1 Familles libres et génératrices ( nies) 2 Somme de sev

Dans toute la suite E,F,Gsont des Espaces Vectoriels sur K(où (K+,×) est un corps commutatif, mais dans la
pratique c’est Rou C), muni des deux lois notées + et . (souvent omis). D’aucuns remarqueront certainement ci et
là certaines imprécisions, mais elles sont dues au choix d’un rappel-condensé court et efficace.
Dans toute la suite soit une famille de vecteurs E=(e1,... ,en) de Eet Fun sev de E.
On dit que la famille Eest génératrice de F ou que F est engendré par la famille Eet on note Vect(e1,. .., en)=
〈(e1,.. .,en)〉=Fsi et seulement si tout xde Fs’écrit comme combinaison linéaire de cette famille cad :
∀x∈F∃a1, ... , an∈Ktq x=a1x1+ · · · + anxn
La famille Eest dite libre si et seulement si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison à coeffi-
cients tous nuls , cad a1x1+ · · · + anxn=0=⇒ a1=a2= ·· · = an=0.
Une famille de vecteurs est liée ssi l’un des vecteurs est combinaison linéaire des autres. (Notons que, dans
ce cas-là, justement, il y a une combinaison de la famille à coefficients non tous nuls. . .).
La famille Eest une base de Fsi et seulement si elle est constituée d’éléments de F et vérifie l’une des
équivalences : (Les première et troisième sont les plus utilisées)
⇐⇒ Eest libre et Card E=dim F
⇐⇒ Eest libre et Eest génératrice de F
⇐⇒ La matrice représentant E(coordonnées en colonnes) a un déterminant non nul.
⇐⇒ ∀ x∈F∃!a1,. .. , an∈Ktq x=a1x1+ · · · + anxn(unicité et existence des coefficients)
⇐⇒ Eest génératrice de Fet Card E=dim F
Toute famille de Polynômes non nuls et de degrés tous distincts est libre. (très utile dans la pratique)
Toute famille de vecteurs Ede Etq Card E>dim Eest liée.
La famille (u,v) est liée ⇐⇒ u=λvou v=0⇐⇒ u=λvou v=µu. (sous-entendu, il existe λ,µtel que...)
Attention ! L’implication (u,v) liée =⇒ u=λvest fausse (à cause du cas possible : v =0et u 6= 0)
Dans toute la suite F,Get Hsont des sous espaces-vectoriels de E.
F+Gest un sev de E. C’est l’ensemble de toutes les sommes des éléments de Fet G.
F+Gest le plus petit sev engendré par Fet G, soit F+G= Vect (F∪G) = 〈F∪G〉. On retiendra en particulier
que F+G⊃Fet F+G⊃G(ce qui peut se comprendre, si on fait la somme de tous les éléments de F et de 0 )
H=F+G⇐⇒ ∃ f∈Fet g∈Gtq x=f+g
(C’est cette formulation, disant d’ailleurs la même chose que la 1), qui est la plus usitée ).
si Fet Gsont de dimension finie F+Gl’est et dim (F+G)=dim F+dim G−dim (F∩G)
Par exemple, la somme de deux droites (non identiques) est un plan.

La somme de Fet G ( cad F +G ). est dite directe ssi F∩G={0}. La "somme" se note alors : F⊕G. Notons que
l’on a F+G=F⊕G(si F ∩G={0}, bien sûr. . .).
H=F⊕G(on dit Fet Gsont supplémentaires dans H) est équivalent à l’une des propriétés suivantes :
⇐⇒ dim H=dim F+dim Get F∩G={0} (Le plus utile dans la pratique)
⇐⇒ H=F+Get F∩G={0}
⇐⇒ ∃ !f∈Fet g∈Gtq x=f+g(Existence et Unicité de la décomposition)
Si F⊕G=H, la réunion d’une base de Fet de Gdonne une base de Hdite « adaptée à la décomposition »
Si F⊕G=H, pour définir un morphisme sur H, il faut et il suffit de définir ses restrictions à Fet G
(La projection sur F paralèllement à G est l’unique endomorphisme "valant" l’identité sur F et 0 sur G)
Dans toute la suite Mest une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans Rou Cde coefficients notés Mi j . On
appelle fl’endomorphisme de Rncanoniquement associé (cad que M représente dans la base canonique)
une Matrice M(d’ordre n ) est dite inversible (∈GL(n)) ssi elle vérifie l’une des équivalences
⇐⇒ det M6= 0
⇐⇒ La famille des vecteurs-colonnes (C1,...,Cn) est une base de Rn
⇐⇒ La famille des vecteurs-lignes (L1,...,Ln) est une base de Rn
⇐⇒ fest un isomorphisme de Rn(donc un automorphisme)
⇐⇒ Il existe une matrice Nd’ordre n telle que M×N=N×M=In
⇐⇒ Ker f={0} (on peut dire aussi abusivement KerM ={0})
⇐⇒ Mne possède pas la valeur propre 0
⇐⇒ M X =0=⇒ X=0
La formule-produit de matrices, utile dans les exos (Notez la « formulation ») : hA×Bii j =
n
X
k=1
Aik Bk j
Mest symétrique (M∈S(n)) si et seulement si tM=Msi et seulement si ∀1≤i,j≤n Mi j =Mj i
(cad les coefficients sont symétriques de part et d’autre de la diagonale)
Mest antisymétrique (M∈A(n)) si et seulement si tM= −Mou ssi ∀1≤i,j≤n Mi j = −Mj i
(les coeficients sont opposés de part et d’autre de la diagonale et la diagonale est nulle)
On appelle trace d’une matrice carrée Mla somme de ses coefficients diagonaux. trM=X
1≤i≤n
Mii
Propriétés : tr AB =trB A tr(αA+βB)=αtr A+βtrB(linéarité)
La transposée est un morphisme de Mnp (K) vers Mpn (K) qui échange les lignes et les colonnes d’une matrice.
Plus précisément, les coefficients vérifient £tM¤i j =Mj i .
Propriétés :t(AB)=tBtAt¡αA+βB¢=αtA+βtB(linéarité)
Soit pun endomorphisme de E. Il est appelé projection ssi p◦p=p.
On détermine les éléments caractéristiques de p(ce sont des sev de E) par

