TS. conditionnement et independances

I.
Probabilités sur un ensemble fini et variables aléatoires
Probabilités , conditionnement et indépendance TS
1. Définitions soit une expérience aléatoire .
• on appelle issue tout résultat possible de cette expérience . : x
i
• on appelle univers l’ensemble de toutes les issues : E = { x
1
, x
2
, … , x
n
} .
• on appelle événement tout sous ensemble de l’univers : A = { x
i
, ... , x
j
}
⊂
⊂⊂
⊂
E .
• on appelle événement impossible , et on note :
∅
∅∅
∅
, l’événement qui ne contient aucune issue .
• deux événements A et B d’un univers E sont incompatibles si A B
∩ = ∅
∩ = ∅∩ = ∅
∩ = ∅
.
• deux événements A et B d’un univers E sont contraires si A B
∩ = ∅
∩ = ∅∩ = ∅
∩ = ∅
et
ABE
∪ =
∪ =∪ =
∪ =
. On note
B A
=
==
=
.
• soit E un univers comportant un nombre n d’issues : E = { x
1
, x
2
, … , x
n
} ; définir une loi de probabilité P sur E
consiste à associer à chaque issue xi de E un nombre pi compris entre 0 et 1 ; tel que p1 + p2 + … + pn =
n
i
i = 1
p
∑
∑∑
∑
= 1 .
on dit que p
i
est la probabilité de x
i
associé à la loi P , on note p
i
= P ( x
i
)
• P doit vérifier : si A et B sont deux événements incompatibles de E , alors : P (
∪
A B
) = P ( A ) + P ( B )
2. Propriétés soit E l’univers d’une expérience aléatoire et P une loi de probabilité sur E .
• P ( E ) = 1 et P (
∅
∅∅
∅
) = 0 .
• pour tout événement A de E : P (
A
) = 1 – P ( A ) .
• si A est inclus dans B , alors : P ( A ) ≤ P ( B ) .
• si A et B sont deux événements quelconques de E , alors : P (
∪
A B
) = P ( A ) + P ( B ) – P (
∩
A B
)
3. Loi équirépartie ( ou équiprobabilité )
Soit E = { x
1
, x
2
, … , x
n
} un univers et P une loi de probabilité sur E définie par les nombres ( p
1
, p
2
, … , p
k
).
On dit que la loi P est équirépartie sur E si tous les p
i
sont égaux.
On dit encore qu’il y a équiprobabilité des issues. P ( x
i
) = p
i
=
1
k
pour cette loi de probabilité ,
pour tout événement A : P ( A ) =
A
E
nombre d'éléments de
nombre d'éléments de
=
A
nombre d'issues favorables à la r
éalisation de
nombre total d'issues possibles
4. Variables aléatoires
soit E l’univers d’une expérience aléatoire et P une loi de probabilité sur E .
• une variable aléatoire réelle X est une fonction qui associe , à toute issue de E , un nombre réel .
• la fonction X permet de définir sur R une nouvelle probabilité P
X
:
si a est un nombre réel et A l’ensemble des issues de E qui ont pour image a , alors P
X
( A ) = P ( X = a ) = P ( A )

II.
Evénements conditionnés , événements indépendants
5. Espérance mathématique d’une variable aléatoire réelle X
on représente en général la loi de probabilité de la variable aléatoire X sous forme de tableau ,
Valeurs x
i
de X
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
…
x
n
P ( X = x
i
) p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
… p
n
en notant les valeurs x
i
que peut prendre la variable aléatoire et les probabilités de ces valeurs , notées P
X
( x
i
) ou P ( X = x
i
)
on appelle :
- espérance de la loi P
X
le nombre : E(X) =
i i
i = 1
n
p x
∑ = p
1
x
1
+ p
2
x
2
+ … + p
n
x
n
=
µ
- variance de la loi P
X
le nombre : V (X)=
( )
2
2
i i X
i =1
n
p x
µ σ
− =
∑=
E( X
2
) – [ E(X) ]
2
= E( X
2
) –
µ
2
- écart-type de la loi P
X
le nombre :
X
σ
=
V
Ces paramètres sont les valeurs théoriques, dans le modèle probabiliste, de paramètres statistiques bien connus.
