Ecoulements transsoniques bidimensionnels autour du profil

LIN
Laboratory of Computational Engineering
Ecoulements transsoniques
bidimensionnels
autour du pro…l NACA0012
Projet Génie Mécanique I, 6eme Semestre
Michael Meier
Philipp Jenny
Lausanne, 16 Juin 2005
Responsable : Dr. Alain Drotz, Jean-Eustache Prénat
Contents
1 Introduction
3
2 Eléments théoriques
2.1 Calcul des coe¢ cients de trainée, de portance et du moment . . .
2.1.1 Dé…nition de Cl , Cd et Cm . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Calcul analytique de Cl , Cd et Cm . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Méthode alternative pour directement calculer la force
(Balsius) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Méthode des petites perturbations [19] . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Equations de perturbation pour un écoulement parallèle
et homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Domaine subsonique M a . 0:8 . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Domaine transsonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Domaine supersonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Pro…l NACA0012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Paramétrisation [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Elément de surface, vecteur normale . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4
8
10
11
11
13
13
13
13
14
15
3 Code Matlab
3.1 Abstraction . . . . . . . . . . . .
3.2 Code générique . . . . . . . . . .
3.2.1 projet.m . . . . . . . . .
3.2.2 charger.m . . . . . . . .
3.2.3 trier.m . . . . . . . . . .
3.2.4 echange.m . . . . . . . .
3.2.5 prop_ecoulement.m . . .
3.2.6 calcF_app_lin.m . . . .
3.2.7 Remarque . . . . . . . . .
3.3 Code spéci…que pour NACA0012
3.3.1 Exemple d’a¢ chage . . .
3.3.2 calcF_NACA_long_pres.m
3.3.3 lancer.m . . . . . . . . .
3.4 Di¢ cultés rencontrées . . . . . .
7
8
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23
25
25
25
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29
30
4 Visualisations de l’écoulement autour NACA0012 (vidéo)
4.1 Evolution des di¤érentes régimes, chocs . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Phase 1 : écoulement subsonique . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Phase 2 : écoulement critique . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Phase 3 : chocs droits . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Phase 4 : chocs obliques . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Phase 5 : Choc de décélération . . . . . . . . . . . . .
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5 Evolution du coe¢ cient de portance,
fonction du nombre de Mach
5.1 Coe¢ cient de traînée . . . . . . . . .
5.2 Coe¢ cient de portance . . . . . . . .
5.3 Coe¢ cient du moment . . . . . . . .
de traînée du moment en
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
6 Véri…caitons des résultats expérimentaux de Wombat
6.1 Relations théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Image 1 : angle attaque = 7, nombre de Mach = 0.8 . . . . .
6.2.1 Mesure expérimentale I (2 ra¢ nements) . . . . . . . .
6.2.2 Mesure expérimentale II (4 ra¢ nements) . . . . . . .
6.2.3 Mesure expérimentale III (1 ra¢ nement) . . . . . . .
6.3 Image 2 : angle attaque = 0, Nombre de Mach = 1.1 . . . . .
6.3.1 Mesure expérimentale I (2 ra¢ nements) . . . . . . . .
6.3.2 Mesure expérimentale II (4 ra¢ nements) . . . . . . .
6.4 Image 3 : angle attaque = 0, Nombre de Mach = 3.0 . . . . .
6.4.1 Mesure expérimentale I (2 ra¢ nements, choc droit) . .
6.4.2 Mesure expérimentale II (2 ra¢ nements, choc oblique)
7 Conclusion
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58
61
62
2
1
Introduction
Le but principal de ce projet de sixième semestre est d’étudier les écoulements
transsoniques autour du pro…l NACA0012. Le projet était proposé en relation
avec le cours sur les ‡uides compressibles de M.Drotz qui nous a accompagnés
pour ce projet. Vu que des notions fondamentales n’étaient pas encore connues
tout au début de ce semestre, le projet était étendu seulement sur les dernières
dix semaines, pendant lesquelles nous avons au fur et à mesure appliqué les
nouvelles connaissances. Pendant les premières quatre semaines un cours sur
l’utilisation des moyens de la bibliothèque nous a familiarisés avec la procédure
d’une recherche bibliographique. Dans le cadre d’une coproduction avec d’autres
groupes de projet guidés par M. Drotz nous avons rédigé au début du semestre
un rapport sur les aspects aérodynamique basiques des avions.
Notre projet fait partie du projet de section sur le « Smart-Fish » , dont
le dé… principal est de battre le record de vitesse pour les avions modèle. En
visant à battre le recors de vitesse en a forcément a¤aire à des écoulements
transsoniques et à des phénomènes liés aux chocs sans que l’avion dépasse la
vitesse sonique. Ceci est précisément le lien de notre projet avec le « SmartFish» .
Nous avons principalement étudié les e¤ets du passage transsonique sur la
pression et les forces qui en résultent sur le pro…l. Nous avons notamment interprété et calculé avec un code MATLAB l’évolution des coe¢ cients de portance,
de traînée et du moment en fonction du nombre de Mach pour deux angles
d’attaque. Le pro…l du « Smart-Fish » est bien plus compliqué qu’un pro…l
NACA0012, nos résultats permettent donc uniquement d’estimer les problèmes
associés au passage transsonique et d’en faire des descriptions qualitatives.
Pour visualiser le passage transsonique, nous avons assemblé une vidéo qui
montre l’évolution du champ de pression autour du pro…l NACA0012. Pour
montrer les e¤ets de l’angle d’attaque, on a fabriqué cette vidéo pour deux
angles d’attaque.
Le logiciel utilisé pour e¤ectuer tous les calculs nécessaires nous avons utilisé
Wombat, la visualisation des champs pour la vidéo est faite avec Wombat Field
Viewer. Nous terminons le rapport avec quelques calculs de choc pour comparer
les résultats numériques avec les relations théoriques
2
2.1
2.1.1
Eléments théoriques
Calcul des coe¢ cients de trainée, de portance et du
moment
Dé…nition de Cl , Cd et Cm
Par dé…nition, la force de portance est la composante de la force totale appliquée
sur le pro…l qui est dirigée perpendiculairement à l’horizontale. La trainée est la
force de résistance à l’avancement dans la direction horizontale. Le coe¢ cient
de portance et le coe¢ cient de trainée sont des adimensionalisations de la force
3
de portance et de la force de trainée. Ils sont dé…nis de la manière suivante
(référence pour le calcul).
Coe¢ cient de portance
Cl =
Fport:e
1
2
2 1 u1 L
=
Cd =
Ftrainee
1
2
2 1 u1 L
=
1
2
Fport:
2 L
p 1 M1
(1)
Ftrainee
2 L
p 1 M1
(2)
Coe¢ cient de trainée
1
2
Dans ces expressions L est la corde du pro…l pendant que toutes les grandeurs
avec une indice 1 se réfèrent à des grandeurs su¢ samment loin à l’amont du
pro…l.
Ils existent deux types de trainée: La trainée de forme et la trainée à cause de
la viscosité du ‡uide. Dans notre cas avec un calcul sur la base des écoulements
d’Euler nous n’avons qu’a¤aire à la trainée de forme, car les relations d’Euler
ne tiennent pas compte de la viscosité. Pour plus de détails voir § 5 qui analyse
les coe¢ cients de trainée en fonction du nombre de Mach.
D’une façon analogue on dé…nit le coe¢ cient du moment:
Cm =
ML=4
1
2
2
2 1 u1 L
=
1
2
ML=4
2 L2
p 1 M1
(3)
Le moment est calculé par rapport au point qui se trouve par dé…nition.sur
la corde et 25% du bord d’attaque.
2.1.2
Calcul analytique de Cl , Cd et Cm
La méthode pour le calcul des coe¢ cients de trainée, de portance et du moment
sur la base des résultats du calcul numérique de Wombat est expliquée dans
la partie qui présente le code Matlab. Il existe une méthode analytique pour
arriver à ce calcul, bien sur beaucoup plus compliqué et exigeante sur le niveau
mathématique. Pour la méthode analytique on commence avec l’équation de
continuité et l’équation de la quantité de mouvement comme point de départ.
Tout le développement serait fait en trois dimensions, car à la …n il su¢ t de
supprimer tous les dérivés par rapport à z et le composantes z des vecteurs pour
trouver les formules qui s’appliquent au pro…l en deux dimensions.
L’équation de la conservation de la masse s’écrit sous forme intégrale
ZZZ
ZZ
!
@
dV +
~v dS = 0
(4)
@t
ou sous forme locale en appliquant le théorème de la divergence :
@
+ r ( ~v ) = 0
@t
L’équation de la conservation de la quantité de mouvement s’écrit:
4
@
@t
ZZZ
~v dV +
ZZ
ZZ
!
~v dS ~v =
!
pdS +
ZZ
!
dS +
ZZZ
f~dV
(5)
ou sous forme locale en appliquant le théorème de la divergence et un
théorème vectoriel pour le produit dyadique:
!
@ ~v
+ r ( ~v ~v ) = rp + r ~ + f~
@t
Dans le cas du calcul autour du pro…l NACA0012 on fait l’hypothèse qu’il
s’agit d’un ‡uide non-visqueux sans e¤ort forces volumique (gravité négligée),
l’équation de la quantité de mouvement devient l’équation d’Euler :
@ ~v
+ r ( ~v ~v ) = rp
(6)
@t
qui peut être simpli…é après réécriture du produit dyadique avec la conservation de la masse et la dérivé totale pour arriver à l’écriture la plus condensée
de l’équation d’Euler:
D~v
= rp
Dt
Pour trouver la le champ de pression autour le pro…l on a besoin de la relation
de Bernoulli qui lie la pression avec le champ de la vitesse qu’on suppose connu.
La vitesse le long du pro…l pourrait par exemple être calculée avec la méthode
des panneaux. Pour trouver la relation de Bernoulli on commence avec les
modi…cations suivantes:
D~v
=
Dt
@~v
+ (~v r) ~v
@t
=
@~v
~ ~v ~v
+ r
@t
2
~v
~
r
~v
~ =0
+ rp
après réarrangement des termes:
@~v ~ ~v ~v
+r
@t
2
+
~
rp
~
=r
!
~
En multipliant cette équation de gauche par un vecteur unitaire !
ec d’une
trajectoire arbitraire c,
"
#
~
~
v
~
v
rp
@~
v
!
~
~ !
+r
+
=!
ec r
~
ec
@t
2
on obtient la relation de Bernoulli:
Z
Z
@~v ! ~v ~v
dp
!
~
ec r
dc +
+
=!
ec
@t
2
ou:
5
~
r
!
~
(7)
Z
@~v ! ~v ~v
dc +
+
@t
2
Z
dp
(8)
!
~ B = 0 est
ec r
véri…ée, la fonction de Bernoulli reste constante le long de la courbe c, dont !
ec
est le vecteur unitaire. Pour que cette condition soit véri…ée il faut que
est la fonction de Bernoulli, notée B. Si la condition
!
ec
~
r
!
~ =0
En traduisant cette condition on trouve que la fonction de Bernoulli reste
constante si une des trois conditions, suivantes est véri…ée :
(1) si !
ec k~v ()
c est une ligne de courant
!
(2) si ec k~
! ()
c est une ligne de tourbillon
(3) si j~
!j
=
0 partout () c arbitraire
Pour calculer les coe¢ cients de trainée, de portance et du moment on s’intéresse
à la pression le long de la paroi. Dans le cadre de ce projet et du programme
Wombat on fait des calculs pour un écoulement Eulérien. Il n’y a donc pas de
couches limites, la paroi est donc elle-même une ligne de courant. La première
condition est donc véri…ée. On peut donc utiliser la relation (8) pour calculer
la pression à tout point du pro…l. Il faut faire attention lors de l’apparition
de chocs, car Bernoulli n’est pas valable à travers les chocs (augmentation de
l’entropie). Il faut donc appliquer Bernoulli jusqu’avant le choc, traverser le
choc avec les relations qui permettent de calculer les grandeurs après le choc en
fonction des grandeurs à l’amont et ensuite continuer avec Bernoulli jusqu’au
prochain choc ou jusqu’à la fermeture du pro…l.
Une fois la distribution de la pression le long de la paroi est déterminée, la
force sur le pro…l peut être calculée en intégrant la pression le long du pro…l.
Z
~
F = p!
n ds
Une fois qu’on a trouvé la résultante de la force on peut la projeter sur l’axe
vertical et horizontal pour calculer les coe¢ cients de portance et trainée avec les
relations (2)et (1). Pour le coe¢ cient de moment il faut intégrer sur le produit
vectoriel entre le levier ~r et le vecteur de force local.
Z
~
M = (~r p!
n ) ds
En deux dimensions le moment résultant n’à qu’une composante non-nulle.
6
2.1.3
Méthode alternative pour directement calculer la force (Balsius)
Une méthode alternative pour calculer la force sur un pro…l dans un écoulement
uniforme est la loi de Blasius. Cette loi n’est valable que pour les écoulements
potentiels, le vecteur !
~ doit donc être égal à zéro partout. Il faut faire attention
car cette condition n’est pas véri…ée a priori pour les écoulements eulériens
(Wombat), il faut imposer comme hypothèse supplémentaire !
~ = 0.
On part avec une forme de pro…l arbitraire qui se trouve dans un écoulement
uniforme U1 pour calculer la force qui agit sur cette forme.
