Projet expérimental de Physique Statistique AIMANTATION

Master de Physique Fondamentale
Université Paris Sud
Projet expérimental de Physique Statistique
AIMANTATION
Les domaines de Weiss d’un matériau Les zones magnétiques polarisées (bit 0
ferromagnétique observés en microscopie ou 1) à la surface d’un disque dur
à effet Kerr.
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Université Paris Sud 11
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Projet expérimental de Physique Statistique
AIMANTATION
1 Description du projet
1.1 Objectifs
Ce TP constitue une approche expérimentale des concepts fondamentaux du magnétisme ainsi que des
transitions de phase par l’étude détaillée de la transition paramagnétique-ferromagnétique du Gadolinium et
permet de s’initier aux méthodes classiques de magnétométrie.
L’expérience consiste à étudier l’aimantation d’un corps en fonction de sa température. L’analyse des variations
de l’aimantation permet ensuite d’extraire des grandeurs caractéristiques du matériau telles que la température de
Curie, la constante de champ moléculaire, le facteur de Landé, etc.
1.2 Mode de travail
Au cours des journées préparatoires réparties sur le premier semestre, un cahier de TP permet à chaque binôme
de retracer la mise au point de l'expérience, y compris la recherche bibliographique sur le sujet. Le cahier doit
refléter la progression du travail du binôme. C'est un outil de travail, et en aucune façon il ne doit être considéré
comme une œuvre d'art !
Avant le début des séances du second semestre, chaque binômes rendra une étude bibliographique sur
l’expérience à mener. On pourra s’inspirer du chapitre 5 de ce polycopié pour rédiger cette étude.
Les mesures proprement dites sont également consignées dans le cahier de TP au fur et à mesure de leur
déroulement, ainsi que les algorithmes de traitement employés et les résultats obtenus. Le but de ce cahier est de
vous permettre de vous retrouver dans vos différentes mesures : dans quelles conditions les mesures ont-elles été
faites, avec quelle méthode, etc. A la fin du dernier jour de cette période groupée, chaque binôme rédige un
compte-rendu écrit du TP (trois copies doubles maximum, figures non comprises), dans lequel il présente
l'expérience, décrit le montage et les algorithmes de prise de données et de traitement, puis fournit les grandeurs
caractéristiques extraites des données expérimentales.
Une journée supplémentaire est ensuite consacrée aux présentations orales des projets de chaque groupe.
L'exposé d'un binôme ne doit pas dépasser 20 minutes, suivies d'une discussion d'une dizaine de minutes portant
sur les divers aspects du projet (bibliographie, montage, analyse, etc.).
Le compte-rendu et le cahier seront remis aux enseignants le jour de l'exposé oral.
Remarques
• Il est vivement conseillé de garder trace du numéro de PC sur lequel vous travaillez. Cela peut permettre de
récupérer vos fichiers en cas d'erreur du système de sauvegarde. De plus, effectuez régulièrement des
sauvegardes sur l'ordinateur PC30 (via le réseau).
• Il est formellement interdit de copier les programmes sur disquette
• La communication entre binômes est encouragée, mais ne doit pas aller jusqu'au pompage optique.
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2 Théorie simplifiée de l’aimantation
2.1 Définitions et relations
Les équations de Maxwell décrivent le comportement des champs électriques et magnétiques dans le vide. Le
comportement de ces champs dans la matière est plus délicat à modéliser, de part la densité de particules
chargées présentes (électrons et protons). Microscopiquement, il faut employer la théorie quantique pour décrire
les diverses interactions et expliquer l’origine des moments magnétiques dans la matière. Macroscopiquement,
une description phénoménologique est possible : dans le cas du champ électrique, cela passe par l’introduction
du vecteur polarisation P ; dans le cas du champ magnétique, cela passe par l’introduction du vecteur
aimantation M.
On définit l’aimantation M (A/m) d’un corps comme le moment magnétique (A.m2) par unité de volume présent
dans la matière. Cette aimantation va participer au champ magnétique total ; la matière magnétique agit sur ellemême ! On définit ainsi le champ magnétique total B (T) par B = µ 0(H + M), où H (A/m) est l’excitation
magnétique ; µ 0M est la contribution du magnétisme de la matière au champ magnétique, µ 0H représente les
autres contributions (par exemple, dans le cadre de ce TP, le champ créé par l’aimant permanent).
Note : attention, nous travaillons ici en unités SI. Ces quantités sont définies différemment dans d’autres
systèmes d’unités, dont le plus connu est le système cgs : vous pouvez donc trouver des formules différentes
dans des livres, à vous de faire attention au système utilisé.
On définit également la susceptibilité magnétique χ par la relation suivante: M = χH. Cette relation n’a de sens
que dans la mesure où M est directement proportionnel à H. On parle alors de milieu linéaire. Ce n’est pas
toujours le cas, notamment dans le cas du ferromagnétisme, qui sera étudié dans ce TP, où une aimantation
spontanée peut apparaître en l’absence de champ appliqué.
Note : Plusieurs effets sont négligés ici : l’influence de la forme de l’échantillon (facteur de forme), une
éventuelle anisotropie du matériau (χ devient alors un tenseur), les effets non-linéaires (source de l’optique nonlinéaire dans le cas de la susceptibilité de polarisation par exemple).
Ainsi, dans ce cas, le champ total dans la matière vaut :
B = µ 0(H + M) = µ 0(1 + χ)H = µ 0µ rH , où µr = 1+χ est la perméabilité relative du milieu et µ0 la perméabilité du
vide.