1. Définitions soit A et B deux événements d’un univers E muni d’une probabilité P , A ayant une probabilité non nulle .
on définit la probabilité que l’événement B soit réalisé sachant que l’événement A est réalisé ( probabilité de B sachant A )
notée P
A
( B ) =
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
P A B
P A
∩
∩∩
∩
Ex : une entreprise comprend des hommes et des femmes , qui sont cadres ou ouvriers , suivant la distribution ci-dessous :
on choisit au hasard une personne de cette entreprise ;
on note respectivement H , F , O et C les événements
« la personne est un homme , une femme , un ouvrier , un cadre »
d’après le tableau P
C
( F ) =
3
16
=
3
253
16
253
=
(
)
( )
P F C
P C
∩
.
2. Propriété soit A et B deux événements d’un univers E , de probabilités non nulles .
On a alors :
(
((
(
)
))
)
P A B
∩
∩∩
∩ = P ( B ) × P
B
( A ) =P ( A ) × P
A
( B )
Ex :

III.
Formule des probabilités totales
IV.
Répétition d’expériences indépendantes
3. Définition soit A et B deux événements d’un univers E , de probabilités non nulles . On dit que ,
A et B sont indépendants lorsque :
(
((
(
)
))
)
P A B
∩
∩∩
∩ = P ( A ) × P ( B )
Remarques : - cela revient à dire que A et B sont indépendants si et seulement si P
B
( A ) =P ( A ) ou P
A
( B ) =P ( B )
la réalisation de A n’a pas d’effet sur la réalisation de B et réciproquement .
- on peut définir de même l’indépendance de deux variables aléatoires X et Y ( voir exercices )
1. Définitions soit E un univers , les événements B
1
, B
2
, … B
n
constituent une partition de E lorsque les conditions
suivantes sont réunies :
- aucun de ces événements n’est impossible
- les événements sont deux à deux incompatibles
- la réunion de ces événements est égale à E
2. FORMULE des probabilités totales soit E un univers et ( B
1
, B
2
, … B
n
) une partition de E .
alors pour tout événement A de E :
(
((
(
)
))
)
1
1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
n
B B B n
P A P A P B P A P B P A P B
= × + × + + ×
= × + × + + ×= × + × + + ×
= × + × + + ×
preuve :
1. Définitions soit E un univers muni d’une loi de probabilité P et une expérience dont le résultat est un élément de E
répéter l’expérience n fois revient à définir un nouvel univers dont les éléments sont des n-listes de résultats de E .
Ex : on considère le jet d’une pièce. L’univers est { Pile , Face }
renouveler l’expérience 3 fois revient à définir un nouvel univers dont les éléments sont des 3-listes; par ex : ( Pile , Pile , Face )
2. Dire que n expériences , dont le résultat est dans E , sont indépendantes , c’est dire que la probabilité d’obtenir une n-liste de
résultats de E est égale au produit des probabilités de chacun des résultats .
Ex : une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes ( indiscernables au toucher ) , la probabilité de tirer une boule rouge
est égale à
3
5
, la probabilité de tirer une boule verte est é gale à
2
5
. On tire successivement six boules , avec remise .
la probabilité de la liste ( R , V , V , R , V , V ) est égale à
2 4
3 2 2 3 2 2 3 2
5 5 5 5 5 5 5 5
× × × × × = ×
Remarque : l’indépendance des tirages successifs est ici conforme à l’intuition puisque l’on remet à chaque fois la boule tirée dans
l’urne , un tirage donné ne dépend pas du tirage précédent .