Figure 1: ésquisse de référence pour la loi de Blasius
La force peut être calculée avec la formule suivante:
Fx
iFy =
i
2
I
dF
dz
2
dz
(9)
c
avec
dF = d + id
=d
est égal à zéro car on suit une ligne de courant.
est le potentiel, z la
variable complexe est Fx et Fy les composantes de la force résultante dans la
direction x et y.
7
2.2
Méthode des petites perturbations [19]
Le passage transsonique fait intervenir des phénomènes physiques qui se modélisent par des modèles mathématiques complètement di¤érents. Lors de l’évolution
de la vitesse à partir de M a = 0:5 jusqu’à M a = 1:4, on se trouve d’abord
dans un régime complètement subsonique, les équations régissant sont de type
elliptique. Puis ils apparaissent des premiers chocs avec des petites zones supersoniques décrites par des équations hyperboliques.
Figure 2: Zones sub- et supersoniques
En augmentant la vitesse de référence, la zone subsonique se contracte de
plus en plus autour du bord d’attaque.
2.2.1
Equations de perturbation pour un écoulement parallèle et
homogène
Cet approche est basée sur l’hypothèse de petites perturbations, on peut séparer le potentiel total en une partie écoulement non-perturbé et une partie
perturbation pure :
~
= U1 x + '; ~v = r
(10)
Avec les équations physiques unidimensionelles
Gaz parfait :
p = rT
Continuité :
8
r ( ~v ) = 0
Conservation de quantité de mouvement (non visqueux) :
rp
(~v r) ~v =
Conservation d’énergie (non visqueux):
p
h0 =
1
+
v2
2
Sous les hypothèses suivantes :
Ecoulement isentrope
Ecoulement irrotationnel
Régime permanent
Ecoulement bidimensionnel
On peut combiner toutes ces équations, en coordonnées cartésiennes on
trouve :
"
2
a
@'
U1 +
@x
2
#
"
@2'
+ a2
@x2
@'
@y
2
#
@2'
@'
2 U1 +
2
@y
@x
@' @ 2 '
=0
@y @x@y
(11)
Cette équation fortement non-linéaire peut être condensée en écrivant M1 =
U1 =a1 et en négligeant les termes non-signi…catifs :
Ecoulement subsonique (M1 < 1) et supersonique (M1 . 3 ; non
valable dans le domaine hypersonique) :
1
2
M1
@2' @2'
+
=0
@x2
@y 2
(12)
Il s’agit de l’équation de Prandtl-Glauert.
Ecoulement transsonique (M1
1
2
M1
1) et hypersonique :
1 @' @ 2 '
@2' @2'
2
+
=
M
(
+
1)
1
@x2
@y 2
U1 @x @x2
(13)
On note que si M1 ! 0, c’est-à-dire que la vitesse du son a ! 1; c’est-à dire
que les e¤ets de compressibilité disparaissent, l’équation (12) devient r2 ' = 0:
9
Domaine subsonique M a . 0:8
2.2.2
Pour le cas subsonique les perturbations engendrées par l’aile peuvent in‡uencer
toutes les parties du champ de vitesse, (12) est elliptique.
Pour la résolution, on dé…ni …ctivement deux champs de vitesse (vitesse de
perturbations) :
Partie incompressible (r2 ' = 0), indice j:
@ 2 'j
@ 2 'j
+
=0
@x2j
@yj2
Contribution compressible (voir équation (12)) indice
k: 1
@ 2 'k
@ 2 'k
+
=0
2
@xk
@yk2
2
M1
En dé…nissant les nouvelles variables indépendantes
xj ; yj ; xj := xk
yj := yk(1
2 1=2
M1
)
et en appliquant les conditions aux limites sur les pro…ls on trouve après
quelques manipulations purement algébriques:
uk =
(1
uj
; vk = vj
2 )1=2
M1
(14)
Nous pouvons donc calculer l’écoulement subsonique autour d’une aile bidimensionnelle au moyen de la transformation donnée par l’équation (14) En sommant ces deux contributions on obtient la vraie vitesse. Il est clair que lorsqu’on
s’approche aux vitesses proches du domaine transonique (M a . :08), les termes
négligés lors du passage (11)! (12) faussent de plus en plus le résultat.
Typiquement, le champ de vitesse sans e¤ets de compressibilité est caluclé
par la technique des écoulements potentiels.
Dans le cas incompressible, le passage champ de vitesse ! champ de pression
se fait typiquement par la relation de Bernoulli. En se basant sur la relation de
Bernoulli incompressible, combinée avec l’astuce des deux champs de vitesse
(j , k), on déduit le coe¢ cient de pression Cpk 1 :
(
)
1
2
1 2
v2
Cpk =
1
M1
1
1
2
2
M1
2
U1
1C
pk
est la pression adimensionalisée, appelé coe¢ cient de pression :
Cpk =
p
1
2
10
p1
2
U1
Analogue à ce qui précède, on arrive à trouver la contribution compressible de
la pression à partir de la vitesse v qui doit être connue. En intégrant …nalement
la pression autour du pro…l, on arrive à déterminer les forces agissant sur le
pro…l.
2.2.3
Domaine transsonique
Pour les domaines où M a ' 1 l’équation (11) ne peut pas être linéarisée. En
bi¤ant les termes négligeables on trouve une équation toujours non-linéaire (13)
:
1
2
M1
1 @' @ 2 '
@2' @2'
2
+
= M1
( + 1)
2
2
@x
@y
U1 @x @x2
Il s’avère impossible de résoudre analytiquement cette équation. Il faut faire
appel à des méthodes itératives ou numériques.
2.2.4
Domaine supersonique
Dans le cas M1 > 1 l’équation (12) devient hyperbolique.
1
2
M1
@2' @2'
+
=0
@x2
@y 2
Il existe donc une solution du type d’Alembert :
p
p
2
2
1 + f2 x + y M1
'(x; y) = f1 x y M1
1
Les perturbations du pro…l n’in‡uencent qu’en aval de lui-même. Les perturbations
représentées
par les
f1 etif2 se propagent le long les lignes
h
i
h fonctions
p
p
2
2
x y M1 1 = cste et x + y M1 1 = cste. Ces lignes sont notamment les lignes dites caractéristiques. Sur ces lignes caractéristiques, le "potentiel dé…cit " ' est constant. Le domaine d’in‡uence se trouve entre les deux
lignes caractéristiques extrêmes.
En appliquant la même astuce que dans le paragrphe traintant le domaine
subsonique, (deux champs de vitesse (j , k)), et en utilisant les fonctions qui
limitent le pro…l :
on trouve pour l’extrados :
2
Cpk;e = 2(M1
1)
1=2
h0e (x)
(15)
h0i (x)
(16)
et pour l’intrados :
Cpk;i =
2
2(M1
1)
1=2
On constate cette fois qu’on peut calculer, en connaissant uniquement la
fonction h0i=e (x) et les grandeurs thermodynamiques à l’in…ni, le coe¢ cient de
pression et ainsi la vraie pression. Vu la proportionnalité à la dérivé spatiale,
la pression (locale) est proportionnelle à l’inclinaison locale du pro…l.
11
Figure 3: Fonctions hi (x); he (x)
Véri…cation numérique
Je vais comparer une mesure calculée par Wombat avec un résultat analytique
selon l’expression (15). Comme point d’essai j’ai choisi un point sur l’extrados
où on a une vitesse clairement supersonique (‡èche rouge sur la …gure 4).
On a :
M1
p1
U1
= 1:42
= 101300 P a
= 1:28636 kgm 3
= 471; 493 ms 1
A partir de la dé…nition du coe¢ cient de pression :
1 2
U
2 1
et en utilisant la paramétrisation du pro…l NACA0012 (voir chapitre 2.3) on
trouve pour x = 0:34 une inclinaison de = ( 1:0143 7) = 8:0143 ce qui
correspond à une pente de h0e (x) = 0:1408:
Il reste d’appliquer l’équation (15) :
p = p + Cpk
2
Cpk;e = 2(M1
p = p + Cpk
1)
1=2
h0e (x) '
0:27931
1 2
U = 101300 + ( 0:27931) 142987:54 = p = 61362:15 Pa
2 1
Comparé avec une valeur mesurée de p = 66396:78P a. La di¤érence s’explique
par le fait qu’on a légèrement faussé les résultats en négligeant des termes de
l’équation de base (11). De plus, il est clair que la mesure de l’abscisse n’est pas
très précise non-plus.
12
Figure 4: Véri…cation numérique de la pression
2.2.5
Remarque
Il nous semble important de remarquer que les la théorie analytique énoncée
ci-dessus n’est pas su¢ sante pour étudier un écoulement non-visqueux autour
d’un pro…l. Il nous manque notamment les positions exactes des chocs. De plus,
on ne dispose pas d’une expression analytique pour la vitesse et pour la pression
dans les domaines autour de M 1:
2.3
2.3.1
Pro…l NACA0012
Dé…nition
Un pro…l d’aile NACA0012 (NACA0012) est un pro…l symétrique dont la demiépaisseur est égale à 12% de sa longueur. Pour ce pro…l ils existent de nombreux
résultats disponibles dans la littérature. Nous nous sommes servis des comparaisons faites dans le travail de doctorat de Roland Richter [12].
2.3.2
Paramétrisation [16]
La paramétrisation du pro…l avec profondeur unitaire en coordonnés cartésiennes est donnée par:
x(s; t) = t
13
p
y(s; t) = 5 0:12 0:2969 t 0:126 t
z(s; t) = s
t 2 [0; c = 1:008930411365]
s 2 [0; 1]
0:3516 t2 + 0:2843 t3
0:1015 t4
On constate que l’abscisse du bord de fuite ne vaut pas exactement 1. Pour
normaliser par rapport à l’abscisse, on peut diviser x(t) et y(t) par le facteur
c. Après quelques calculs sur Wombat, nous avons trouvé que l’abscisse n’y est
pas normalisée.
2.3.3
Plot
Figure 5: Plot NACA12, angle d’attaque = 0
Centre de gravité La coordonné y du centre de gravité se trouve par symétrie
en yg = 0. La coordonné en x s’obtient avec la fomrule suivante:
ZZ
xdxdy
xg =
= 0:4205153412
A
Longueur de la …bre extrème La longueur d’une …bre externe vaut :
14
Zc q
2
2
l=
(x0 (t)) + (y 0 (t)) dt = 1:02864249
0
En faisant l’analyse du champ de pression autour du pro…l (streamline analyse,
pro…le) on constate que le logiciel ne normalise pas selon cette longueur! Les
valeurs de l’abscisse varient, en fonction de l’angle d’attaque. Cela signi…e les
valeurs sur l’abscisse sont la projection sur l’horizontale de la …bre extrême.
Il ne s’agit donc pas d’une abscisse curviligne, comme nous avons supposé au
début.
2.3.4
Elément de surface, vecteur normale
0
7=2
5=2
3 (8120 t
17058 t
B
!
rs k dtds = @
dS = k!
rt
1
+14064 t3=2 +2520 t1=2 29697)
p
1000 t
C
1
0
0
1
3 (8120 t7=2 17058 t5=2 +14064 t3=2 +2520 t1=2 29697)
p
1000 t
B
C
@
1
0
@
1
0
!
n = 0
A dsdt
A
1
3 (8120 t7=2 17058 t5=2 +14064 t3=2 +2520 t1=2 29697)
p
1000 t
C
B
A
L’intégral double pour calculer la force résultante du à la pression vaut donc:
F
=
ZZ
p!
n dS =
0
ZZ
0
1
3 (8120 t7=2 17058 t5=2 +14064 t3=2 +2520 t1=2 29697)
p
1000 t
B
C
@
1
0
@
1
0
p 0
A
1
3 (8120 t7=2 17058 t5=2 +14064 t3=2 +2520 t1=2 29697)
p
1000 t
B
C
1
3 (8120 t7=2 17058 t5=2 +14064 t3=2 +2520 t1=2 29697)
p
1000 t
C
B
@
=
ZZ
0
A
A dsdt
1
0
1
3 (8120 t7=2 17058 t5=2 +14064 t3=2 +2520 t1=2 29697)
p
1000 t
B
C
p@
1
0
A dsdt
On note déjà que le dénominateur de la première composante du vecteur
contient une racine de t, ce qui rend l’utilisation de cette expression délicate
lors des calculs numériques (divison par zéro).
15
3
Code Matlab
Avant d’écrire le code Matlab, nous avons fait quelques recherches bibliographiques.
On a rencontré quelques informations sur les pro…ls qui servent comme référence
en mécanique des ‡uides numérique. Notamment, nous avons trouvé des informations géométriques par rapport au pro…l NACA0012. Ceci nous a inspiré de
pro…ter de ces connaissances pour l’intégration de la pression autour du pro…l
(voir § 3.3.2)
Au cours du travail de programmation, nous avons constaté que la paramétrisation pose quelques problèmes lors de l’intégration numérique. Donc nous avons
commencé à écrire le code sans pro…ter de la géométrie connue, donc à approximer le pro…l par des tronçons linéaires.
Finalement on a constaté que les valeurs trouvées avec l’approximation
linéaire du pro…l ne di¤èrent que très peu des valeurs calculées avec le pro…l "précis". A postériori, on peut dire que toutes nos considérations sur la
géométrie du pro…l étaient inutiles.
Nous avons donc maintenant deux codes à disposition.
