestre et change
l'orientation de l'aiguille de la boussole. L'aiguille s'aligne avec le nouveau champ magnétique.
Puisque l'aiguille bouge c'est qu'une force F'
s'exerce sur elle. Le principe d'action et de réaction
permet de concevoir une expérience
complémentaire :
Si une force s'exerce sur la boussole et que la cause
de ce phénomène vient du fil parcourut par un
courant, alors une force opposée F doit s'exercer
aussi sur le fil.
Figure 1 : Expérience
d'Oersted : L'aiguille
de l'aimant dévie
lorsqu'un courant
parcourt un fil
électrique placé à
proximité
Pour mettre en évidence la force exercée sur le fil
parcourut par un courant, il est soumis au champ
magnétique provoqué par un aimant.
Le fil se déplace latéralement mettant en évidence
une force perpendiculaire à la fois au champ
magnétique
B
⃗
et au sens du courant I.
Soit
⃗v
la vitesse indiquant la direction des électrons
Figure 2: 2ème
expérience d'Oersted:
Un aimant placé sous
le fil parcourut par un
courant I, provoque
un déplacement
latéral du fil. Les
charges dans le fil
subissent une force.
de ce courant I, et étant donné la direction des différents vecteurs, la force F est orientée suivant
⃗v∧⃗ B
.
Puisque F augmente avec le courant I et donc avec la quantité de charge q :
⃗
F =q .⃗v∧⃗ B
Lorsqu'à cette force on ajoute la force de Coulomb vue précédemment, on obtient la force de Lorentz:
⃗
FLorentz=⃗ FCoulomb+⃗ Fmagnétique =q . (
⃗
E+⃗v∧⃗ B )
2- Représentation du champ magnétique
Pour savoir comment varie le champ magnétique B dans l'espace autour du
fil parcouru par un courant constant on peut promener la boussole et
l'orientation de l'aiguille permet de repérer la direction du champ
magnétique produit par le fil:
- L'effet diminue lorsqu'on s'éloigne du fil parcouru par le courant.
- La symétrie de révolution du système permet d'obtenir une représentation
du champ magnétique dans un plan perpendiculaire au fil. figure 3:
- Les trois directions suivantes 1- le sens du courant I, 2- l'axe OM, 3-le
champ magnétique B, forment un trièdre direct (Règle des 3 doigts).
- Par symétrie de révolution, le cercle de Centre O passant par M est une
ligne de champ magnétique. Le champ B est tangent à la ligne de champ
en tout point du cercle.
3- Circulation
Le fait que les lignes de champ magnétique se referment sur elles mêmes figure 4  figure 5 
est une indication intéressante. Ici, elles sont centrées sur O l'endroit ou
passe dans le plan, le fil parcouru par un courant I. Or le fil est justement la
cause du champ magnétique. On peut donc dire que le courant I parcourant
le fil provoque le "tourbillon" de champ magnétique. Réciproquement si
on détecte un tourbillon de champ magnétique c'est qu'un courant l'aura
provoqué :
Tourbillon(⃗ B)⇔ I
Pour des cas plus compliqués et moins évident que celui-ci il faut pouvoir
calculer la présence d'un "tourbillon". La "détection" d'un "tourbillon"
utilise l'outil mathématique appelé "circulation".

Pour comprendre la circulation on peut prendre l'analogie suivante :
Supposons que nous considérions un champ de vitesses qui décrit
l'écoulement d'un liquide (figure 6a :les vitesses des particules d'eau dans
un ruisseau turbulent). Nous pourrions nous poser la question : Le liquide
circule-t-il ? C'est-à-dire : Y a-t-il un mouvement de rotation global le
long d'une boucle donnée  ? (voir figure 6b). Supposons qu'à un instant
donné on solidifie le liquide sauf dans un tube de section constante qui
forme une boucle fermée le long de ; A l'extérieur du tube le liquide
s'arrête mais à l'intérieur du tube il peut continuer de se déplacer grâce à
son impulsion – c'est-à-dire si l'impulsion dans un sens est plus grande
que dans l'autre sens(voir figure 6c).
Il faut donc calculer pour chaque portion de tube de longueur l une
quantité qui tient compte à la fois du volume de liquide dans la portion du
tube et de la vitesse
⃗v
de chaque portion d'eau de ce tube en prenant en
compte le sens de rotation. Pour chaque segments l Il faut donc tenir
compte de la projection de la vitesse
⃗v
sur la tangente à la trajectoire. (si
il y a un sens de rotation positif le long de  alors l est orienté et devient
⃗
Δl
ce qui permet avec un produit scalaire avec
⃗v
de tenir compte du
sens de rotation).
⃗v⋅
⃗
dl
En faisant la somme de toutes ces portions on obtient un bilan qui
indique s'il y a plus d'impulsion dans un sens de rotation que dans l'autre.
On définit donc la circulation d'un vecteur
⃗v
sur une portion de contour
AB de la façon suivante : Figure 6
∫⃗v⋅
⃗
dl
La circulation d'un contour fermé  (trajet fermé sur lui-même A=B) s'écrit:
∮⃗v⋅
⃗
dl
Avec cet indicateur mathématique nous pouvons calculer l'existence de tourbillon du champ magnétique B et
les relier au courant I qui leur donne naissance.
4- Théorème d'Ampère
Le théorème d'Ampère relie justement la circulation du champ
magnétique B avec le courant :
∮
Γcontourfermé
⃗
B⋅
⃗
dl =μ0.I
I est le courant qui traverse la surface s'appuyant sur le contour fermé .
Dl est un élément de longueur infinitésimal du contour .
Lorsque plusieurs fils parcourus par plusieurs courants traversent la
surface qui s'appuie sur , on généralise le théorème d'Ampère :
∮
Γ:contourfermé
⃗
B⋅
⃗
dl =μ0.∑
courant traversant lasurfacequis 'appuiesurΓ
I
Figure 7
On le généralise encore plus en considérant
⃗
j
la densité de courant par unité de surface
⃗
ds
qui est relié au
courant par :
I= ∬
sec tion
⃗
j⋅
⃗
ds
, ce qui donne :
∮
Γ:contourfermé
⃗
B⋅
⃗
dl =μ0.∬
lasurfacequi s 'appuiesurΓ
⃗
j⋅
⃗
ds
μ0
est un coefficient de proportionnalité. Il a pour nom perméabilité du vide (4. 10-7H/m)