– le sur (projeté sur) F est donné aussi bien par F=Im p=Ker(p−I d) que par l’ensemble des vecteurs
invariants par pou l’ensemble des vecteurs propres de passociés à 1.
– le parallèlement (projeté parallèlement à) G est donné aussi bien par
G=Ker pou encore l’ensemble des vecteurs propres de passociés à 0
A Savoir pour l’efficacité que l’on peut démontrer les deux précédents en une seule fois en montrant p/F=
Id p/G=Oet F⊕G=E.
Pour une projection p, on a toujours F⊕G=Eou encore E=Ker p⊕Im p=Ker p⊕Ker(p−I d)
la decomposition de tout xde Esur ces deux espaces est x=p(x)+(x−p(x)). En d’autres termes, x−p(x) est
toujours dans la direction de l a projection, ce qui donne pour une projection orthogonale, x−p(x)⊥x
Si pest un projecteur, rgp=dim Im p=tr p
Ici fest un morphisme de Evers F, ou un endomorphisme de E, cad de Edans E.
Si Eest de dimension finie, dim Ker f+dim Im f=dim E. (Théorème du rang)
On n’a pas en général, Ker f+Im f=E, et encore moins Ker f⊕Im f=E
Si Eest de dimension infinie, il reste que tout supplémentaire de Ker fest isomorphe à Im f.
f◦g=O⇐⇒ Im g⊂Ker f(Utile ! par exemple f 2=0⇐⇒ Im f ⊂Ker f )
Im ¡f/H¢=f(H) Ker ¡f/H¢=Ker f∩Ker H
Pour toute base (e1...en) de E, Im f=Vect( f(e1),.. ., f(en))
fest injective ⇐⇒ Ker f={0}. fsurjective ⇐⇒ Im f=F(ou Esi endomorphisme)
finjective de Evers F=⇒ dim E≤dim F
fsurjective de Evers F=⇒ dim E≥dim F
fbijective de Evers F=⇒ dim E=dim F
fest un isomorphisme de Edans F(ou un automorphisme de E, cad ∈GL(E) ) ssi
⇐⇒ fest injective et surjective
⇐⇒ Ker f={0} et Im f=F⇐⇒ l’image d’une base (e1,. ..,en) par f,¡f(e1) ... f(en)¢, est une base
⇐⇒ det f6= 0
⇐⇒ fn’a pas pour valeur propre 0
⇐⇒ Il existe un morphisme gde Fdans Etq f◦g=g◦f=Id
⇐⇒ Toute matrice représentant fdans des bases quelconques est inversible
⇐⇒ f est injective et dim E=dim F
⇐⇒ f et surjective et dim E=dim F
⇐⇒ Ker f={0} et dim E=dim F
⇐⇒ rg f=dim E=dim F
Si Eet Fsont de dimension finie égales (à n) fest un isomorphisme (automophisme si E=F) ssi :
finjective ⇐⇒ Ker f={0} ⇐⇒ fsurjective ⇐⇒ Im f=F⇐⇒ rg f= n ⇐⇒ fest bijective

Ici, on considère ici une matrices carrée Mà coefficients dans Rou Cd’ordre n On utilisera aussi une matrice
carrée de meme taille N.
Met Nsont dites semblables ssi il existe une matrice inversible Ptq M=P−1NP
Notez : ∃P∈GL(n) tq N=P−1MP ⇐⇒ ∃ P0∈GL(n) tq M=P0N P0−1(et alors P0=P−1)
Met Nsont dites semblables ssi elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes : si
M= Mat(f,E), alors il existe une base Ftelle que N=Mat(f,F).
Soit g un endomorphisme de Eet deux bases Eet Fde E, Alors
Mat (f,E) = P−1Mat(f,F)Poù P=PF
Eest la matrice de passage de la base Eà la base F.
Deux matrices semblables Met Nont même trace, déterminant.
(an−bn)=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+ · · · + a2bn−3+abn−2+bn−1)=³a−b´Ãn−1
X
k=0
akbn−1−k!
Si Eet Fsont de dimension finie, E×Fest de dimension finie et dim (E×F)=dim E+dim F
Plus généralement, si les Eisont de dimension finie, dim Ãn
Y
k=1
Ei!=dim (E1× · · · × En)=
n
X
k=1
dim Ei
Si Eet Fsont de dimension finie, alors L(E,F) est de dim. finie et dim L(E,F)=dim E×dim F
dim Rn=ndim Rn[X]=n+1 dim M(n)=n2dim S(n)=n(n+1)
2dim A(n)=n(n−1) 2
Si P=a0+a1X+ · · · + anXnet Q=b0+b1X+ · · · + bmXm, alors
P×Q=c0+c1X+ · · · + cn+mXn+mavec ∀n∈Ncn=
n
X
k=0
akbn−k