" Approximation linéaire " : fonctionne génériquement avec toutes les
pro…ls qui sortent de Wombat Viewer (…cheri .dat).
" Surface exacte ": Ne fonctionne qu’avec le pro…l NACA0012, la précision des résultats est légèrement augmentée.
3.1
Abstraction
Sur un niveau assez abstrait, ces deux codes fonctionnent pareillement.
1. Grâce à M. Zacharie Wuillemin, on a pu automatiser l’extraction de pression autour du pro…l.
2. Le logiciel "Field Viewer augmanté" sort un …chier "nom.dat" avec :
- les coordonnés des points du pro…l dans le référentiel attaché au pro…l
- les coordonnés des points du pro…l dans le référentiel absolu.
- toutes les grandeurs d’état calculées par Wombat pour chaque point.
Après avoir importé le …chier .dat en question, les valeurs x; y relatives
ainsi que la pression associée se trouvent dans une matrice . Puis, Matlab
le trie, en séparant les points de la partie "branche supérieure" de la partie
"branche inférieure" du pro…l. Finalement, un algorithme simple de triage
("Tri-Bulle") met les donnés en ordre croissant par rapport à x.
3. Intégration discrétisée de la force et du moment autour du pro…l. On
travaille par commodité dans le référentiel attaché au pro…l, donc incliné
le cas échéant.
4. Projection des forces dans le référentiel absolu, adimensionnaliser les forces
et le moment en les référant aux grandeurs de l’écoulement "à l’in…nie".
On obtient les valeurs cl ; cd ; cm .
16
Figure 6: Schéma abstrait du code Matlab
5. Un code qui fait une boucle sur toutes les vitesses calculées (donc …chier
.dat existant) relatives à un angle d’attaque déterminé. Il stocke toutes les
coe¢ cients relative à la vitesse respective dans une matrice. Finalement,
Matlab plote l’évolution des coe¢ cients cl ; cd ; cm stockés dans cette matrice en fonction de la "vitesse à l’in…ne".
Cette fonction (la boucle) n’est pas présente dans le cas du code "générique"
car nous n’avons pas systématiquement calculé des …chiers Wombat avec
d’autres pro…ls.
3.2
Code générique
Le code générique pour a¢ cher les coe¢ cients cm ; cx ; cl (une vitesse) est divisé
en 6 sous-codes. Ci-dessous se trouve la liste complète de ces codes:
17
Figure 7: Evolution des coe¢ cients cm ; cx ; cl en fonction du nombre de Mach
3.2.1
projet.m
Ce …chier est le coeur de notre code. Il s’agit du code qui fait appel aux différentes fonctions, et qui a¢ che à la …n les valeurs cm ; cx ; cl cherchées. Les arguments sont le nom du …chier ainsi que le nombre de Mach. Le nom du …chier doit
s’écrire entre apostrophes avec le su¢ xe .dat. Expemple: ’le_fichier.dat’.
Il est malheureusement nécessaire d’introduire le nombre de Mach de référence.
Il est impossible pour Matlab d’extraire le nombre du …chier .dat. Ensuite,
le code lit les propriétés de l’écoulement de la fonction propr_ecoulement.m.
Après avoir calculés les longueurs du pro…l ainsi que la longueur "corde" projet.m
lance l’intégration numérique pour trouver les forces et le moment qui s’exercent
sur le pro…l. Finalement, projet.m projette les forces dans la base absolue
(cadre de l’écran), a¢ che les forces qui agissent sur le pro…l, a¢ che les propriétés générales de l’écoulement et calcule les coe¢ cients cm ; cx ; cl . Ci-dessous
se trouve un exemple d’a¢ chage :
>> projet(’080_7.dat’,0.8)
% ligne de commande
nombre de valueus "superieurs" 71
nombre de valueus "inferieurs" 53
data loaded
Calcul approximation lineaire en cours....
18
Figure 8: Sous-fonctions du code générique
Calcul approximation lineaire termine.
INFORMATION PROFIL
**********************
Longuer du profil (approx. lineaire): 1.0259 -*m
Corde aile: 1.009 -*m
Angle attaque: 7
Nombre de Mach: 0.8 [-]
APPROXIMATION LINeAIRE
**********************
-------------------------------------------------------------------------PAR RAPPORT AU SYSTeME DE COORDONNeES ATTACHe AU PROFIL:
Force du fluide agissant sur le profil dans la direction x: 978.1825 -*N
Force du fluide agissant sur le profil dans la direction y: 55023.9609 -*N
Force totale du fluide agissant sur le profil: 55032.6549 -*N
19
-------------------------------------------------------------------------PAR RAPPORT AU SYSTeME DE COORDONNeES ABSOLUES:
Force du fluide agissant sur le profil dans la direction x: 7676.6252 -*N
Force du fluide agissant sur le profil dans la direction y: 54494.6102 -*N
Force totale du fluide agissant sur le profil: 55032.6549 -*N
-------------------------------------------------------------------------Coefficient de trainee Ct: 0.16765 [-]
Coefficient de portance Cp: 1.1901 [-]
Coefficient du moment Cm: -0.26623 [-]
Extraits du code
function projet=(nom_du_fichier, Mach)
% LECTURE DES PARAMETRES DE L’ECOULEMENT
[u_inf, rho] = propr_ecoulement(Mach);
% LECTURE ET TRIAGE DES DONNEES EXPERIMENTAUX (WOMBAT)
[data_upper, data_lower, angle_att_deg] = charger(nom_du_fichier);
% CALCUL DES LONGUERS CARACTERISTIQUES
corde_u = max(data_upper(:,1));
corde_l = max(data_lower(:,1));
corde=max(corde_u, corde_l);
% EVOQUER L’INTEGRATION NUMERIQUE (APPROX LINEAIRE)
[F_tot_al, M_tot_al, l_tot_al] = calcF_app_lin(data_upper, data_lower, corde, angle_att);
% PROJECTION
F_tot_abs_al(1,1) = F_tot_al(1,1)*cos(angle_att) + F_tot_al(2,1)*sin(angle_att);
F_tot_abs_al(2,1) = F_tot_al(2,1)*cos(angle_att) - F_tot_al(1,1)*sin(angle_att);
% CALCUL DES COEFFICIENT
cd=F_tot_abs_al(1,1)/(0.5*rho*u_inf^2*corde);
cl=F_tot_abs_al(2,1)/(0.5*rho*u_inf^2*corde);
cm=M_tot_al/(0.5*rho*u_inf^2*corde^2);
% AFFICHAGE
....
3.2.2
charger.m
Charger.m constitue l’interface entre le …chier .dat extrait de Fieldviewer et
notre code Matlab. Il s’agit d’abord d’extraire les donnés importantes pour notre
code du …chier .dat et les stocker dans des matrices. On a d’abord besoin des
coordonnés relatives au référentiel (x; y) attaché au pro…l (donc inliné le cas
20
échéant) et des valeurs de pression associées. Ensuite, charger.m e¤ectue un
traitement des donnés. Il sépare les donnés relatives à la branche supérieure des
donnés relatives à la branche inférieure du pro…l. Puis, il appelle trier.m pour
trier les matrices associées à la branche inférieure et supérieure par rapport à
la coordonné x. En bref, charger.m transforme un …chier .dat non ordonné en
deux matrices ordonnés l’une relative à la branche inférieure l’autre relative à
la branche supérieure.
Figure 9: Modèle schématique du …chier charger.m
Finalement. charger.m extrait les coordonnés absolues du pro…l du …chier.dat
et en calcule l’angle d’attaque.
Extraits du code
function [upper,lower, angle, surf_x, surf_y]=charger(name)
% CHARGER DU FICHIER .DAT
M = dlmread(name,’\t’,1,0);
pressionmatrice =M(:,3:5);
% lit le fichier exporte par Fielviwer
% extraction des collonnes x, y, z
% DePLACEMENT DE L’ORIGINE AU BORD D’ATTAQUE
minval=min(pressionmatrice (:,1));
pressionmatrice (:,1)=pressionmatrice (:,1)-minval;
% TRIER (UPPER / LOWER)
=length(pressionmatrice );
21
u=1;
l=1;
% compteur pour les valeurs sup.
% compteur pour les valeurs inf.
for i=1:n
if (pressionmatrice (i,2)>=0)
upper(u,:)=pressionmatrice (i,:);
u=u+1;
end;
else
lower(l,:)=pressionmatrice (i,:); %filling matrice
l=l+1;
end;
end;
"lower"
% TRIER (SORT)
upper=trier(upper);
lower=trier(lower);
% EXTRACTION DE L’ANGLE
pm=M(:,1:2); % coordonnes du profil en referentiel absolu
minvalue=min(pm(:,1)); % mettre l’origine au bord d’attaque
pm(:,1)=pm(:,1)-minvalue;
pm=trier(pm);
angle=-round(180/pi*atan(pm(n-1,2)-pm(1,2))/(pm(n-1,1)-pm(1,1)));
3.2.3
trier.m
Il était nécessaire de coder trier.m par nous-mêmes. Pour notre application
il est nécessaire que le triage - qui s’e¤ectue selon la première colonne - amène
les lignes entières de la matrice à la nouvelle place. Toutes les fonctions de
triage déjà existantes en Matlab ont bien trié la première colonne mais ont
laissé inchangé les autres colonnes.
L’algorithme utilisé dans trier.m est appelé "tri-bulle". Il s’agit d’un algorithme qui parcourt la matrice de bas en haut en permutant ligne par ligne
deux à deux si ces deux ne sont pas en ordre croissant. Il s’agit donc d’un
algorithme simple mais peu performant. Chaque fois que le code identi…e deux
lignes inversée, il évoque echange.m pour les permuter.
Extraits du code
function [matrice ]=trier(matrice )
taille=length(matrice );
i=1;
while (i<(taille));
j=taille;
22
while (j>i);
if (matrice (j-1,1)>matrice (j,1))
[matrice (j-1,:),matrice (j,:)]=echange(matrice (j-1,:),matrice (j,:));
end;
j=j-1;
end;
i=i+1;
end;
3.2.4
echange.m
Voir § 3.2.3 (trier.m)
Extraits du code
function [a,b]=echange(a, b)
copie=a;
a=b;
b=copie;
3.2.5
prop_ecoulement.m
Prop_ecoulement.m calcule en fonction du nombre de mach les grandeurs nécessaires pour adimensionnaliser les forces et le moment agissant sur le pro…l.
A partir de la pression et la température de référence : P = 101300 P a,
T = 273:15 K et les paramètres caractéristiques de l’air :
= 1:4 r =
288:3 J=(K kg). combiné avec les expressions
du
gaz
parfait
P
v
= rT ainsi
p
rT , on trouve uinf et :
que l’expression pour la vitesse du son a =
Extraits du code
function [u_inf, rho] = propr_ecoulement(Mach);
Pression = 101300;
Temperature = 273.15;
kappa = 1.4;
r = 288.3;
rho = Pression/(r*Temperature);
u_inf = Mach * sqrt(r*kappa*Temperature);
3.2.6
calcF_app_lin.m
CalcF_app_lin.m c’est la partie du code qui approxime e¤ectivement l’intégral
le long du pro…l en question. En travaillant avec une profondeur unitaire
du pro…l, le code approxime les "surfaces di¤érentielles" par des rectangles
de profondeur 1. (rectangle 1 c^
ote rouge, voir …g : 10) Nous utilisons la
23
pression moyenne entre les deux points extrêmes du rectangle (voir …g. (10),
1
2 [P (x; y) + P (x+1 ; y+1 )]). Nous calculons la force en multipliant cette pression
par l’aire de la surface "rouge" sur la …gure 10. La direction de cette force est
donnée par le vecteur normale unitaire entrant le pro…l. Le moment di¤érentiel
s’obtient en faisant le produit vectoriel du levier fois la force qu’on vient de
calculer.
Finalement, CalcF_app_lin.m somme toutes ces contributions. Nous avons
réalisé ces étapes en calculant séparément la contribution de la branche supérieure
et inférieure.
Figure 10: Approximation linéaire du pro…l
Extraits du code
l = size(data_upper)
for j=1:(l-1)
dx = data_upper(j+1,1)-data_upper(j,1);
dy = data_upper(j+1,2)-data_upper(j,2);
ds(j,1) = sqrt((dx)^2+(dy)^2);
P_u(j) = 0.5*(data_upper(j,3)+data_upper(j+1,3));
phi=atan(dy/dx);
dfx = P_u(j)*ds(j,1)*sin(phi);
dfy = -P_u(j)*ds(j,1)*cos(phi);
dM = cross([0.5*(data_upper(j+1,1)-....;...;0], [dfx;dfy;0]);
F_tot_upper(1,1) = F_tot_upper(1,1) + dfx;
F_tot_upper(2,1) = F_tot_upper(2,1) + dfy;
24
M_tota = M_tota + dM(3,1);
l_tot = l_tot + ds(j,1);
end;
k = size(data_lower)
for j=1:(k-1)
...
% meme chose pour branche inf.
...
end;
M_tot=M_tota+M_totb;
l_tot = l_tot/2;
F_tot = F_tot_upper + F_tot_lower;
3.2.7
Remarque
Les "extraits du code" ne sont pas complets. Il s’agit toujours d’une version
comprimé pour ne pas surcharger la lecture. Il s’agit du coeur de chaque fonction. Pour avoir plus de détails, le lecteur est prié de consulter directement les
…chiers Matlab.