1. Dénombrement
Soit E un ensemble fini de n éléments ( n ≥ 1 ) et p un entier ( p ≥ 1 ) .
Une suite ordonnée de p éléments de E , non nécessairement distincts, est appelée
liste de p éléments de E .
Si l’on impose à une liste de p éléments de E de ne contenir que des éléments deux à
deux distincts, on ne peut espérer que la liste contienne plus de n éléments. La notion
de liste de p éléments de E deux à deux distincts n’a de sens que pour 1 ≤ p ≤ n .
• Proposition soit E un ensemble fini de n éléments ( n ≥ 1 )
 pour tout entier p ( p ≥ 1 ), le nombre de listes de p éléments de E est : n
p
.
 pour tout entier p , 1 ≤ p ≤ n , le nombre de listes de p éléments de E deux à
deux distincts est : n ( n – 1) … ( n – p + 1 ) ( p facteurs ).
Preuve : elle repose entièrement sur le principe de choix multiplicatif .
• Définition on appelle permutation d’un ensemble E de n éléments, toute liste de n
éléments de E deux à deux distincts.
 le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ( n ≥ 1 ) est le nombre
noté n ! = n × ( n – 1) × … × 2 × 1 . ( lire « factorielle n » )
Remarques : on convient que 0 ! = 1 , on a la relation ( n + 1 ) ! = ( n + 1 ) ×
××
× n !
 le nombre de listes de p éléments de E deux à deux distincts est :
n ( n – 1) … ( n – p + 1 ) =
( )
−
!
!
n
n p
Ex :
une urne contient 10 boules numérotées
de 0 à 9. Combien y a-t-il de tirages
possibles de 3 boules :
a ) avec remise ? b ) sans remise ?
a ) un tirage de 3 boules avec remise
correspond à une liste de 3 éléments parmi
10 ; leur nombre est donc :
b ) un tirage de 3 boules sans remise
correspond à une liste de 3 éléments deux
à deux distincts parmi 10 ;
leur nombre est donc :
Ex : voici les six permutations de
l’ensemble E = { 1 , 2 , 3 } :
( 1 , 2 , 3 ) ( 2 , 1 , 3 ) ( 3 , 1 , 2 )
( 1 , 3 , 2 ) ( 2 , 3 , 1 ) ( 3 , 2 , 1 )
1 ! = 1 6 ! = 720
2 ! = 2 7 ! = 5 040
3 ! = 6 8 ! = 40 320
4 ! =24 9 ! = 362 880
5 ! = 120 10 ! = 3 628 800
2. Combinaisons
• Définition soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier vérifiant 0 ≤ p ≤ 1
on appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments.
le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments est noté
n
p
( lire « p parmi n » ).
Remarques :
1 et 1
1 0
= = =
n n n
nn
 pour n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n , on a :
n
p
=
(
)
(
)
1 ... 1
!
n n n p
p
− − +
=
( )
−
!
! !
n
p n p
 pour n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n , on a :
n
p
=
−
n
n p
 pour n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n – 1, on a
n
p
=
−
n
p
1
+
−
−
n
p
1
1
(relation de Pascal )
• Théorème : soit a et b des nombres complexes et n un entier ( n ≥ 1 ) . On a :
( a + b )
n
= = ...
n
n n n n n
p
n n n n
a b a a b a b a b b
p n
− − −
=
+ + + + +
−
∑1 2 2 1
0
1 2 1
Cette formule du binôme explique le nom de coefficients binomiaux donnés aux
n
p
Ex :
au Loto, combien y a-t-il de tirages de 6
numéros parmi 49 ?
un tirage de 6 numéros parmi les numéros
1,2, …,49 est une combinaison de 6
éléments parmi 49. Le nombre de tirages
possibles est donc :
49 48 47 46 45 44
6 5 4 3 2 1
× × × × ×
=
× × × × ×
=13 983 816
Le triangle de Pascal