1 Familles libres et génératrices ( nies) 2 Somme de sev

Condensé Algèbre Linéaire
Dans toute la suite E , F,G sont des Espaces Vectoriels sur K (où (K +,×) est un corps commutatif, mais dans la
pratique c’est R ou C), muni des deux lois notées + et . (souvent omis). D’aucuns remarqueront certainement ci et
là certaines imprécisions, mais elles sont dues au choix d’un rappel-condensé court et efficace.
1 Familles libres et génératrices (nies)
Dans toute la suite soit une famille de vecteurs E = (e 1 , . . . , e n ) de E et F un sev de E .
On dit que la famille E est génératrice de F ou que F est engendré par la famille E et on note Vect (e 1 , . . . , e n ) =
⟨ (e 1 , . . . , e n ) ⟩ = F si et seulement si tout x de F s’écrit comme combinaison linéaire de cette famille cad :
∀x ∈ F
∃ a 1 , . . . , a n ∈ K tq x = a 1 x 1 + · · · + a n x n
La famille E est dite libre si et seulement si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison à coefficients tous nuls , cad a 1 x 1 + · · · + a n x n = 0
=⇒
a 1 = a 2 = · · · = a n = 0.
Une famille de vecteurs est liée ssi l’un des vecteurs est combinaison linéaire des autres. (Notons que, dans
ce cas-là, justement, il y a une combinaison de la famille à coefficients non tous nuls. . .).
La famille E est une base de F si et seulement si elle est constituée d’éléments de F et vérifie l’une des
équivalences : (Les première et troisième sont les plus utilisées)
⇐⇒ E est libre et Card E = dim F
⇐⇒ E est libre et E est génératrice de F
⇐⇒ La matrice représentant E (coordonnées en colonnes) a un déterminant non nul.
⇐⇒ ∀ x ∈ F
∃ !a 1 , . . . , a n ∈ K tq x = a 1 x 1 + · · · + a n x n
⇐⇒ E est génératrice de F
et
(unicité et existence des coefficients)
Card E = dim F
Toute famille de Polynômes non nuls et de degrés tous distincts est libre. (très utile dans la pratique)
Toute famille de vecteurs E de E tq Card E > dim E est liée.
La famille (u, v) est liée ⇐⇒ u = λv ou v = 0 ⇐⇒ u = λv ou v = µu. (sous-entendu, il existe λ, µ tel que...)
Attention ! L’implication (u, v) liée =⇒ u = λv est fausse (à cause du cas possible : v = 0 et u 6= 0)
2 Somme de sev
Dans toute la suite F , G et H sont des sous espaces-vectoriels de E .
F +G est un sev de E . C’est l’ensemble de toutes les sommes des éléments de F et G.
F + G est le plus petit sev engendré par F et G, soit F + G = Vect (F ∪ G) = ⟨F ∪G⟩. On retiendra en particulier
que F +G ⊃ F
et F +G ⊃ G (ce qui peut se comprendre, si on fait la somme de tous les éléments de F et de 0 )
H = F +G ⇐⇒ ∃ f ∈ F
et g ∈ G
tq x = f + g
(C’est cette formulation, disant d’ailleurs la même chose que la 1), qui est la plus usitée ).
si F et G sont de dimension finie F +G l’est et dim (F +G) = dim F + dim G − dim (F ∩G)
Par exemple, la somme de deux droites (non identiques) est un plan.
La somme de F et G ( cad F +G ). est dite directe ssi F ∩G = {0}. La "somme" se note alors : F ⊕ G. Notons que
l’on a F +G = F ⊕ G (si F ∩G = {0}, bien sûr. . .).
