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(a) Montrer qu’un A-module de type fini M est localement libre si et seulement
s’il est plat 1.
(b) Soient M0,MetM00 trois A-modules plats et de type fini. Montrer qu’un dia-
gramme de A-modules
0→M0→M→M00 →0
est une suite exacte courte si et seulement si, pour tout idéal premier p⊂A, le
diagramme induit
0→κ(p)⊗AM0→κ(p)⊗AM→κ(p)⊗AM00 →0
est une suite exacte courte de κ(p)-espaces vectoriels.
Indications. Méditer sur les trois exercices précédents.
Exercice 5. Soit A un anneau et M un A-module localement libre. Montrer qu’il
existe des éléments f1,...,fn∈A, n≥1, de sorte que (f1,...,fn)=A et que Mfisoit un
Afi-module libre de type fini pour tout i, 1 ≤i≤n.
Exercice 6. Soit A un anneau noethérien et S ⊂A un système multiplicatif. On
considère un A-module de type fini M et un A-module quelconque N. Montrer que
l’application canonique
S−1HomA(M,N) →HomS−1A(S−1M,S−1N)
est bijective.
Indications. Prouver d’abord le cas où M est libre de rang fini. Considérer ensuite la
classe Cdes A-modules M tels que cette application soit bijective pour tout A-module
N. Montrer que pour toute suite exacte à droite de la forme
M0→M→M00 →0
si M0et M sont dans C, alors M00 est dans C. Conclure.
Exercice 7. Soit A un anneau noethérien.
(a) Montrer que si M et N sont deux A-modules localement libres, alors il en est
de même de HomA(M,N).
Indications. Considérer tout d’abord le cas où M et N sont libres de rang fini.
Utiliser ensuite les exercices 4 et 6 pour en déduire le cas général.
(b) Montrer que si M et N sont deux A-modules localement libres, alors M ⊗AN
est localement libre (on pourra encore une fois considérer le cas où M et N sont
des A-modules libres de type fini, puis en déduire le cas général).
(c) Montrer que si M et N sont deux A-modules localement libres, alors on a un
isomorphisme canonique de A-modules
M∧⊗AN'HomA(M,N) (où M∧=HomA(M,A)).
Exercice 8. Soit A un anneau noethérien. Montrer qu’un A-module de type fini est
localement libre si et seulement s’il est projectif.
Indications. Soit M un A-module de type fini. Dire que M est projectif équivaut à dire
que, pour toute application A-linéaire surjective N →P, l’application induite
HomA(M,N) →HomA(M,P)
est surjective. On peut alors utiliser encore une fois les exercices 4 et 6 pour se
ramener au cas où A est un anneau local.
1. Cette caractérisation des modules localement libres reste essentiellement vraie pour des anneaux
non nécéssairement noethérien, mais il faut alors pour M une condition de finitude plus restrictive.