Université Paul Sabatier Devoir pour le 14 mars 2012 Le but de

Université Paul Sabatier
Devoir pour le 14 mars 2012
A LGÈBRE
COMMUTATIVE
Le but de cette série d’exercices est d’étudier les modules localement libres.
Exercice 1. Soit A un anneau commutatif unitaire, et M un A-module.
(a) Montrer que si M est plat sur A, alors, pour tout morphisme d’anneaux A → B,
le B-module B ⊗A M est plat sur B.
(b) Montrer que si M est plat sur A, alors pour tout système multiplicatif S ⊂ A,
le module localisé S−1 M est plat sur S−1 A.
(c) Montrer que si Mp = Ap ⊗A M est plat sur Ap pour tout idéal premier p ⊂ A,
alors M est plat sur A.
Exercice 2. On suppose à présent que A est un anneau commutatif unitaire noethérien muni d’un idéal I contenu dans le radical de Jacobson de A. On considère une
suite exacte de A-modules de la forme suivante.
0 → M0 → M → M00 → 0
On suppose enfin que M et M00 sont de type fini et que M00 est plat sur A.
(a) Montrer que l’application canonique I ⊗A M → IM est bijective pour tout Amodule plat M.
(b) En déduire qu’on a une suite exacte courte de A-modules de la forme
0 → IM0 → IM → IM00 → 0
(c) Montrer qu’on a une suite exacte courte canonique
0 → A/I ⊗A M0 → A/I ⊗A M → A/I ⊗A M00 → 0 .
(d) Montrer que l’application M → M00 est bijective si et seulement si l’application
induite A/I ⊗A M → A/I ⊗A M00 est bijective.
On rappelle que pour un anneau A et un idéal premier p ⊂ A, on note κ(p) le corps
résiduel de p (c’est-à-dire le quotient de Ap par son idéal maximal).
Exercice 3. Soit A un anneau commutatif unitaire noethérien, et u : M → N un
morphisme de A-modules. On suppose que M et N sont de type fini.
(a) Montrer que u est surjectif si et seulement si le morphisme induit
κ(p) ⊗A M → κ(p) ⊗A N
est surjectif pour tout idéal premier p de A.
(b) On suppose en outre que N est plat. Montrer que u est bijectif si et seulement
si le morphisme induit
κ(p) ⊗A M → κ(p) ⊗A N
est bijectif pour tout idéal premier p de A.
Définition. Soit A un anneau commutatif unitaire. Un A-module M est dit localement libre si, pour tout idéal premier p ⊂ A, le Ap -module Mp = Ap ⊗A M est libre de
rang fini.
Exercice 4. Soit A un anneau noethérien.
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(a) Montrer qu’un A-module de type fini M est localement libre si et seulement
s’il est plat 1.
(b) Soient M0 , M et M00 trois A-modules plats et de type fini. Montrer qu’un diagramme de A-modules
0 → M0 → M → M00 → 0
est une suite exacte courte si et seulement si, pour tout idéal premier p ⊂ A, le
diagramme induit
0 → κ(p) ⊗A M0 → κ(p) ⊗A M → κ(p) ⊗A M00 → 0
est une suite exacte courte de κ(p)-espaces vectoriels.
Indications. Méditer sur les trois exercices précédents.
Exercice 5. Soit A un anneau et M un A-module localement libre. Montrer qu’il
existe des éléments f 1 , . . . , f n ∈ A, n ≥ 1, de sorte que ( f 1 , . . . , f n ) = A et que M f i soit un
A f i -module libre de type fini pour tout i , 1 ≤ i ≤ n.
Exercice 6. Soit A un anneau noethérien et S ⊂ A un système multiplicatif. On
considère un A-module de type fini M et un A-module quelconque N. Montrer que
l’application canonique
S−1 HomA (M, N) → HomS−1 A (S−1 M, S−1 N)
est bijective.
Indications. Prouver d’abord le cas où M est libre de rang fini. Considérer ensuite la
classe C des A-modules M tels que cette application soit bijective pour tout A-module
N. Montrer que pour toute suite exacte à droite de la forme
M0 → M → M00 → 0
si M0 et M sont dans C , alors M00 est dans C . Conclure.
Exercice 7. Soit A un anneau noethérien.
(a) Montrer que si M et N sont deux A-modules localement libres, alors il en est
de même de HomA (M, N).
Indications. Considérer tout d’abord le cas où M et N sont libres de rang fini.
Utiliser ensuite les exercices 4 et 6 pour en déduire le cas général.
(b) Montrer que si M et N sont deux A-modules localement libres, alors M ⊗A N
est localement libre (on pourra encore une fois considérer le cas où M et N sont
des A-modules libres de type fini, puis en déduire le cas général).
(c) Montrer que si M et N sont deux A-modules localement libres, alors on a un
isomorphisme canonique de A-modules
M∧ ⊗A N ' HomA (M, N)
(où M∧ = HomA (M, A)).
Exercice 8. Soit A un anneau noethérien. Montrer qu’un A-module de type fini est
localement libre si et seulement s’il est projectif.
Indications. Soit M un A-module de type fini. Dire que M est projectif équivaut à dire
que, pour toute application A-linéaire surjective N → P, l’application induite
HomA (M, N) → HomA (M, P)
est surjective. On peut alors utiliser encore une fois les exercices 4 et 6 pour se
ramener au cas où A est un anneau local.
1. Cette caractérisation des modules localement libres reste essentiellement vraie pour des anneaux
non nécéssairement noethérien, mais il faut alors pour M une condition de finitude plus restrictive.