3.3
Code spéci…que pour NACA0012
Le code spéci…que a¢ che deux fois les coe¢ cients cm ; cd ; cl (pour une vitesse)
calculés de façon générique (décrit ci-dessus) et en tenant compte de la paramétrisation du pro…l NACA0012. Le squelette du code reste inchangé, il y a par contre
quelque fonctions nouvelles. Dans le tableau ci-dessous se trouvent les nouvelles
fonctions principales ainsi que les fonctions qui sont légèrement modi…ées (ils
font appèl aux nouvelles fonctions).
On constate que projet.m fait cette fois aussi appel à la fonction
calcF_NACA_long_pres.m. Cette fonction a besoin d’un code d’intégration
numérique : int_num.m. En revanche, projet.m peut être appelé par lancer.m,
qui contient une boucle qui évoque projet.m systématiquement pour construire
le graphe voir …g (7).
3.3.1
Exemple d’a¢ chage
>> projet(’080_7.dat’,0.8)\ % ligne de commande
nombre de valueus "superieurs"
71
nombre de valueus "inferieurs"
53
data loaded
Calcul approximation lineaire en cours....
Calcul approximation lineaire termine.
Calcul exacte en cours....
Warning: Divide by zero. % avertissement de l’integration numerique
25
Figure 11: Sous-fonctions du code spéci…que NACA12 (pas complet)
> In inlineeval at 13
In inline.feval at 34
In int_num at 29
In calcF_NACA_long_pres at 45
In projet at 59
Warning: Divide by zero.
> In inlineeval at 13
In inline.feval at 34
In int_num at 29
In calcF_NACA_long_pres at 76
In projet at 59
Calcul exact termine.
INFORMATION PROFIL
**********************
26
Coordonnee x du centre de gravite (coordonnes attaches) :
Coordonnee y du centre de gravite (coordonnes attaches) :
Longuer du profil (approx. lineaire):
1.0282 -*m
Longuer du profil (exacte):
1.0247 -*m
Corde aile:
1.0089 -*m
Angle attaque:
7
Nombre de Mach:
0.8 [-]
0.42052
0
APPROXIMATION LINeAIRE
**********************
-----------------------------------------------------------------------------PAR RAPPORT AU SYSTeME DE COORDONNeES ATTACHe AU PROFIL:
Force du fluide agissant sur le profil dans la direction x:
1628.0415 -*N
Force du fluide agissant sur le profil dans la direction y:
55169.6053 -*N
Force totale du fluide agissant sur le profil:
55193.6216 -*N
-----------------------------------------------------------------------------PAR RAPPORT AU SYSTeME DE COORDONNeES ABSOLUES:
Force du fluide agissant sur le profil dans la direction x:
8339.3899 -*N
Force du fluide agissant sur le profil dans la direction y:
54559.9711 -*N
Force totale du fluide agissant sur le profil:
55193.6216 -*N
-----------------------------------------------------------------------------Coefficient de trainee Ct:
0.18213 [-]
Coefficient de portance Cp:
1.1916 [-]
Coefficient du moment Cm:
-0.26863 [-]
CALCUL EXACT (DE SURFACE)
*************************
-----------------------------------------------------------------------------PAR RAPPORT AU SYSTeME DE COORDONNeES ATTACHe AU PROFIL:
Force du fluide agissant sur le profil dans la direction x:
1597.7082 -*N
Force du fluide agissant sur le profil dans la direction y:
55184.0336 -*N
Force totale du fluide agissant sur le profil:
55207.1575 -*N
-----------------------------------------------------------------------------PAR RAPPORT AU SYSTeME DE COORDONNeES ABSOLUES:
Force du fluide agissant sur le profil dans la direction x:
8311.041 -*N
Force du fluide agissant sur le profil dans la direction y:
54577.9886 -*N
Force totale du fluide agissant sur le profil:
55207.1575 -*N
-----------------------------------------------------------------------------Coefficient de trainee Ct:
0.18151 [-]
Coefficient de portance Cp: 1.192 [-]
Coefficient du moment Cm: -0.26633 [-]
En comparant les valeurs "exactes" et approximé par ségmant, on constate
27
que la di¤érence se trouve dans la troisième chi¤re signi…cative.
3.3.2
calcF_NACA_long_pres.m
Figure 12: Intégration "précise"
Comparé au code CalcF_app_lin.m, le code CalcF_NACA_long_pres.m est
amélioré en approximant la "surface di¤érentielle" - plus par un rectangle planmais par un segment "réel" (voir …g. (12) trait rouge) du pro…l multiplié par la
profondeur unitaire. De plus, la direction de la "force di¤érentielle" se calcule
via le vecteur normal entrant exacte à l’abscisse moyenne entre les points (x; y)
et (x+1 ; y+1 ) : ~n(0:5 (x + x+1 ))
Extraits du code
function [F_tot, M_tot, l_tot] = calcF_NACA_long_pres(data_upper,....
F_tot = [0;0];
l_tot = 0;
int_ds = 0;
M_tot = 0;
M_tota= 0;
M_totb= 0;
F_tot_upper = [0;0;0];
F_tot_lower = [0;0;0];
[f,df,ds] = equ_NACA0012;
28
[l,c] = size(data_upper);
for j=1:(l-1)
int_ds(j,1) = int_num(ds, data_upper(j,1), data_upper(j+1));
P = 0.5*(data_upper(j,3)+data_upper(j+1,3));
phi = atan(feval(df,0.5*(data_upper(j,1)+data_upper(j+1,1))));
dfx = P*int_ds(j,1)*sin(phi);
dfy = -P*int_ds(j,1)*cos(phi);
dM = cross([0.5*(data_upper(j+1,1)-data_upper(j,1))-corde/4; 0.....
F_tot_upper(1,1) = F_tot_upper(1,1) + dfx;
F_tot_upper(2,1) = F_tot_upper(2,1) + dfy;
M_tota = M_tota + dM(3,1);
l_tot = l_tot + int_ds(j,1);
end;
[l,c] = size(data_lower);
for j=1:(l-1)
..
..
end;
M_tot=M_tota+M_totb;
l_tot = l_tot/2;
F_tot = F_tot_upper + F_tot_lower;
3.3.3
lancer.m
Lancer.m est un petit script qui fait systématiquement appel à projet.m pour
chaque …chier .dat calculé au préalable. projet.m sort (dans le cas du code
spéci…que) les trois coe¢ cients qui sont stocké par lancer.m dans une matrice.
Dans le cadre de la création de notre "…lm" nous avons choisi une résolution de
0:02 Mach, et une plage de Mach : 0:4 1:5 (voir paragraphe 4.1). La boucle
parcourt donc toute cette plage avec un incrément de 0:02M a. Finalement,
lancer.m plotte toutes les coe¢ cients cm ; cd ; cl stockés dans la matrice en
fonction du nombre de Mach associé.
Extraits du code
function []=lancer(angle)
i=0.5;
% counter pour creer le nom des fichier
save=[1,1,1];
% matrice pour stocker les coefficients et la vitesse corr
29
q=1;
% counter pour remplir la matrice SAVE
while (i<=1.5)
% sq est le "nombre" qui code nos fichiers
sq = ....
% Creer le nom du fichier (string), lance le calcul (projet)
nom_fichier = strcat(sq,’_’,num2str(angle),’.dat’);
[save(q,2), save(q,3) , save(q,4)]=projet(nom_fichier,i);
save(q,1)=i;
% stocker la vitesse correspondante (abscisse)
i=i+0.02;
q=q+1;
% mise a jour du counter: nb Mach
% mise a jour du counter
end;
% Plotter
plot(save(:,1),save(:,2), ’b’); %plotter les valeurs de cd
hold;
plot(save(:,1),save(:,3), ’r’); % superposer le cl
plot(save(:,1),save(:,4), ’g’); % superposer le cm
xlabel(’# de Mach [-]’);
ylabel(’coefficient [-]’);
3.4
Di¢ cultés rencontrées
Il nous semblait à priori faisable d’e¤ectuer une simple intégration numérique autour d’un pro…l. Au cours du codage, nous avons rencontré par contre quelques
pièges imprévisibles :
Le programm FieldViewer est capable de sortir graphiquement le champ
de pression régissant autour le pro…l. Il n’était par contre impossible, vu
le grand nombre de points, de lire et de transcrire manuellement toutes
ces valeurs dans une matrice. On était forcé de modi…er le code WombatFieldViewer. Nous avons vite constaté que décompiler ce code n’était pas
possible pour nous.
Heureusement, M. Zacharie Wuillemin pouvais modi…er le logiciel en ajoutant
une fonction qui sauvegarde les grandeurs physiques le long du pro…l dans
un …chier .dat.
Les coordonnées pour le pro…l NACA0012 se réfèrent à une origine qui
30
se trouve au bord d’attaque. Tous nos calculs étaient basés sur ce …at.
Plus tard, on a constaté que pour des autres pro…ls, l’origine du référentiel des coordonnées du pro…l se trouve à un point di¤érent. On était
forcé de modi…er le code pour avoir une version qui fonctionne aussi pour
d’autre pro…ls de Wombat. Nous avons décidé d’e¤ectuer systématiquement une transformation de variable a…n d’avoir l’origine toujours au bord
d’attaque.
Le plus grand dé… par rapport au code Matlab était à notre avis de le rendre confortable dans le sens que le code est capable de lire les …chiers dat.
Ce …chier est automatiquement lisible, les donnés sont séparées par des
tabulateurs. Par contre, les donnés n’étaitent pas en ordre, il nous fallait
les trier. Malheureusement, les fonctions existantes en Matlab n’étaient
pas aptes pour notre application. Il nous a fallu programmer une fonction
de triage nous-mêmes.
On a retrouvé dans la littérature di¤érentes dé…nitions pour les coe¢ cients
cm ; cd ; cl : Ceci a rendu di¢ cile la comparaison de nos coe¢ cients avec
ceux de la littérature.
4
Visualisations de l’écoulement autour NACA0012
(vidéo)
Pour visualiser l’écoulement autour le pro…l NACA 12 dans le régime tanssonique
nous avons fait un …lm, qui consiste en une succession d’images qui montrent
des isosurfaces du champ de pression autour du pro…l en fonction du nombre
de Mach. Le …lm commence avec l’écoulement pour un nombre Mach incident
de 0.5 et il …nit quand le nombre de Mach incident arrive à 1.5. La di¤érence
du nombre de Mach entre les images vaut 0.02. Le …lm existe pour un angle
d’attaque de 0 et un angle d’attaque de 7 . Toutes les images utilisés sont
extrait du Wombat Field Viewer et se basent donc forcement sur des calculs
numériques de Wombat. Chaque image représente un état stationnaire, il s’agit
donc d’un éoculement "pseudo-accéléré.
Les isosurfaces de pression montrent bien l’apparition et l’évolution de chocs
qui apparaissent dans le régime trans- et supersonique. On peut distinguer
5 phases typiques qui montrent cette évolution qui seront expliqués pour des
angles d’attaque de 0 et 7 .
4.1
4.1.1
Evolution des di¤érentes régimes, chocs
Phase 1 : écoulement subsonique
Dans cette phase l’écoulement est sonique partout autour du pro…l, il n’apparaît
donc aucun choc et l’écoulement reste isentrope partout. Les relations isentropes permettent de déterminer les grandeurs physiques à chaque endroit. Ces
conditions sont véri…ées jusqu’à des nombres de Mach d’environ 0.45 pour un
31
angle d’attaque de 7 et des nombres de Mach d’environ 075 pour aucun angle
d’attaque. Ceci montre que déjà un angle d’attaque relativement faible provoque
des vitesses très grandes comparées à un pro…l sans angle d’attaque. Quand la
vitesse augmente la pression diminue, ce qu’on peut observer dans les deux …lms.
4.1.2
Phase 2 : écoulement critique
A partir d’un certain nombre de Mach l’écoulement devient sonique à un point
particulier, l’écoulement s’appelle écoulement critique et le nombre de Mach
incident correspondant est le nombre de Mach critique. Le nombre de Mach
critique est plus faible sans angle d’attaque, pour le NACA0012. Le Mach
critique vaut à peu près 0.76, pendant que pour un angle d’attaque un premier
point sonique est atteint déjà pour Mach égal à 0.46 (voir …gure (13)).
Figure 13: Isosurfaces du nombre de Mach avec apparition du point critique.
(Mach 0.46, angle attaque = 7 )
Le premier point sonique se trouve à l’extrados si l’angle d’attaque du pro…l
est légèrement supérieur à zéro et à l’intrados dans le cas contraire. Cette
symétrie vient du fait qu’on a un pro…l parfaitement symétrique. Sans angle
32
d’attaque l’écoulement est symétrique, ils se forment deux points critiques à
l’intrados et à l’extrados en même temps et au même endroit. L’écoulement
critique est le début de l’apparition de chocs. En augmentant le nombre de Mach
légèrement au-dessus du nombre de Mach critique, il se forme un très petit minichoc qui fait passer l’écoulement en régime subsonique immédiatement après le
passage du point critique. Si on augmente encore l’angle d’attaque le point
critique apparaît déjà pour des nombres plus basses, car l’écoulement est encore
plus accéléré à cause de la courbure du pro…l.