H = F ⊕ G (on dit F et G sont supplémentaires dans H ) est équivalent à l’une des propriétés suivantes :
⇐⇒ dim H = dim F + dim G
⇐⇒ H = F +G
⇐⇒ ∃ ! f ∈ F
et F ∩G = {0} (Le plus utile dans la pratique)
et F ∩G = {0}
et g ∈ G
tq x = f + g
(Existence et Unicité de la décomposition)
Si F ⊕ G = H , la réunion d’une base de F et de G donne une base de H dite « adaptée à la décomposition »
Si F ⊕ G = H , pour définir un morphisme sur H , il faut et il suffit de définir ses restrictions à F et G
(La projection sur F paralèllement à G est l’unique endomorphisme "valant" l’identité sur F et 0 sur G)
3 Matrices
Dans toute la suite M est une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans R ou C de coefficients notés M i j . On
appelle f l’endomorphisme de Rn canoniquement associé (cad que M représente dans la base canonique)
une Matrice M (d’ordre n ) est dite inversible (∈ GL(n)) ssi elle vérifie l’une des équivalences
⇐⇒ det M 6= 0
⇐⇒ La famille des vecteurs-colonnes (C 1 , . . . ,C n ) est une base de Rn
⇐⇒ La famille des vecteurs-lignes (L 1 , . . . , L n ) est une base de Rn
⇐⇒ f est un isomorphisme de Rn (donc un automorphisme)
⇐⇒ Il existe une matrice N d’ordre n telle que M × N = N × M = I n
⇐⇒ Ker f = {0} (on peut dire aussi abusivement Ker M = {0})
⇐⇒ M ne possède pas la valeur propre 0
⇐⇒ M X = 0 =⇒ X = 0
h
La formule-produit de matrices, utile dans les exos (Notez la « formulation ») : A × B
i
ij
=
n
X
Ai k Bk j
k=1
M est symétrique (M ∈ S(n)) si et seulement si t M = M si et seulement si ∀ 1 ≤ i , j ≤ n Mi j = M j i
(cad les coefficients sont symétriques de part et d’autre de la diagonale)
M est antisymétrique (M ∈ A(n)) si et seulement si t M = −M ou ssi ∀ 1 ≤ i , j ≤ n Mi j = −M j i
(les coeficients sont opposés de part et d’autre de la diagonale et la diagonale est nulle)
On appelle trace d’une matrice carrée M la somme de ses coefficients diagonaux. tr M =
Propriétés :
tr AB = tr B A
tr (αA + βB ) = α tr A + β tr B (linéarité)
X
Mi i
1≤i ≤n
La transposée est un morphisme de Mnp (K) vers M pn (K) qui échange les lignes et les colonnes d’une matrice.
£ ¤
Plus précisément, les coefficients vérifient t M i j = M j i .
¡
¢
Propriétés : t (AB ) = tB t A t αA + βB = αt A + βtB (linéarité)
4 Projections
Soit p un endomorphisme de E . Il est appelé projection ssi p ◦ p = p.
On détermine les éléments caractéristiques de p (ce sont des sev de E ) par
– le sur (projeté sur) F est donné aussi bien par F = Im p = Ker (p − I d ) que par l’ensemble des vecteurs
invariants par p ou l’ensemble des vecteurs propres de p associés à 1.
– le parallèlement (projeté parallèlement à) G est donné aussi bien par
G = Ker p ou encore l’ensemble des vecteurs propres de p associés à 0
A Savoir pour l’efficacité que l’on peut démontrer les deux précédents en une seule fois en montrant p/F =
p/G = O
Id
et F ⊕ G = E .
Pour une projection p, on a toujours F ⊕ G = E ou encore E = Ker p ⊕ Im p = Ker p ⊕ Ker (p − I d )
la decomposition de tout x de E sur ces deux espaces est x = p(x)+(x − p(x)). En d’autres termes, x − p(x) est
toujours dans la direction de l a projection, ce qui donne pour une projection orthogonale, x − p(x) ⊥ x
Si p est un projecteur, rg p = dim Im p = tr p
5 Noyaux et Images
Ici f est un morphisme de E vers F , ou un endomorphisme de E , cad de E dans E .
