elements mathematiques

G.P. Éléments mathématiques 2013
ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUES
Sommaire
I.Opérateurs......................................................................................................................................2
A.Notation symbolique nabla......................................................................................................2
1.Le nabla.................................................................................................................................2
2.Les opérateurs........................................................................................................................2
a.Avec un seul nabla (dérivées premières)........................................................................2
b.Laplacien (nabla au carré: dérivées secondes)................................................................2
3.Des formules avec deux nablas.............................................................................................3
B.Expression des opérateurs en cartésiennes..............................................................................3
1.Le nabla.................................................................................................................................3
2.Les opérateurs........................................................................................................................3
a.Avec un seul nabla..........................................................................................................3
b.Laplacien.........................................................................................................................4
3.Des formules avec deux nablas.............................................................................................5
C.Définition des opérateurs.........................................................................................................5
1.Gradient.................................................................................................................................5
a.Variation spatiale d'une fonction de point entre deux points..........................................5
b.Formule donnant la variation spatiale d'une fonction de point.......................................6
c.Définition du gradient.....................................................................................................7
d.Propriétés du gradient.....................................................................................................8
2.Divergence.............................................................................................................................8
a.Notion de flux d'un vecteur à travers une surface...........................................................8
b.Formule donnant le flux à travers une surface fermée.................................................10
c.Définition de la divergence...........................................................................................12
d.Propriétés de la divergence...........................................................................................13
3.Rotationnel..........................................................................................................................13
a.Notion de circulation d'un vecteur le long d'une courbe fermée...................................13
b.Formule donnant la circulation le long d'une courbe fermée.......................................14
c.Définition du rotationnel...............................................................................................16
d.Propriétés du rotationnel...............................................................................................17
4.Laplacien scalaire................................................................................................................17
a.Écart entre la valeur d'une fonction en un point et la fonction aux points voisins.......17
b.Sens physique du Laplacien..........................................................................................18
c.Exemples divers............................................................................................................18
D.Commentaires à propos de deux formules............................................................................19
1.Rotationnel de gradient........................................................................................................19
a.Approche locale............................................................................................................19
b.Approche intégrale ou globale......................................................................................19
2.Divergence de rotationnel....................................................................................................19
a.Approche locale............................................................................................................19
b.Approche intégrale ou globale......................................................................................19
Mis à jour le 01/2013
1/20

G.P. Éléments mathématiques 2013
I. Opérateurs
A. Notation symbolique nabla
1. Le nabla
Les opérateurs peuvent être notés de façon symbolique en utilisant le nabla
∇
2. Les opérateurs
a. Avec un seul nabla (dérivées premières)
nom agit sur donne un
gradient scalaire
f
vecteur
grad f
∇f
divergence vecteur
A
scalaire
div  A
∇ A
rotationnel vecteur
A
vecteur
rot  A
∇∧  A
b. Laplacien (nabla au carré: dérivées secondes)
On utilise ici les techniques habituelles en traitant en quelque sorte le nabla comme un vecteur
habituel...quoique ce vecteur doive agir sur quelque chose derrière lui. Il ne s'agit pas dans la suite
de démonstration véritable.
nom agit sur donne un
laplacien scalaire scalaire
f
scalaire
f
=
∇2f
=
∇ ∇ f
or
a bk=a b k 
=
∇  ∇f
=
div  grad f
laplacien vectoriel vecteur
A
vecteur
A
=
∇2 A
=
∇ ∇  A
ici
a bc≠a bc
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mais
a∧ b∧c= bca−ca b
donc
ca b= bca−a∧ b∧c
ou
a bc= bac−a∧ b∧c
=
∇  ∇ A−  ∇∧  ∇∧  A
=
grad div A− rot  rot  A
3. Des formules avec deux nablas
Toujours en utilisant les techniques habituelles des vecteurs. Il ne s'agit toujours pas de
démonstration véritable.
nom agit sur
rotationnel de gradient scalaire
f
=
∇∧  ∇f
or
a∧ b k=a∧ bk
donc
a∧ a k = a∧ ak= 0
=
∇∧  ∇ f
=
0
divergence de rotationnel vecteur
A
=
∇  ∇∧ A
or
aa∧ b=0
=
0
B. Expression des opérateurs en cartésiennes
1. Le nabla
Dans ce seul cas, on peut attribuer au nabla une écriture formelle:
∇
=
∂
∂x
ux∂
∂y
uy∂
∂z
uz
2. Les opérateurs
a. Avec un seul nabla
div  A
=
∇ A
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=
∂
∂x
ux∂
∂y
uy∂
∂z
uz
⋅
Ax uxAy uyAz uz
=
∂Ax
∂x∂Ay ∂y∂Az ∂z
rot  A
=
∇∧  A
=
∂
∂x
ux∂
∂y
uy∂
∂z
uz
∧
Ax uxAy uyAz uz
=
∂Az
∂y−∂Ay ∂z ux ∂Ax ∂z−∂Az ∂x uy ∂Ay ∂x−∂Ax ∂y uz
grad f
=
∇f
=
∂
∂x
ux∂
∂y
uy∂
∂z
uz
f
=
∂f
∂x
ux∂f
∂y
uy∂f
∂z
uz
b. Laplacien
De façon symbolique
=
∇2
=
∂
∂x
ux∂
∂y
uy∂
∂z
uz
⋅
∂
∂x
ux∂
∂y
uy∂
∂z
uz
=
∂2
∂x2∂2 ∂y2∂2 ∂z2
d'où pour le laplacien scalaire
f
=
∂2f
∂x2∂2f ∂y2∂2f ∂z2
d'où pour le laplacien vectoriel
A
=
∂2 A
∂x2∂2
A
∂y2∂2
A
∂z2
ou =
Ax ux Ay uy Az uz
(
Ax
=
∂2Ax
∂x2∂2Ax ∂y2∂2Ax ∂z2
)
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3. Des formules avec deux nablas
div  grad f
=
∂
∂x
ux∂
∂y
uy∂
∂z
uz
⋅
∂f
∂x
ux∂f
∂y
uy∂f
∂z
uz
=
∂2f
∂x2∂2f ∂y2∂2f ∂z2
rot  grad f= 0
=
∂
∂x
ux∂
∂y
uy∂
∂z
uz
∧
∂f
∂x
ux∂f
∂y
uy∂f
∂z
uz
=
∂2f
∂y∂z−∂2f ∂z∂y
ux
∂2f
∂z∂x−∂2f ∂x∂z
uy
∂2f
∂x∂y−∂2f ∂y∂x
uz
=
0
div  rot  A= 0
=
∂
∂x
ux∂
∂y
uy∂
∂z
uz
⋅
∂Az
∂y−∂Ay ∂z ux ∂Ax ∂z−∂Az ∂x uy ∂Ay ∂x−∂Ax ∂y uz
=
∂
∂x∂Az ∂y−∂Ay ∂z
∂
∂y∂Ax ∂z−∂Az ∂x
∂
∂z∂Ay ∂x−∂Ax ∂y
=
∂2Az
∂x∂y−∂2Az ∂y∂x
∂2Ax
∂y∂z−∂2Ax ∂z∂y
∂2Ay
∂z∂x−∂2Ay ∂x∂z
=
0
C. Définition des opérateurs
1. Gradient
a. Variation spatiale d'une fonction de point entre deux points
On considère la fonction de point
fM
prenant une valeur en chaque point (champ scalaire).
On note en cartésiennes:
fx , y ,z
. Cette fonction varie donc graduellement si on se déplace
dans l'espace.
a.1. Variation finie
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