4.1.3
Phase 3 : chocs droits
En augmentant le nombre de Mach le mini-choc devient un vrai choc qui peut
être approximé par un choc droit. Cette hypothèse est véri…ée dans la section
suivante. En réalité il ne s’agit pas d’un choc parfaitement droit car la surface
du pro…l NACA0012 n’est nullepart vraiment droite, mais courbé. Plus on
s’approche du bord de fuite l’hypothèse du choc droit s’approche à la réalité car
le pro…l devient presque plan dans cette région (voir …gure (14)). Si le nombre
de Mach incident augmente le choc se déplace le long du pro…l vers le bord de
fuite. En même temps l’intensité du choc augmente, c’est à dire la décélération
et l’augmentation de pression à travers du choc devient plus forte.
L’augmentation de l’intensité du choc se voit dans le …lm par un prolongement du choc (en s’éloignant de la plaque). En réalité le choc aurait une longueur
in…nie, mais à cause du calcul numérique interpolant qui se base sur un maillage qui devient plus grossière en s’éloignant de la paroi, il disparaît au fur et à
mesure quand la distance à la paroi augmente. Cet e¤et numérique rapproche en
e¤et le calcul eulérien au ‡uide réel. En réalité les e¤ets de la viscosité causent
un e¤et comparable. Il est clair que la disparition du choc est seulement qualitativement présente dans le …lm par amortissement numérique, car en réalité
ceci serait fonction de la visocité du ‡uide.
4.1.4
Phase 4 : chocs obliques
En augmentant encore le nombre de Mach le (angle d’attaque de 7 ) ou les
(angle d’attaque de 0 ) choc(s) droit(s) arrivent au bord de fuite. Car il est
impossible pour le choc de s’éloigner encore plus il reste attaché au bord de fuite
et commence de s’incliner pour un nombre de Mach augmentant. Le choque est
forcément attaché au pro…l parce qu’on travaille avec des calculs Euleriens qui
ne modélisent pas de couche limite.Ce choc peut être approximé par un choc
oblique si on reste relativement proche de la paroi, ce qui est montré dans la
section suivante (véri…cations numériques).
On peut encore observer le phénomène d’amortissement de choc à cause
du calcul numérique interpolant en s’éloignant du bord de fuite. Dans le …lm
on voit un paire de choc pour un angle d’attaque qui vaut zéro et un choc
à l’extrados pour un angle d’attaque de 7 . Deux chocs obliques au bord de
fuite apparaissent seulement si l’angle d’attaque est très faible ou zéro. Pour
un angle d’attaque de 7 degrés on a un cas spécial, car l’angle d’inclinaison du
33
Figure 14: Isosurfaces du nombre de Mach avec apparition de deux chocs droits
symétriques. (Mach 0.84, angle attaque = 0 )
pro…l NACA0012 au bord de fuite vaut environ 8 . L’écoulement n’est donc
presque pas dévié à l’intrados à la …n du pro…l. Pour des angles d’attaque plus
élevés, l’écoulement n’est pas alignée avec la direction de l’écoulement extérieur
au bord de fuite, on a donc apparition d’une zone de détente avec des ondes de
détentes. Les ondes de détentes sont représentés sur la …gure (15).
4.1.5
Phase 5 : Choc de décélération
Comme on peut voir dans la …gure (15), à partir d’un certain nombre de Mach il
se forme un choc de décélération devant le pro…l. Pour un angle d’attaque de zéro
et sept degrés cette onde de décélération est visible dans le …lm à partir de Mach
environ égal à 1.2. Cette choc se forme à cause du pro…l qui exige une vitesse
nulle du ‡uide au bord d’attaque (point d’attêt) et donc une vitesse clairement
subsonique dans le voisinage du bord d’attaque. Le ‡uide incident à une vitesse
supersonique doit donc obligatoirement passer par un choc pour arriver à des
vitesses subsoniques. Une fois le ‡uide a quitté la région du bord d’attaque il est
ré-accéléré à une vitesse supersonique (passage à travers la ligne sonique, voir
34
Figure 15: Isosurfaces du pression avec apparition d’un choc de décélération
avant le pro…l, un choc oblique au bord de fuite (extrados) un une zone de
détente. (Mach 1.4, angle attaque = 14 )
…gure (16)). Si on continue à augmenter le nombre de Mach incident l’onde de
décélération devant le pro…l se rapproche de celui-ci et le choc oblique au bord
de fuite continue à s’incliner. En même temps l’intensité des chocs augmente
5
Evolution du coe¢ cient de portance, de traînée
du moment en fonction du nombre de Mach
En utilisant le programme Matlab qui calcule les coe¢ cients cm ; cd ;et cl pour
un nombre de Mach et un angle d’attaque donné. En e¤ectuant ces calculs
pour des nombres de Mach allant de 0.4 à 1.5 on peut générer les courbes
suivantes qui expriment les coe¢ cients en fonction du nombre de Mach. Dans
les trois paragraphes suivants les résultats seront présentés et analysés. Pour
interpréter la fonction du coe¢ cient de traînée il est primordial de distinguer
entre la traînée de forme et la traînée due à la viscosité. Les courbes présentées
35
Figure 16: zones sub- et supersoniques autour du pro…l NACA0012 pour un
écoulement incident supersonique (M>1.2)
dans les …gures (17), (18) et (19) représentent l’évolution de la traînée de forme
sans tenir compte de la viscosité car les calculs étaient e¤ectués pour un ‡uide
non-visqueux (Wombat).
5.1
Coe¢ cient de traînée
L’évolution du coe¢ cient de traînée pour un angle d’attaque de zéro et de sept
degrés à l’allure suivante:
En considérant la courbe pour l’angle d’attaque zéro on voit que le coe¢ cient
de traînée reste plus ou moins constant jusqu’à un nombre de Mach d’environ
0.8 Théoriquement le coe¢ cient devrait augmenter légèrment. La raison pour
les ‡uctuations sur la …gure (17) sont donc des bruits numériques lors du calcul du coe¢ cient. Il est important de remarquer que les échelles de l’axe y
(coe¢ cient de traînée) sur les deux graphiques sur la …gure (17) n’est pas la
même, donc les amplitudes du bruit sur le graphique gauche sont quand même
relativement faibles. Conformément aux explications dans le paragraphe 4.1
l’écoulement est en régime subsonique jusqu’à Mach égal 0.8 qui le nombre de
Mach critique. Il y a donc aucun choc dans cette zone. C’est l’apparition du
choc droit à l’intrados et à l’extrados du pro…l qui fait augmenter la traînée
rapidement. La traînée croit car l’intensité du choc augmente quand le nombre
de Mach incident augmente. Un choc signi…e une résistance à l’avancement.
36
Figure 17: Coe¢ cient de trainée en fonction du nombre de Mach pour angle
d’attaque de 0 et 7 .
La courbe arrête à croître pour un nombre de Mach d’environ 0.94, qui correspond à la vitesse pour laquelle le choc droit est arrivé au bord de fuite du
pro…l ou il reste attaché. Le choc droit se transformer en un choc oblique qui
a une résistance qui reste constant ou décroît légèrement avec l’augmentation
de l’inclinaison du choc (augmentation du nombre de Mach). Ce raisonnement
est évidemment seulement valable pour la traînée de forme, et c’est là ou on
observerait la principale di¤érence avec un écoulement visqueux. La courbe
serait semblable jusqu’au moment auquel le choc arrive au bord de fuite, mais
la traînée continuerait à augmenter pour un ‡uide visqueux au lieu de diminuer.
La résistance du choc oblique augmente à cause des e¤ets visqueux. Il est clair
que la traînée serait généralement supérieure en tenant compte de la viscosité.
Exactement le même raisonnement est applicable au graphique pour l’angle
d’attaque de 7 . L’évolution du coe¢ cient de traînée est simplement déplacée
vers des nombres de Mach plus faibles: Pour un angle d’attaque on arrive déjà à
l’écoulement critique pour un nombre de Mach d’environ 0.46 (voir paragraphe
4.1). Donc, la courbe commence à monter déjà à partir de cette valeur. Le choc
droit arrive au bord de fuite pour Mach égal à 0.9, comme pour le pro…l sans
angle d’attaque.
37
5.2
Coe¢ cient de portance
L’évolution du coe¢ cient de portance pour un angle d’attaque de zéro et de
sept degrés à l’allure suivante :
Figure 18: Coe¢ cient de portance en fonction du nombre de Mach pour angle
d’attaque de 0 et 7 .
A cause de la symmétrie du pro…l NACA0012 le coe¢ cient de portance
devrait théoriquement être égal à zéro pour tout nombre de Mach pour le pro…l
sans attaque. On voit sur le graphique de gauche sur la …gure (18) que le
coe¢ cient de portance reste plus ou moins constant (L’incrément sur l’échelle
de l’axe y est très faible). Les ‡uctuations sont à cause des bruits numériques
du calcul. Leur amplitude des erreurs est très importante dans la même région
de nombre de Mach que pour le coe¢ cient de traînée (de 0.6 à 0.8).
Le comportement est par contre complètement di¤érent pour un angle d’attaque
de 7 . A partir de l’écoulement critique (Mach = 0.46, voir paragraphe 4.1) la
portance commence à augmenter, car la vitesse à l’extrados continue à diminuer. En conséquence la pression diminue et la portance augmente. Cet e¤et est
plus important jusqu’à Mach égal à 0.8 comparé à l’e¤et antagoniste du choc.
La pression après un choc est plus grande à cause de la décélération du ‡uide,
ce qui diminue la portance. Jusqu’à Mach égal à 0.8 le choc n’est pas encore
très fort, c’est pourquoi la portance augmente. La pression à l’intrados joue un
rôle inférieure car avec un angle d’attaque de 7 la …n du pro…l à l’intrados est
presque aligné avec la direction de l’écoulement extérieur. A partir de Mach
égal à 0.8 l’augmentation de la pression dans la zone après le choc droit est trop
38
forte est donc la portance diminue. En plus la pression à l’intrados continue à
diminuer à cause de l’augmentation de la vitesse, ce qui tire le pro…l vers le bas.
Et c’est cet e¤et qui continue à diminuer la portance pour des nombres de Mach
croissantes. A partir de Mach égal à 1.2 le choc de décélération devant le pro…l
commence à être important (voir paragraphe 4.1).
La viscosité a un e¤et beaucoup moins important pour le coe¢ cient de la
portance que pour le coe¢ cient de la traînée. Ceci est que la composante dans la
direction horizontale de la contrainte pariétale (frottement) provoqué par la viscosité du ‡uide (couche limite) est beaucoup plus grande que la composante dans
la direction verticale. Cette composante verticale de la contrainte à cause du
frottement jouerait seulement un rôle mineur dans la région du bord d’attaque.
5.3
Coe¢ cient du moment
L’évolution du moment de traînée pour un angle d’attaque de zéro et de sept
degrés à l’allure suivante:
Figure 19: Coe¢ cient de portance en fonction du nombre de Mach pour angle
d’attaque de 0 et 7 .
A cause de la symétrie du pro…l NACA0012 le coe¢ cient du moment devrait
théoriquement être égale à zéro pour tout nombre de Mach pour le pro…l sans
attaque. On voit sur le graphique de gauche sur la …gure (19) que le coe¢ cient
de portance reste plus ou moins constant (L’incrément sur l’échelle de l’axe y
est très faible). Les ‡uctuations sont causé par les bruits numériques du calcul.
Leur amplitude des erreurs est très importante dans la même région de nombre
de Mach que pour le coe¢ cient de traînée (de 0.6 à 0.8).
39
La courbe du coe¢ cient du moment pour un angle d’attaque de 7 diminue
à partir du Mach critique égal à 0.46 (voir paragraphe 4.1). Le choc droit qui se
forme à partir de ce point provoque une pression supérieure après le choc, c’est
à dire dans la région du bord de fuite à l’extrados. La di¤érence de pression
entre extrados et intrados à la …n du pro…l provoque une force vers le bas qui
est la raison pour le moment négatif. La courbe atteint un minimum avant que
le choc droit à l’extrados a atteint le bord de fuite. A cette position le choc est
encore assez loin du bord de fuite mais la chute de pression à travers le choc est
déjà tellement forte que le moment négatif devient maximal. Une fois le choc
droit arrive au bord de fuite cet e¤et disparaît et le coe¢ cient est à peu prés au
même niveau que pour l’écoulement critique. Si on augmente encore le nombre
de Mach le coe¢ cient du moment se rapproche à zéro.
De nouveau se raisonnement est valable pour les ‡uides non visqueux. Dans
le cas du coe¢ cient du moment la courbe tenant compte de la viscosité ne
serait pas essentiellement di¤érente, car ceci pour la même raison que pour le
coe¢ cient de portance.
6
Véri…caitons des résultats expérimentaux de
Wombat
Les résultats sont présentés dans la même manière pour les trois paragraphes
suivants. L’exposition des mesures expérimentales et relevées manuellement à
l’aide de Field Viewer est suivie d’une comparaison avec les résultats analytiques
pour les chocs. L’approximation des chocs par des chocs droits et obliques
rend possible cette comparaison entre mesure et analyse. Pour réaliser ceci une
grandeur physique est mesuré jusqu’avant et après le choc. Ceci su¢ t car on se
base sur l’hypothèse suivante :
En suivant une ligne de courant l’écoulement est considéré (approximation)
comme étant isentropiqur jusqu’au choc, qui lui-même augmente l’entropie. La
partie de la ligne de courant après le choc est de nouveau considérée comme
étant isentrope jusqu’à l’in…ni.
