TS. conditionnement et independances

Probabilités , conditionnement et indépendance
TS
Probabilités sur un ensemble fini et variables aléatoires
I.
1.
•
•
•
•
Définitions
soit une expérience aléatoire .
on appelle issue tout résultat possible de cette expérience . : xi
on appelle univers l’ensemble de toutes les issues : E = { x1 , x2 , … , xn } .
on appelle événement tout sous ensemble de l’univers : A = { xi , ... , xj } ⊂ E .
on appelle événement impossible , et on note : ∅ , l’événement qui ne contient aucune issue .
A∩ B = ∅ .
si A ∩ B = ∅
et
• deux événements A et B d’un univers E sont incompatibles si
• deux événements A et B d’un univers E sont contraires
A ∪ B = E . On note B = A .
• soit E un univers comportant un nombre n d’issues : E = { x1 , x2 , … , xn } ; définir une loi
de probabilité P sur E
n
consiste à associer à chaque issue
xi de E un nombre pi compris entre 0 et 1 ; tel que p1 + p2 + … + pn =
∑p =1.
i
i=1
on dit que pi est la probabilité de xi associé à la loi P , on note pi = P ( xi )
• P doit vérifier : si A et B sont deux événements incompatibles de E , alors :
2.
Propriétés
•
soit E l’univers d’une expérience aléatoire et
P une loi de probabilité sur E .
P ( E ) = 1 et P ( ∅ ) = 0 .
• pour tout événement A de E
: P( A )=1–P(A).
• si A est inclus dans B , alors
: P(A) ≤ P(B) .
• si A et B sont deux événements quelconques de E , alors :
3.
P( A ∪B )=P(A)+P(B)
P( A ∪B )=P(A)+P(B)– P( A ∩B )
Loi équirépartie ( ou équiprobabilité )
Soit E = { x1 , x2 , … , xn } un univers et P une loi de probabilité sur E définie par les nombres ( p1 , p2 , … , pk ).
On dit que la loi P est équirépartie sur E si tous les pi sont égaux.
1
On dit encore qu’il y a équiprobabilité des issues. P ( xi ) = pi =
k
pour cette loi de probabilité ,
nombre d'éléments de A
nombre d'issues favorables à la réalisation de A
pour tout événement A :
P(A)=
=
nombre d'éléments de E
nombre total d'issues possibles
4.
Variables aléatoires
•
•
soit E l’univers d’une expérience aléatoire et
P une loi de probabilité sur E .
réelle X est une fonction qui associe , à toute issue de E , un nombre réel .
la fonction X permet de définir sur R une nouvelle probabilité PX :
si a est un nombre réel et A l’ensemble des issues de E qui ont pour image a , alors
PX ( A ) = P ( X = a ) = P ( A )
une variable aléatoire
5.
Espérance mathématique d’une variable aléatoire réelle X
on représente en général la loi de probabilité de la variable aléatoire X sous forme de tableau ,
Valeurs xi de X
P ( X = xi )
en notant les valeurs
on appelle :
x1
p1
x2
p2
x3
p3
x4
p4
x5
p5
…
…
xi que peut prendre la variable aléatoire et les probabilités de ces valeurs , notées PX (xi) ou P ( X = xi )
n
espérance de la loi PX le nombre : E(X) =
-
xn
pn
∑p
xi = p1 x1 + p2 x2 + … + pn xn
i
= µ
i=1
n
variance de la loi PX le nombre : V (X)=
-
∑ p ( x −µ )
i
i
2
= σ X 2 = E( X2 ) – [ E(X) ]2
= E( X2 ) –
µ2
i =1
écart-type de la loi PX le nombre : σ X =
-
V
Ces paramètres sont les valeurs théoriques, dans le modèle probabiliste, de paramètres statistiques bien connus.
II.
Evénements conditionnés , événements indépendants
1.
Définitions soit A et B deux événements d’un univers E muni d’une probabilité P , A ayant une probabilité non nulle .
on définit la probabilité que l’événement B soit réalisé sachant que l’événement A est réalisé ( probabilité de B sachant A )
notée PA ( B ) =
P ( A ∩ B)
P ( A)
Ex : une entreprise comprend des hommes et des femmes , qui sont cadres ou ouvriers , suivant la distribution ci-dessous :
on choisit au hasard une personne de cette entreprise ;
on note respectivement H , F , O et C les événements
« la personne est un homme , une femme , un ouvrier , un cadre »
3
d’après le tableau PC ( F ) =
=
16
2.
=
P(F ∩C)
P (C )
.
Propriété soit A et B deux événements d’un univers E , de probabilités non nulles .
On a alors :
Ex :
3
253
16
253
P ( A ∩ B ) = P ( B ) × PB ( A ) =P ( A ) × PA ( B )
3.
Définition soit A et B deux événements d’un univers E , de probabilités non nulles . On dit que ,
A et B sont indépendants lorsque :
P ( A ∩ B) = P ( A ) × P ( B )
Remarques : - cela revient à dire que A et B sont indépendants si et seulement si PB ( A ) =P ( A ) ou PA ( B ) =P ( B )
la réalisation de A n’a pas d’effet sur la réalisation de B et réciproquement .
- on peut définir de même l’indépendance de deux variables aléatoires X et Y ( voir exercices )
III.
1.
Formule des probabilités totales
Définitions soit E un univers , les événements B1 , B2 , … Bn constituent une partition de E lorsque les conditions
suivantes sont réunies :
aucun de ces événements n’est impossible
les événements sont deux à deux incompatibles
la réunion de ces événements est égale à E
2.
FORMULE des probabilités totales soit E un univers et ( B1 , B2 , … Bn ) une partition de E .
alors pour tout événement A de E :
P ( A ) = PB1 ( A) × P ( B1 ) + PB 2 ( A) × P ( B2 ) + ... + PBn ( A) × P ( Bn )
preuve :
IV.
1.
Répétition d’expériences indépendantes
Définitions soit E un univers muni d’une loi de probabilité P et une expérience dont le résultat est un élément de E
répéter l’expérience n fois revient à définir un nouvel univers dont les éléments sont des n-listes de résultats de E .
Ex : on considère le jet d’une pièce. L’univers est { Pile , Face }
renouveler l’expérience 3 fois revient à définir un nouvel univers dont les éléments sont des 3-listes; par ex : ( Pile , Pile , Face )
2.
Dire que n expériences , dont le résultat est dans E , sont indépendantes , c’est dire que la probabilité d’obtenir une n-liste de
résultats de E est égale au produit des probabilités de chacun des résultats .
Ex : une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes ( indiscernables au toucher ) , la probabilité de tirer une boule rouge
3
2
est égale à
, la probabilité de tirer une boule verte est é gale à
. On tire successivement six boules , avec remise .
5
5
2
la probabilité de la liste ( R , V , V , R , V , V ) est égale à
3 2 2 3 2 2 3  2
× × × × × =   × 
5 5 5 5 5 5 5  5
4
Remarque : l’indépendance des tirages successifs est ici conforme à l’intuition puisque l’on remet à chaque fois la boule tirée dans
l’urne , un tirage donné ne dépend pas du tirage précédent .
1. Dénombrement
Soit E un ensemble fini de n éléments ( n ≥ 1 ) et p un entier ( p ≥ 1 ) .
Une suite ordonnée de p éléments de E , non nécessairement distincts, est appelée
liste de p éléments de E .
Si l’on impose à une liste de p éléments de E de ne contenir que des éléments deux à
deux distincts, on ne peut espérer que la liste contienne plus de n éléments. La notion
de liste de p éléments de E deux à deux distincts n’a de sens que pour 1 ≤ p ≤ n .
• Proposition soit E un ensemble fini de n éléments ( n ≥ 1 )
pour tout entier p ( p ≥ 1 ), le nombre de listes de p éléments de E est : np .
pour tout entier p , 1 ≤ p ≤ n , le nombre de listes de p éléments de E deux à
deux distincts est : n ( n – 1) … ( n – p + 1 )
( p facteurs ).
Preuve : elle repose entièrement sur le principe de choix multiplicatif .
• Définition on appelle permutation d’un ensemble E de n éléments, toute liste de n
éléments de E deux à deux distincts.
le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ( n ≥ 1 ) est le nombre
noté n ! = n × ( n – 1) × … × 2 × 1 . ( lire « factorielle n » )
Remarques : on convient que 0 ! = 1 , on a la relation ( n + 1 ) ! = ( n + 1 ) × n !
le nombre de listes de p éléments de E deux à deux distincts est :
n!
n ( n – 1) … ( n – p + 1 ) =
(n − p) !
2. Combinaisons
• Définition soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier vérifiant 0 ≤ p ≤ 1
on appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments.
n 
le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments est noté  
 p
( lire « p parmi n » ).
n
Remarques :   = n
1 
pour
n
  =1
n
n 
n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n , on a :   =
 p
n
  =1
0
n ( n − 1) ... ( n − p + 1)
et
p!
=
n  n

