Université Paul Sabatier Devoir pour le 14 mars 2012 Le but de

Université Paul Sabatier Devoir pour le 14 mars 2012
ALGÈBRE COMMUTATIVE
Le but de cette série d’exercices est d’étudier les modules localement libres.
Exercice 1. Soit A un anneau commutatif unitaire, et M un A-module.
(a) Montrer que si M est plat sur A, alors, pour tout morphisme d’anneaux A →B,
le B-module B ⊗AM est plat sur B.
(b) Montrer que si M est plat sur A, alors pour tout système multiplicatif S ⊂A,
le module localisé S−1M est plat sur S−1A.
(c) Montrer que si Mp=Ap⊗AM est plat sur Appour tout idéal premier p⊂A,
alors M est plat sur A.
Exercice 2. On suppose à présent que A est un anneau commutatif unitaire noe-
thérien muni d’un idéal I contenu dans le radical de Jacobson de A. On considère une
suite exacte de A-modules de la forme suivante.
0→M0→M→M00 →0
On suppose enfin que M et M00 sont de type fini et que M00 est plat sur A.
(a) Montrer que l’application canonique I ⊗AM→IM est bijective pour tout A-
module plat M.
(b) En déduire qu’on a une suite exacte courte de A-modules de la forme
0→IM0→IM →IM00 →0
(c) Montrer qu’on a une suite exacte courte canonique
0→A/I ⊗AM0→A/I ⊗AM→A/I ⊗AM00 →0.
(d) Montrer que l’application M →M00 est bijective si et seulement si l’application
induite A/I ⊗AM→A/I ⊗AM00 est bijective.
On rappelle que pour un anneau A et un idéal premier p⊂A, on note κ(p) le corps
résiduel de p(c’est-à-dire le quotient de Appar son idéal maximal).
Exercice 3. Soit A un anneau commutatif unitaire noethérien, et u: M →N un
morphisme de A-modules. On suppose que M et N sont de type fini.
(a) Montrer que uest surjectif si et seulement si le morphisme induit
κ(p)⊗AM→κ(p)⊗AN
est surjectif pour tout idéal premier pde A.
(b) On suppose en outre que N est plat. Montrer que uest bijectif si et seulement
si le morphisme induit
κ(p)⊗AM→κ(p)⊗AN
est bijectif pour tout idéal premier pde A.
Définition. Soit A un anneau commutatif unitaire. Un A-module M est dit locale-
ment libre si, pour tout idéal premier p⊂A, le Ap-module Mp=Ap⊗AM est libre de
rang fini.
Exercice 4. Soit A un anneau noethérien.

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(a) Montrer qu’un A-module de type fini M est localement libre si et seulement
s’il est plat 1.
(b) Soient M0,MetM00 trois A-modules plats et de type fini. Montrer qu’un dia-
gramme de A-modules
0→M0→M→M00 →0
est une suite exacte courte si et seulement si, pour tout idéal premier p⊂A, le
diagramme induit
0→κ(p)⊗AM0→κ(p)⊗AM→κ(p)⊗AM00 →0
est une suite exacte courte de κ(p)-espaces vectoriels.
Indications. Méditer sur les trois exercices précédents.
Exercice 5. Soit A un anneau et M un A-module localement libre. Montrer qu’il
existe des éléments f1,...,fn∈A, n≥1, de sorte que (f1,...,fn)=A et que Mfisoit un
Afi-module libre de type fini pour tout i, 1 ≤i≤n.
Exercice 6. Soit A un anneau noethérien et S ⊂A un système multiplicatif. On
considère un A-module de type fini M et un A-module quelconque N. Montrer que
l’application canonique
S−1HomA(M,N) →HomS−1A(S−1M,S−1N)
est bijective.
Indications. Prouver d’abord le cas où M est libre de rang fini. Considérer ensuite la
classe Cdes A-modules M tels que cette application soit bijective pour tout A-module
N. Montrer que pour toute suite exacte à droite de la forme
M0→M→M00 →0
si M0et M sont dans C, alors M00 est dans C. Conclure.
Exercice 7. Soit A un anneau noethérien.
(a) Montrer que si M et N sont deux A-modules localement libres, alors il en est
de même de HomA(M,N).
Indications. Considérer tout d’abord le cas où M et N sont libres de rang fini.
Utiliser ensuite les exercices 4 et 6 pour en déduire le cas général.
(b) Montrer que si M et N sont deux A-modules localement libres, alors M ⊗AN
est localement libre (on pourra encore une fois considérer le cas où M et N sont
des A-modules libres de type fini, puis en déduire le cas général).
(c) Montrer que si M et N sont deux A-modules localement libres, alors on a un
isomorphisme canonique de A-modules
M∧⊗AN'HomA(M,N) (où M∧=HomA(M,A)).
Exercice 8. Soit A un anneau noethérien. Montrer qu’un A-module de type fini est
localement libre si et seulement s’il est projectif.
Indications. Soit M un A-module de type fini. Dire que M est projectif équivaut à dire
que, pour toute application A-linéaire surjective N →P, l’application induite
HomA(M,N) →HomA(M,P)
est surjective. On peut alors utiliser encore une fois les exercices 4 et 6 pour se
ramener au cas où A est un anneau local.
1. Cette caractérisation des modules localement libres reste essentiellement vraie pour des anneaux
non nécéssairement noethérien, mais il faut alors pour M une condition de finitude plus restrictive.