Pour augmenter la précision, toutes les valeurs expérimentales sont des
moyennes arithmétiques basées sur trois mesures ponctuelles dans cette zone
d’intérêt qui comporte les deux côtés du choc (dé…nie di¤éremment pour chaque
image).
6.1
Relations théoriques
Les relations utilisés pour e¤ectuer la comparaison entre théorie et mesure sont
énoncées dans le cours sur les ‡uides compressibles de Dr. Alain Drotz [18] dans
lequel se trouvent plus de détails sur la dérivation. On donne ici juste un résumé
condensé.
Toutes les relations se basent sur les 5 relations suivantes qui découlent des
relations fondamentales établies pour un choc droit en général.
40
1. Conservation de la masse
1 vn;1
=
2 vn;2
() [ vn ] = 0
(17)
2. Conservation de la quantité de mouvement
p1 +
2
1 vn;1
= p2 +
2
2 vn;2
() [p + vn2 ] = 0
(18)
et
vt;1 = vt;2 () [vt ] = 0
(19)
3. Equation d’énergie
h1 +
2
2
vn;1
vn;2
v2
= h2 +
() [h + n ] = 0
2
2
2
(20)
4. Equation d’état (gaz-parfait)
p = rT
(21)
5. relatoin thermodynamique (gaz-parfait)
h = cp T
(22)
On considère les équations du choc sous leur forme valable dans le référentiel
attaché au choc. Des manipulations analytiques de ces cinq équations fondamentales amènes aux expressions qui relient le nombre de Mach, la température
dynamique et totale, la pression dynamique et totale, la densité et l’entropie
avant le choc avec les valeurs correspondantes après le choc.
Remarque concernant la notation : les indices 1 et 2 (avant et après
le choc) se refèrent toujours aux valeurs mesurées à l’aide de Field-Viewer, les
valeurs théoriques ont un indice "théorique". Lors de la comparaison numérique
de la théorie avec la réalité, on utilise pour le calcul des grandeurs théoriques les
valeurs expérimentales pour l’amont du choc pendant que les valeurs calculées
théoriquement sont utilisés pour les grandeurs à l’aval du choc.
Pour le changement du nombre de Mach à travers le choc, la manipulation des
c
5 relations fondamentales donne avec = cvp :
s
1 + 2 1 M12
M2 =
(23)
1
M12
2
Pour le changement de la densité à travers le choc on trouve:
"
#
1 + M12 1 + 2 1 M22
2 = 1
(1 + M22 ) 1 + 2 1 M12
(24)
La manipulation des 5 relations fondamentales et des relations précédentes
donne pour le changement de la température à travers le choc la relation suivante:
41
T2 = T1
"
1 + 2 1 M12
2
1 + 2 1 M2_theorique
#
(25)
Des 5 relations fondamentales et des relations précédentes on peut déduire
la relation suivante pour calculer le changement de la pression à travers le choc:
p2 = p 1 1 +
2
M12
+1
1)
(26)
Le changement de la pression totale à travers le choc droit peut se calculer
à l’aide de la relation suivante, tirés des relations précédentes et des 5 relations
fondamentales:
3
2
2
+1
1
+1
1
M1
2
5
p02 = p01 4
1
1
1
1
1
2
1 + 2 M1
M12
2
Un dévelopement montre que la température totale reste constante à travers
le choc droit:
T02 = T01
Le changement d’entropie peut être calculé à partir des relations (25) et (24).
On trouve après simpli…cations:
s2 = s1 + ln
1+
2
M12
+1
1
1
2
+1
M12 1
M12
(27)
Pour les chocs obliques on peut utiliser les mêmes relations que pour le choc
droit simplement en remplaçant M1 par sa composante normale au choc Mn1.
En plus on a besoin d’une relation qui relie l’angle avec l’angle d’inclinaison
du choc ’:
tan = 2 cot
0
M12 sin( 0 ) 1
+ cot(2 0 )) + 2
M12 (
L’erreur était calculée avec la grandeur théorique comme référence:
=
grandeur2_theorique grandeur2
grandeur2_theorique
42
(28)
6.2
Image 1 : angle attaque = 7, nombre de Mach = 0.8
La con…guration avec un angle d’attaque de 7 et un nombre de Mach incident
de 0.8 provoque un choc à l’extrados du pro…l NACA0012, qui se trouve à
environ 80% de la corde. Ce choc est approximé par un choc droit. Ce sont
donc les relations analytiques pour un choc droit qui servent comme référence
pour la comparaison. Ceci est une approximation relativement raisonnable car
le pro…l du NACA0012 est presque plat à l’endroit du choc. Il est clair que il
faut rester relativement proche du pro…l pour que cette hypothèse soit valable.
Par conséquent la zone d’intérêt (volume de control) pour la mesure des
valeurs expérimentales pour le cas présent comporte des points des deux côtés
du choc qui se trouvent pas trop loin de la paraoi mais qui ne se trouvent non
plus trop proches. Cette distance correspond à environ 0.5cm sur les …gures
(20) et (21).
A l’aide des isolignes de pression la …gure (20) met clairement en évidence le
choc qui se produit à l’extrados du pro…l. Ce choc se produit car l’écoulement à
l’extrado est accéléré à des vitesses supérieures que la vitesse du son (voir …gure
(21)). C’est le gradient de pression qui est responsable pour cette accélération
à des nombres de Mach plus grand que l’unité. Comme le nombre de Mach
in…ni vaut 0.8 l’écoulement est obligé de ralentir à cette vitesse subsonique pour
s’adapter à l’écoulement qui a passé par l’intrados. Cette décélération supersubsonique est réalisée uniquement à travers d’une onde de choc. Cette onde
de choc ne provoque pas seulement l’adaptions de la vitesse mais aussi tous les
grandeur physiques à l’exception de la température totale, sont transformés de
manière immédiate. Il ne se forme pas d’onde de choc, car la vitesse ne dépasse
pas la vitesse du son, en conséquence la décélération via un choc ne s’impose
pas.
La …gure 21 montre aussi bien le point d’arrêt au bord d’attaque du pro…l.
C’est à cet endroit ou on peut mesurer la pression totale, car le ‡uide est au
repos.
Un autre aspect physique qui peut être mise en évidence facilement sont
les lignes de contact qui se forment horizontalement à partir du bord de fuite.
Le ‡uide qui passe par l’extados du pro…l doit obligatoirement passer par un
choc, son entropie varie donc évidemment. Par contre le ‡uide qui passe par
l’intrados ne travers aucun choc. L’hypothèse des écoulements isentrops conduit
à dire que l’entropie reste inchangée. Au bord de fuite l’entropie du ‡uide qui
est passé par l’extrados ne correspond pas au ‡uide qui est passé par l’intrados.
Par suite, il existe une ligne où on a un saut d’entropie à pression constante et
où la direction de la vitesse est la même (voir …gure (23)), c’est une ligne ou
surface de contact.
Le raisonnement via l’entropie est aussi valable pour la pression totale. Le
‡uide traversant le choc à l’extrados subit un changement de pression totale
comme ceci est représenté dans la …gure (22). Par contre le ‡uide qui passe par
l’intrados reste à pression totale constante. La séparation de cette di¤érence de
43
Figure 20: Isolines de pression autour du pro…l NACA0012 avec apparition de
choc (angle d’attaque = 7 .Mach=0.8)
pression totale est la ligne ou surface de contact qui commence au bord de fuite
du pro…l.
Comme on peut observer sur la …gure (22) et (23) la ligne de contact disparaît
lentement au fur et à mesure quand on s’éloigne du bord de fuite du pro…l. Ceci
est à cause de l’amortissement numérique. Si on avait un maillage in…niment
…n la ligne de contact ne disparaîtrait pas. Mais comme un élément du maillage
couvre les deux côtés de la ligne de contact, les valeurs numériques des deux
côtés sont mélangés. Si ceci arrive plusieurs fois en suite, la ligne de contact
disparaît et la di¤érence est lentement égalisée. Ceci est un e¤et qui rend le
calcul plus proche à la réalité. Ce sont les e¤ets visqueux qui provoquent un
e¤et comparable en réalité, donc qualitativement on arrive au même résultat,
même si le calcul est fait avec les équations d’Euler qui ne tiennent pas compte
de la viscosité. Il est clair que les valeurs numériques ne sont pas cohérents
avec la réalité, on a seulement a¤aire à une cohérence qualitative entre calcul
numérique eulérien et ‡uide visceux réel. Comme cet e¤et numérique dépend
du maillage, la longueur de cette ligne de contact augmente si on augmente le
44
Figure 21: Isolines du nombre de Mach autour du pro…l NACA0012 avec apparition de choc (angle d’attaque = 7 .Mach=0.8)
45
Figure 22: Isolines de pression totale autour du pro…l NACA0012 avec apparition de choc (angle d’attaque = 7 .Mach=0.8)
nombre de ra¢ nements et le nombre d’itérations maximaux, ce qui provoque
un a¢ nement du maillage.
Dans l’exemple présent le choc se trouve entre le bord d’attaque et le bord
de fuite, en augmentant le nombre de Mach de référence le choc se déplace vers
le bord de fuite, mais y reste attaché.
Pour montrer l’e¤et du nombre de ra¢ nements, on a analysé trois résultats
de calcul de Wombat (pour le cas présent) pour un nombre de ra¢ nements
allant de 1 à 4. La première mesure expérimentale se base sur un calcul e¤ectué
avec deux ra¢ nements:
6.2.1
Mesure expérimentale I (2 ra¢ nements)
Les mesures expérimentales présentées dans ce paragraphe ont été calculées par
Wombat avec les entrées suivantes:
Pro…l: NACA0012
Level: Beginner
Mach reference: 0.8
46
Figure 23: Isolines d’entropie autour du pro…l NACA0012 avec apparition de
choc (angle d’attaque = 7 .Mach=0.8)
Angle of attack: 7
Number of re…nements: 2
Solver iterations maximum: 500
Tableau avec les valeurs numériques mesurées avec Wombat Field Viewer:
Grandeur physique
T [K]
P [P a]
M [ ]
kg
[m
3]
J
s [ K kg ]
P0 [P a]
T0 [K]
Avant le choc (indice 1)
198.9
33395
1.65
0.58
5013.8
154100
307
Après le choc (indice 2)
282.1
100185
0.66
1.23
5049.4
134000
306.2
avec les valeurs thermodynamiques de l’in…ni (référence) suivantes :
47
Pinf [P a]
Tinf [K]
Minf [ ]
cv [ kgJK ]
cp [ kgJK ]
101300
273.15
0.8
720.50
1008.70
Ceci correspond à une valeur de 1.4 pour . La pression in…nie correspond
à la pression de l’écoulement à l’in…ni et à Mach 0.8, la pression totale est donc
supérieure à la pression in…nie qui tient compte de la vitesse via la relation de
Bernoulli.
Résultats et Interprétation
En utilisant les relations du paragraphe traitant la véri…cation par les relations
théoriques, on obtient les résultats suivants.
---------------------------------------------------------Nombre de Mach M2 theorique:
0.65396 [-]
Nombre de Mach M2 reel:
0.66 [-]
Erreur:
0.92385%
---------------------------------------------------------Densite rho2 theorique:
1.2268 [kg/m^3]
Densite rho2 reele:
1.23 [kg/m^3]
Erreur:
0.25727%
---------------------------------------------------------Temperature T2 theorique:
282.9958 [K]
Temperature T2 reele:
282.1 [K]
Erreur:
0.31653%
---------------------------------------------------------Pression P2 theorique:
100505.0354 [Pa]
Pression P2 reele:
100185 [Pa]
Erreur:
0.31843%
---------------------------------------------------------Pression totale P02 theorique: 134989.8088 [Pa]
Pression totale P02 reele:
134000 [Pa]
Erreur:
0.73325%
---------------------------------------------------------Temp. totale T02 theorique:
307 [K]
Temp. totale T02 reel:
306.2 [K]
Erreur:
0.26059%
---------------------------------------------------------Entropie s2 theorique:
5051.9584 [J/(K*kg)]
Entropie s2 reele:
5049.4 [J/(K*kg)]
Erreur:
0.050642%
---------------------------------------------------------48
Somme des erreurs:
Erreur moyenne:
Erreur maximal:
Erreur minimal:
2.8606%
0.40865%
0.92385%
0.050642%
Les erreurs calculés se trouvent tous entre 0.05% et 0.92%, avec une erreur
moyenne de 0.41%, ce qui met en évidence que l’hypothèse du choc droit est
absolument justi…é, la corrélation entre théorie et calcul numérique est très
haute, même si le calcul se base seulement sur 2 ra¢ nements. Ceci montre
aussi que les calculs de Wombat, basées sur 2 ra¢ nements apportent déjà une
assez bonne précision qui est su¢ sante pour les premiers calculs d’ingénieur.