 =

 p n − p
 n   n − 1  n − 1 
pour n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n – 1, on a   = 
+
 (relation de Pascal )
 p   p   p − 1
• Théorème : soit a et b des nombres complexes et n un entier ( n ≥ 1 ) . On a :
n
n 
∑ p a b = a
p =0
 
n
a ) un tirage de 3 boules avec remise
correspond à une liste de 3 éléments parmi
10 ; leur nombre est donc :
b ) un tirage de 3 boules sans remise
correspond à une liste de 3 éléments deux
à deux distincts parmi 10 ;
leur nombre est donc :
Ex : voici les six permutations de
l’ensemble E = { 1 , 2 , 3 } :
(1,2,3)
(2,1,3)
(3,1,2)
(1,3,2)
(2,3,1)
(3,2,1)
1!=1
2!=2
3!=6
4 ! =24
5 ! = 120
n
n
n 
n −1
n
+   a n −1 b +   a n − 2 b 2 + ... + 
a b +b
1
2
n
−
1
 
 


n 
Cette formule du binôme explique le nom de coefficients binomiaux donnés aux  
 p
6 ! = 720
7 ! = 5 040
8 ! = 40 320
9 ! = 362 880
10 ! = 3 628 800
Ex :
au Loto, combien y a-t-il de tirages de 6
numéros parmi 49 ?
un tirage de 6 numéros parmi les numéros
1,2, …,49 est une combinaison de 6
éléments parmi 49. Le nombre de tirages
possibles est donc :
  49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44
=13 983 816
 =
6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1
 
n!
p !(n − p) !
pour n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n , on a :
(a+b)n=
Ex :
une urne contient 10 boules numérotées
de 0 à 9. Combien y a-t-il de tirages
possibles de 3 boules :
a ) avec remise ?
b ) sans remise ?
Le triangle de Pascal