Si E est de dimension finie, dim Ker f + dim Im f = dim E . (Théorème du rang)
On n’a pas en général, Ker f + Im f = E , et encore moins Ker f ⊕ Im f = E
Si E est de dimension infinie, il reste que tout supplémentaire de Ker f est isomorphe à Im f .
f ◦ g = O ⇐⇒ Im g ⊂ Ker f (Utile ! par exemple f 2 = 0 ⇐⇒ Im f ⊂ Ker f )
¡
¢
Im f /H = f (H )
¡
¢
Ker f /H = Ker f ∩ Ker H
Pour toute base (e 1 . . . e n ) de E ,
f est injective ⇐⇒ Ker f = {0}.
Im f = Vect ( f (e 1 ), . . . , f (e n ))
f surjective ⇐⇒ Im f = F (ou E si endomorphisme)
f injective de E vers F =⇒ dim E ≤ dim F
f surjective de E vers F =⇒ dim E ≥ dim F
f bijective de E vers F =⇒ dim E = dim F
f est un isomorphisme de E dans F (ou un automorphisme de E , cad ∈ GL(E ) ) ssi
⇐⇒ f est injective et surjective
⇐⇒ Ker f = {0} et
Im f = F
⇐⇒ det f 6= 0
⇐⇒ f n’a pas pour valeur propre 0
⇐⇒ Il existe un morphisme g de F dans E tq f ◦ g = g ◦ f = I d
⇐⇒ Toute matrice représentant f dans des bases quelconques est inversible
⇐⇒ f est injective et dim E = dim F
⇐⇒ f et surjective et dim E = dim F
⇐⇒ Ker f = {0} et
dim E = dim F
⇐⇒ rg f = dim E = dim F
Si E et F sont de dimension finie égales (à n) f est un isomorphisme (automophisme si E = F ) ssi :
f injective ⇐⇒ Ker f = {0} ⇐⇒ f surjective ⇐⇒ Im f = F ⇐⇒ rg f = n ⇐⇒ f est bijective
⇐
6 Matrices semblables - Changements de Base
Ici, on considère ici une matrices carrée M à coefficients dans R ou C d’ordre n On utilisera aussi une matrice
carrée de meme taille N .
M et N sont dites semblables ssi il existe une matrice inversible P tq M = P −1 N P
Notez : ∃ P ∈ GL(n) tq N = P −1 M P ⇐⇒ ∃ P 0 ∈ GL(n) tq M = P 0 N P 0−1 (et alors P 0 = P −1 )
M et N sont dites semblables ssi elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes : si
M = Mat( f , E ), alors il existe une base F telle que N =Mat( f , F ).
Soit g un endomorphisme de E et deux bases E et F de E , Alors
où P = P EF est la matrice de passage de la base E à la base F .
Mat ( f , E ) = P −1 Mat( f , F ) P
Deux matrices semblables M et N ont même trace, déterminant.
7 Quelques chiffres
n
n
(a − b ) = (a − b)(a
n−1
+a
n−2
b+a
n−3 2
2 n−3
b +···+ a b
+ ab
n−2
+b
n−1
³
) = a −b
Ã
´ n−1
X
!
k n−1−k
a b
k=0
Si E et F sont de dimension finie, E × F est de dimension finie et dim (E × F ) = dim E + dim F
Ã
Plus généralement, si les E i sont de dimension finie, dim
n
Y
!
E i = dim (E 1 × · · · × E n ) =
k=1
n
X
dim E i
k=1
Si E et F sont de dimension finie, alors L (E , F ) est de dim. finie et dim L (E , F ) = dim E × dim F
dim Rn = n
dim Rn [X ] = n + 1
dim M (n) = n 2
dim S(n) =
n(n + 1)
2
Si P = a0 + a1 X + · · · + an X n et Q = b0 + b1 X + · · · + bm X m , alors
P ×Q = c 0 + c 1 X + · · · + c n+m X n+m
avec ∀ n ∈ N c n =
n
X
k=0
dim A(n) =
a k b n−k
n(n − 1)
2