La précision peut encore améliorée si le nombre de ra¢ nements ou le nombre
maximal de ra¢ nements sont encore augmentés. L’e¤et sur une augmentation
du nombre de ra¢ nement est analysé dans le prochain paragraphe:
6.2.2
Mesure expérimentale II (4 ra¢ nements)
Les mesures expérimentales présentées dans ce paragraphe ont été calculées par
Wombat avec les entrées suivantes:
Pro…l: NACA0012
Level: Beginner
Mach reference: 0.8
Angle of attack: 7
Number of re…nements: 4
Solver iterations maximum: 500
Tableau avec les valeurs numériques mesurées avec Wombat Field Viewer:
Grandeur physique
T [K]
P [P a]
M [ ]
kg
[m
3]
s [ KJkg ]
P0 [P a]
T0 [K]
Avant le choc (indice 1)
198.36
32938
1.66
0.58
5012.5
154200
308.1
Après le choc (indice 2)
283.37
100103
0.65
1.23
5054.2
133600
307.5
avec les valeurs thermodynamiques à l’in…ni (référence) suivantes :
Pinf [P a] 101300
Tinf [K]
273.15
Minf [ ]
0.8
J
cv [ kg K ]
720.50
cp [ kgJK ] 1008.70
49
Ceci correspond à une valeur de 1.4 pour Kappa. La pression in…nie correspond à la pression de l’écoulement à l’in…ni et à Mach 0.8, la pression totale est
donc supérieure à la pression in…ni qui tient compte de la vitesse via la relation
de Bernoulli.
Résultats et Interprétation En utilisant les relations du paragraphe
traitant la véri…cation par les relations théoriques, on obtient les résultats suivants.
------------------------------------------------------Nombre de Mach M2 theorique:
0.65119 [-]
Nombre de Mach M2 reel:
0.65 [-]
Erreur:
0.18335%
------------------------------------------------------Densite rho2 theorique:
1.2365 [kg/m^3]
Densite rho2 reele:
1.23 [kg/m^3]
Erreur:
0.52245%
------------------------------------------------------Temperature T2 theorique:
283.6257 [K]
Temperature T2 reele:
283.37 [K]
Erreur:
0.090143%
------------------------------------------------------Pression P2 theorique:
100400.6971 [Pa]
Pression P2 reele:
100103.12 [Pa]
Erreur:
0.29639%
------------------------------------------------------Pression totale P02 theorique: 134464.553 [Pa]
Pression totale P02 reele:
133600 [Pa]
Erreur:
0.64296%
------------------------------------------------------Temp. totale T02 theorique:
308.1 [K]
Temp. totale T02 reele:
307.5 [K]
Erreur:
0.19474%
------------------------------------------------------Entopie s2 theorique:
5051.9189 [J/(K*kg)]
Entropie s2 reele:
5054.24 [J/(K*kg)]
Erreur:
0.045944%
------------------------------------------------------Somme des erreurs:
1.976%
Erreur moyenne:
0.28228%
Erreur maximale:
0.64296%
Erreur minimale:
0.045944%
------------------------------------------------------L’interprétation se trouve après les résultats du calcul avec un seul ra¢ nement. L’e¤et d’une diminution du nombre de ra¢ nements à 1 est montré dans
50
le paragraphe suivant:
6.2.3
Mesure expérimentale III (1 ra¢ nement)
Les mesures expérimentales présentées dans ce paragraphe ont été calculées par
Wombat avec les entrées suivantes:
Pro…l: NACA0012
Level: Beginner
Mach reference: 0.8
Angle of attack: 7
Number of re…nements: 1
Solver iterations maximum: 500
Tableau avec les valeurs numériques mesurées avec Wombat Field Viewer:
Grandeur physique
T [K]
P [P a]
M [ ]
kg
[m
3]
s [ KJkg ]
P0 [P a]
T0 [K]
Avant le choc (indice 1)
200.42
33706
1.64
0.58
5018.6
152000
307.5
Après le choc (indice 2)
285.13
100709
0.63
1.23
5058.8
131800
308.3
avec les valeurs thermodynamiques à l’in…ni (référence) suivantes :
Pinf [P a] 101300
Tinf [K]
273.15
Minf [ ]
0.8
cv [ kgJK ]
720.50
cp [ kgJK ] 1008.70
Ceci correspond à une valeur de 1.4 pour Kappa. La pression in…nie correspond à la pression de l’écoulement à l’in…ni et à Mach 0.8, la pression totale est
donc supérieure à la pression in…ni qui tient compte de la vitesse via la relation
de Bernoulli.
Résultats et Interprétation
En utilisant les relations du paragraphe traitant la véri…cation par les relations
théoriques, on obtient les résultats suivants.
51
---------------------------------------------------------Nombre de Mach M2 theorique:
0.65677 [-]
Nombre de Mach M2 reel:
0.63 [-]
Erreur:
4.0753%
---------------------------------------------------------Densite rho2 theorique:
1.2172 [kg/m^3]
Densite rho2 reele:
1.23 [kg/m^3]
Erreur:
1.0513%
---------------------------------------------------------Temperature T2 theorique:
283.7512 [K]
Temperature T2 reele:
285.13 [K]
Erreur:
0.48591%
---------------------------------------------------------Pression P2 theorique:
100146.1976 [Pa]
Pression P2 reele:
100708.8 [Pa]
Erreur:
0.56178%
---------------------------------------------------------Pression totale P02 theorique: 133747.928 [Pa]
Pression totale P02 reele:
131800 [Pa]
Erreur:
1.4564%
---------------------------------------------------------Temp. totale T02 theorique:
307.5 [K]
Temp. totale T02 reele:
308.3 [K]
Erreur:
0.26016%
---------------------------------------------------------Entropie s2 theorique:
5055.4676 [J/(K*kg)]
Entropie s2 reele:
5058.75 [J/(K*kg)]
Erreur:
0.064928%
---------------------------------------------------------Somme des erreurs: 7.9558%
Erreur moyenne:
1.1365%
Erreur maximal:
4.0753%
Erreur minimal:
0.064928%
Les deux calculs précédents avec deux ra¢ nements di¤érents mettent en évidence que l’augmentation du ra¢ nement augmente la précision. Il est important
de voir l’amélioration des valeurs en passant de 1 à 2 ra¢ nements et beaucoup
plus prononcée que l’amélioration obtenue en passant de deux à trois ra¢ nements. Ce sont surtout la somme des erreurs et l’erreur moyenne qui montre
clairement cette tendance. La précision lors d’un seul ra¢ nement n’est pas très
mauvaise et pourrait être su¢ sante pour des tous premiers calculs pour obtenir
une idée de l’écoulement, surtout si on est confronté à de grandes quantités
de calcul à e¤ectuer. L’erreur peut devenir inacceptable en descendant à zéro
ra¢ nements, pendant que le taux d’amélioration devient de plus en plus faible
en augmentant jusqu’à un calcul avec par exemple 10 ra¢ nements du maillage.
52
La précision avec deux ra¢ nements est jugée su¢ samment élevée pour des
comparaisons entre les résultas du calcul numérique et les relations théoriques et
c’est pourquoi les comparaisons dans les deux paragraphes suivants sont faites
avec 2 ra¢ nements. L’augmentation de la précision apportée par l’augmentation
de du nombre de ra¢ nements est annulée par les incertitudes lors de la mesure
expérimentale manuelle à l’aide de Field Viewer.
6.3
Image 2 : angle attaque = 0, Nombre de Mach = 1.1
La con…guration avec un angle d’attaque de 0 et un nombre de Mach incident de
1.1 provoque deux chocs symétriques au bord de fuite du pro…l NACA0012 (voir
…gure (24)) La symétrie est provoquée par l’angle d’attaque zéro. Ces deux chocs
peuvent être approximés par des chocs obliques. Cette supposition se base sur
l’inspection de l’image sur la …gure (24). Ce sont donc les relations analytiques
pour un choc obliques qui servent comme référence pour la comparaison entre
théorie et réalité. Pour la comparaison avec les relations analytiques du choc
oblique il est important de rester relativement proche du pro…l pour minimiser
l’erreur. Dans le cas présent la zone d’intérêt (volume de control) pour la mesure
des valeurs expérimentales comporte des points des deux côtés du choc qui ne
se trouvent pas trop loin de pro…l.
Sur la …gure (24) on voit clairement apparaître le point d’arrêt au bord
d’attaque du pro…l. La ligne de courant qui arrive à l’axe de symétrie du pro…l
contient un point d’arrêt parfait. À cette endroit la pression est égale à la
pression totale de l’écoulement.
6.3.1
Mesure expérimentale I (2 ra¢ nements)
Les mesures expérimentales présentées dans ce paragraphe ont été calculées par
Wombat avec les entrées suivantes:
Pro…l: NACA0012
Level: Beginner
Mach reference: 1.1
Angle of attack: 0
Number of re…nements: 2
Solver iterations maximum: 500
Tableau avec les valeurs numériques mesurées avec Wombat Field Viewer:
53
Figure 24: Isolines de pression autour du pro…l NACA0012 avec apparition de
choc (angle d’attaque = 0 .Mach=1.1)
Grandeur physique
T [K]
P [P a]
M [ ]
kg
[m
3]
s [ KJkg ]
P0 [P a]
T0 [K]
0
[ ]
[ ]
Avant le choc (indice 1)
236.19
61096
1.47
0.90
5015.7
216000
339.8
Après le choc (indice 2)
267.0
91761
1.17
1.20
5017.28
214700
339.7
48
7.98
avec les valeurs thermodynamiques à l’in…ni (référence) suivantes :
54
Pinf [P a]
Tinf [K]
Minf [ ]
cv [ kgJK ]
cp [ kgJK ]
101300
273.15
1.1
720.50
1008.70
Ceci correspond à une valeur de 1.4 pour . La pression in…nie correspond
à la pression de l’écoulement à l’in…ni et à Mach 1.1, la pression totale est donc
supérieure à la pression in…nie qui tient compte de la vitesse via la relation de
Bernoulli.
Figure 25: Angle ’et angle de déviation d’un choc oblique au bord de fuite
du pro…l NACA 12 (angle d’attaque = 0 , Mach=1.1)
Résultats et Interprétation
Le point de départ (entrée) pour ce calcul de choc oblique est le nombre de
Mach incident M1 et l’angle de déviation qui découle de la géométrie du pro…l
NACA qui permets (avec la valeur de ) de calculer tous les grandeurs après le
choc oblique. On a choisi l’angle comme entrée primaire parce que cet angle
55
peut être calculé analytiquement, il correspond à l’arctangent de la dérivé à la
…n du pro…l NACA 12 dont on connaît la fonction analytique.La grandeur ’
peut être calculé avec la relation (28) est sert donc directement comme grandeur
de comparaison pour l’analyse du choc. En utilisant les relations du paragraphe
traitant la véri…cation par les relations théoriques, on obtient les résultats suivants :
--------------------------------------------------------Beta theorique:
53.5734[deg]
Beta reel:
49[deg]
Erreur:
8.5367%
---------------------------------------------------------Nombre de Mach M2 theorique:
1.2082 [-]
Nombre de Mach M2 reel:
1.17 [-]
Erreur:
3.1603%
---------------------------------------------------------Densite rho2 theorique:
1.1931 [kg/m^3]
Densite rho2 reele:
1.2 [kg/m^3]
Erreur:
0.57503%
---------------------------------------------------------Temperature T2 theorique:
265.0625 [K]
Temperature T2 reele:
266.98 [K]
Erreur:
0.72342%
---------------------------------------------------------Pression P2 theorique:
90896.6992 [Pa]
Pression P2 reele:
91761 [Pa]
Erreur:
0.95086%
---------------------------------------------------------Pression totale P02 theorique: 214627.5335 [Pa]
Pression totale P02 reele:
214700 [Pa]
Erreur:
0.033764%
---------------------------------------------------------Temp. totale T02 theorique:
339.8 [K]
Temp. totale T02 reele:
339.7 [K]
Erreur:
0.029429%
---------------------------------------------------------Entropie s2 theorique:
5017.5371 [J/(K*kg)]
Entropie s2 reele:
5017.28 [J/(K*kg)]
Erreur:
0.0051234%
---------------------------------------------------------Somme des erreurs: 14.0146%
Erreur moyenne:
1.7518%
Erreur maximal:
8.5367%
Erreur minimal:
0.0051234%
56
Les erreurs se trouvent avec une exception tous entre 0.03% et 3.2%. La
somme des erreurs est plus haute comparé au choc droit mais ceci est surtout
à cause de la valeur de M2 calculé théoriquement. L’erreur moyenne de 1.6%
met en évidence que l’hypothèse du choc oblique est très proche de la réalité.
Le calcul basé sur 2 ra¢ nements apporte moins de précision comparé au calcul
avec deux ra¢ nements pour le choc droit, mais donne des résultats relativement
précis qui sont su¢ sants pour les premiers calculs d’ingénieur. La précision peut
être améliorée si le nombre de ra¢ nements ou le nombre maximal d’itérations
sont augmentés.
6.3.2
Mesure expérimentale II (4 ra¢ nements)
L’e¤et sur une augmentation du nombre de ra¢ nement à 4 donne les résultats
suivants:
---------------------------------------------------------Beta theorique:
53.5734[deg]
Beta reel:
50[deg]
Erreur:
6.6701%
---------------------------------------------------------Nombre de Mach M2 theorique:
1.1945 [-]
Nombre de Mach M2 reel:
1.19 [-]
Erreur:
0.38017%
---------------------------------------------------------Densite rho2 theorique:
1.1806 [kg/m^3]
Densite rho2 reele:
1.19 [kg/m^3]
Erreur:
0.79764%
---------------------------------------------------------Temperature T2 theorique:
264.4282 [K]
Temperature T2 reele:
265.59 [K]
Erreur:
0.43938%
---------------------------------------------------------Pression P2 theorique:
90035.1075 [Pa]
Pression P2 reele:
90810 [Pa]
Erreur:
0.86066%
---------------------------------------------------------Pression totale P02 theorique: 214677.8573 [Pa]
Pression totale P02 reele:
214100 [Pa]
Erreur:
0.26917%
---------------------------------------------------------Temp. totale T02 theorique:
339.2 [K]
Temp. totale T02 reele:
339.1 [K]
Erreur:
0.029481%
---------------------------------------------------------Entropie s2 theorique:
5015.836 [J/(K*kg)]
Entropie s2 reele:
5016.25 [J/(K*kg)]
57
Erreur:
0.008253%
---------------------------------------------------------Somme des erreurs: 9.4548%
Erreur moyenne:
1.1819%
Erreur maximal:
6.6701%
Erreur minimal:
0.008253%
On voit que l’augmentation du nombre de ra¢ nement réduit l’erreur de 65%.
De ce point de vue on n’arrive pas à la même conclusion qu’à la …n du calcul
pour le choc droit: Suivant ce calcul l’augmentation du nombre de ra¢ nements
améliore mieux la précision. Une raison pour ceci est le fait que l’erreur total est
encore relativement élevé en calculant avec 2 ra¢ nements. De nouveau l’erreur
principal est à cause de l’angle ’. La source pricipale pour cette erreur est la
mesure manuelle de cet angle.
En calculant avec les relations pour un choc droit on obtient des sommes
d’erreur de 149% pour 2 ra¢ nements et de 151% pour 4 ra¢ nements, ce qui
montre clairement qu’il ne s’agit pas d’un choc droit.
6.4
Image 3 : angle attaque = 0, Nombre de Mach = 3.0
La con…guration avec un angle d’attaque de 7 et un nombre de Mach incident
de 3 provoque un choc de décélération avant le bord d’attaque et un choc au
bord de fuite à l’extrados. (voir …gure (26)) Le choc de décélération peut être
approximé par un choc droit juste exactement devant le bord d’attaque (le
point ou le choc est vertical). Si on s’éloigne de cette région centrale le choc
peut être approximé par un choc oblique. Pour la comparaison avec les relations
analytiques du choc droit il est important de faire les mesures très proches du
choc, car le ‡uide est ensuite encore décéléré jusqu’à une vitesse qui s’approche
de zéro proche du pro…l. Ceci n’est pas nécessaire si on ne se trouve pas devant
le pro…l.
Sur la …gure (26) on voit clairement apparaître le point d’arrêt au bord
d’attaque du pro…l. La ligne de courant qui arrive à l’axe de symmétrie du
pro…l contient un point d’arrêt parfait. À cet endroit la pression est égale à la
pression totale de l’écoulement.
6.4.1
Mesure expérimentale I (2 ra¢ nements, choc droit)
Les mesures expérimentales présentées dans ce paragraphe ont été calculées par
Wombat avec les entrées suivantes:
Pro…l: NACA0012
Level: Beginner
Mach reference: 3.0
Angle of attack: 7
Number of re…nements: 2
58
Figure 26: Isolines de pression autour du pro…l NACA0012 avec apparition de
choc de décélération (angle d’attaque = 7 .Mach=3)
Solver iterations maximum: 500
Tableau avec les valeurs numériques mesurées avec Wombat Field Viewer:
Grandeur physique
T [K]
P [P a]
M [ ]
kg
[m
3]
J
s [ K kg ]
P0 [P a]
T0 [K]
Avant le choc (indice 1)
272.4
101075
3.0
1.29
5011.8
374100
765
Après le choc (indice 2)
757.78
1076876
0.45
4.93
5362.02
118000
778
avec les valeurs thermodynamiques à l’in…ni (référence) suivantes :
59
Pinf [P a]
Tinf [K]
Minf [ ]
cv [ kgJK ]
cp [ kgJK ]
101300
273.15
3.0
720.50
1008.70
Ceci correspond à une valeur de 1.4 pour .
Résultats et Interprétation
Le point de départ (entrée) pour ce calcul de choc droit est le nombre de Mach
incident M1 qui permet (avec la valeur de ) de calculer toutes les grandeurs
après le choc. En utilisant les relations du paragraphe traitant la véri…cation
par les relations théoriques, on obtient les résultats suivants.
---------------------------------------------------------Nombre de Mach M2 theorique:
0.47519 [-]
Nombre de Mach M2 reel:
0.45 [-]
Erreur:
5.3012%
---------------------------------------------------------Densite rho2 theorique:
4.9757 [kg/m^3]
Densite rho2 reele:
4.93 [kg/m^3]
Erreur:
0.91875%
---------------------------------------------------------Temperature T2 theorique:
729.8701 [K]
Temperature T2 reele:
757.8 [K]
Erreur:
3.8267%
---------------------------------------------------------Pression P2 theorique:
1044441.6667 [Pa]
Pression P2 reele:
1076876 [Pa]
Erreur:
3.1054%
---------------------------------------------------------Pression totale P02 theorique: 122833.4486 [Pa]
Pression totale P02 reele:
118000 [Pa]
Erreur:
3.935%
---------------------------------------------------------Temp. totale T02 theorique:
765.2 [K]
Temp. totale T02 reele:
775.5 [K]
Erreur:
1.3461%
---------------------------------------------------------Entropie s2 theorique:
5332.7665 [J/(K*kg)]
Entropie s2 reele:
5362 [J/(K*kg)]
Erreur:
0.54819%
---------------------------------------------------------Somme des erreurs: 18.9813%
Erreur moyenne:
2.7116%
Erreur maximal:
5.3012%
60
Erreur minimal:
0.54819%
Comparé aux calculs dans les deux sections précédentes les erreurs sont
généralemets plus grandes dans le calcul présent. Mais la moyenne de 2.7% et le
maximum de 5.3% con…rment l’hypothèse d’un choc droit directement devant
le pro…l. Une raison pour les erreurs plus élevés est le fait que les grandeurs
phyisques changent très vite aussi après le choc et ne restent pas relativement
constants comme c’était le cas dans les comparaisons de choc dans les deux
paragraphes précédents. Analogue aux résultats précédents la précision peutêtre augmentée en augmentant le nombre de ra¢ nements ou le nombre maximal
d’itérations.
6.4.2
Mesure expérimentale II (2 ra¢ nements, choc oblique)
Pour e¤ectuer cette mesure il est important de ne pas s’éloigner trop du pro…l, car plus on s’éloigne du pro…l plus l’e¤et de l’amortissement numérique
est important. Théoriquement le choc devrait rester pareil jusqu’à l’in…ni, ce
qui n’est évidemment pas le cas (voir …gure (26)) à cause des interpolations
numériques faites lors du calcul. En plus le maillage devient de plus en plus
grand en s’éloignant du pro…l. Ces deux raisons falsi…ent le calcul numérique,
c’est pourquoi il faut rester relativement proche pour e¤ectuer les mesures. Le
domaine d’intérêt pour cette mesure est une partie du choc au dessous du pro…l
relativement proche de la paroi. Car il est impossible de déterminer l’angle de
déviation pour le choc en question, on a utilisé l’angle ’ comme deuxième
grandeur de départ (avec le nombre de Mach incident M1 ) L’angle ’peut être
déterminé sur la base du choc est les vecteurs de vitesses juste après le choc
(détermination graphique).
La base de donnée est exactement la même que lors de la mesure expérimentale du choc droit. Les mesures suivantes se réfèrent au choc en dessous du
pro…l:
---------------------------------------------------------Beta theorique:
34.5838[deg]
Beta reel:
35[deg]
Erreur:
1.2036%
---------------------------------------------------------Nombre de Mach M2 theorique:
2.1179 [-]
Nombre de Mach M2 reel:
2.08 [-]
Erreur:
1.7891%
---------------------------------------------------------Densite rho2 theorique:
2.841 [kg/m^3]
Densite rho2 reele:
2.31 [kg/m^3]
Erreur:
18.6917%
---------------------------------------------------------Temperature T2 theorique:
398.869 [K]
Temperature T2 reele:
413.68 [K]
61
Erreur:
3.7132%
---------------------------------------------------------Pression P2 theorique:
325850.0499 [Pa]
Pression P2 reele:
275531 [Pa]
Erreur:
15.4424%
---------------------------------------------------------Pression totale P02 theorique: 318147.2532 [Pa]
Pression totale P02 reele:
240000 [Pa]
Erreur:
24.5632%
---------------------------------------------------------Temp. totale T02 theorique:
764.9 [K]
Temp. totale T02 reele:
766 [K]
Erreur:
0.14381%
---------------------------------------------------------Entropie s2 theorique:
5058.9509 [J/(K*kg)]
Entropie s2 reele:
5144 [J/(K*kg)]
Erreur:
1.6812%
---------------------------------------------------------Somme des erreurs: 67.2282%
Erreur moyenne:
8.4035%
Erreur maximal:
24.5632%
Erreur minimal:
0.14381%
Par rapport aux erreurs calculés dans les paragraphes précédents, les erreurs deviennent beaucoup plus grandes en comparant le choc au-dessous du
pro…l avec un choc oblique. Surtout l’erreur maximale a une valeur intolérable,
pendant que la moyenne des erreurs reste en dessous de 10 . Si on calcule la
somme des erreurs avec les relations pour un choc droit on obtient une somme
totale d’environ 650%, ce qui montre que l’approximation par un choc oblique
est beaucoup plus proche de la réalité. Cet écart entre réalité a les raisons
principales suivantes:
Il était très di¢ cile de mesurer l’angle ’ qui servait comme grandeur de
départ (au lieu de ). La valeur de 35 est seulement une première approximation imprécise. En plus l’e¤et de l’amortissement numérique décrit plus haut
contribue aussi à l’écart entre mesure et théorie. Une autre raison est le fait que
le pro…l n’a pas une surface plane, donc le choc ne peut jamais être parfaitement
oblique (une ligne droite), car l’écoulement est continûment dévié par la paroi
ronde.
L’augmentation du nombre de ra¢ nement n’apporte pas de grande amélioration car la mesure de l’angle ’reste di¢ cile est donc source d’erreur principale.
7
Conclusion
Qu’est qu’on a appris?
Lors de ce projet nous sommes avons familiarisés avec les écoulements com62
pressibles dans le régime transsonique. On a obtenu une meilleure compréhension phénoménologique de se qui se passe autour un pro…l dans le domaine
transsonique. En même temps on s’est rendu compte de la di¢ culté de trouver des solutions analytiques qui expliquent exactement le comportement de
l’écoulement dans le régime transsonique. Ceci légitime aussi des travaux sur
les écoulements transsoniques. En parallèle, nous avons approfondi et appliqué
quelques concepts vu au cours ‡uides compressibles.
Les connaissances sur Matlab que l’on a pu acquérir nous seront probablement d’une aide précieuse pour l’avenir. A notre avis, Matlab est un langage
de programmation facile qui comporte déjà beaucoup de fonctions prédé…nies.
De plus on a tenté de rédiger le rapport avec Scienti…cWord a…n d’avoir un
rapport en format LaTeX. Vu l’expérience d’une dizaine d’années avec Microsoft
Word, il est clair qu’on dépense plus de temps avec un nouvel éditeur. Par
contre, la beauté des expressions mathématiques en Scienti…cWord récompense
ce travail supplémentaire.
Améliorations de notre projet
Maintenant, qu’on connaît mieux le logiciel Matlab, on pourrait encore améliorer
notre travail, surtout sur le niveau esthétique. On pourrait par exemple imaginer une interface graphique pour notre code.
Pour améliorer les vidéos on pourrait augmenter le nombre de ra¢ nement
ainsi que l’incrément du nombre de Mach entre les images. Tout ça est par contre
énormément coûteux sur le niveau de temps, vu que les calculs sont e¤ectués
sur une seule machine!
Finalement sur le plan théorique, il serait maintenant possible, après avoir
suivi le cours des ‡uides compressibles, d’implémenter des formules théoriques
dans notre code a…n de faire des comparaisons systématiques.
Le Projet Génie mécanique I dans le contexte du 6ème semestre
Il est évidemment di¢ cile de faire un projet sur un sujet, dont les bases
théoriques correspondantes sont parallèlement enseignées. Nous croyons par
contre que M. Drotz en a tenu compte en nous faisant faire des choses surtout
numériques et expérimentales. De plus, nous avons apprécié le "pré-projet"
pour nous clari…er les notions relative aux aspects aérodynamiques de l’avion.
Le 6ème semestre est le premier semestre avec passablement de cours à
options. Beaucoup de ces cours connaissent des contrôles continus en forme
des présentations qui ont forcément lieu à la …n du semestre. De plus, les
travaux pratiques en technique de mesure et surtout les rapports associés charge
passablement le …n du semestre.
Du point de vue étudiant il serait souhaitable de mieux repartir les charges.
A notre avis il fallait prévoir les TPs au début du semestre ou bien de mieux
les repartir sur tout le semestre.
63
Lausanne, 15.06.2005
Michael Meier
Philipp Jenny
64
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[18] Notes du cours ‡uides compressibles donné par Dr. A. Drotz EPFL génie
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[19] Dynamique des ‡uides Inge L. Ryhming, Dexième édition revue et augmentée avec CD-Rom, Presse polytechniques et universitaires romandes
66