2.2 Classification des matériaux
Le comportement des corps dans un champ magnétique permet de les classer en deux catégories : les corps qui
présentent un ordre magnétique en dessous d’une certaine température et les corps qui ne s’ordonnent pas.
2.2.1
2.2.1.1
Matériaux sans ordre magnétique
Matériaux diamagnétiques
L’intensité d’aimantation est antiparallèle au champ et est très faible. La susceptibilité magnétique χ est négative
et de l’ordre de 10-5 à 10-6 en valeur absolue à l’exception notable des supraconducteurs qui sont de parfaits
diamagnétiques (χ=-1). Tous les matériaux sont à un certain degré diamagnétiques en raison de la réponse des
électrons orbitaux à un champ magnétique qui est de type diamagnétique.
Exemples :
Silicium, or, halogènes alcalins…
2.2.1.2
Matériaux paramagnétiques
L’intensité d’aimantation est parallèle au champ et faible. La susceptibilité magnétique χ est positive et de
l’ordre de 10-4 à 10-5.
Exemples :
Sels de manganèse, de cobalt, de fer-oxygène.
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2.2.2
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Ordres magnétiques
2.2.2.1
Matériaux ferromagnétiques
Au-dessous d’une température critique (dite température de Curie TC), les porteurs de moment magnétique sont
parallèles dans de grandes régions du matériau (appelées domaines de Weiss). L’intensité d’aimantation peut
être très élevée, mais n’est pas une fonction linéaire du champ ; elle tend vers une limite MS. Cette intensité
d’aimantation à saturation MS varie avec la température et s’annule au dessus de TC. On notera qu’au-dessus de
leur température critique ces matériaux présentent un régime linéaire paramagnétique comme en décrit en
2.2.1.2.
Exemples :
Fer (Fe), Cobalt (Co), Nickel (Ni), Gadolinium (Gd)
2.2.2.2
Matériaux anti-ferromagnétiques
En deçà d’une certaine température (dite température de Néel TN), les spins sont antiparallèles et l’intensité
d’aimantation MS à saturation est nulle. La susceptibilité magnétique χ est positive, sensiblement constante au
dessous de la température de Néel et, comme dans le cas ferromagnétique, elle est de type paramagnétique audessus de TN.
2.2.2.3
Autres structures magnétiques
Il existe d’autres types de structures magnétiques plus complexes : les matériaux ferri-magnétiques
(superposition d’un ferromagnétique et d’un anti-ferromagnétique), les matériaux hélimagnétiques (les porteurs
de moments sont disposés selon des hélices), etc. Ces dernières années, la recherche dans le domaine du
magnétisme s’est orientée vers des états encore plus exotiques en jouant sur la nature des couplages
microscopiques entre moments pour obtenir des verres, glaces ou encore liquides de spins, analogues
magnétiques des états de la matière.
2.3 Le paramagnétisme
Un composé paramagnétique développe, en présence d’une excitation magnétique H, une aimantation qui lui est
proportionnelle et qui est orienté dans le même sens . Le champ magnétique total s’écrit donc B = µ 0(1+χ)H,
avec χ positif. La façon classique de décrire le paramagnétisme est de considérer le matériau comme un
ensemble de dipôles magnétiques identiques µ, sans interaction entre eux. Soit N le nombre de dipôles par unité
de volume, on a alors M = N<µ>, où <µ> représente la moyenne de µ selon toutes les directions de l’espace.
Note : Formellement M est une grandeur locale, qui décrit l’aimantation en un point de l’espace. On est donc ici
dans une échelle intermédiaire, où l’aimantation est locale par rapport à la taille de l’échantillon
(macroscopique), mais représente une valeur moyenne par rapport à la distance entre les dipôles (typiquement
une distance inter atomique) : à l’échelle où l’on travaille, le matériau est supposé continu et les détails
atomiques ne sont pas discernables.
En absence de champ magnétique, les dipôles sont orientés de façon aléatoire puisqu’il n’y a aucune interaction :
l’aimantation moyenne M est donc nulle.
L’énergie magnétique d’un dipôle en présence d’un champ magnétique est E = -µ.B = -µBcosϕ , où ϕ est l’angle
entre µ et B. Le champ magnétique va donc avoir pour effet de favoriser la direction ϕ = 0 pour chacun des
dipôles. La température en revanche va favoriser une distribution aléatoire et va être en compétition avec
l’alignement des dipôles. La distribution de l’orientation des dipôles va donc être statistique et suivre la
distribution de Boltzmann. Il va en résulter une aimantation M non nulle, qui aura la même direction que B (par
symétrie) et l’amplitude M de la composante de l’aimantation suivant B, est donnée par :
M = N ( ∫ µ cos(ϕ )e − E / k BT dΩ) /( ∫ e − E / k B T dΩ) ,
où µcosϕ représente la composante d’un dipôle selon la direction de B, et dΩ l’angle solide élémentaire. La
résolution de ces intégrales donne :
M = NµL(y), avec y = µB/kBT et où L(y) est la fonction de Langevin définie par L(y)=coth y – 1/y (voir figure).
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Si l’énergie magnétique domine l’énergie thermique (µB >> kBT), alors les dipôles sont alignés et l’aimantation
sature M = Ms = Nµ.
Pour de petits y, le développement limité de la fonction de Langevin donne L(y) = y/3 + o(y3). Dans ces
conditions (c’est-à-dire pour µB < kT), on obtient :
M = Nµ 2B/3kBT .
L’aimantation diminue quand la température augmente, à cause de l’augmentation de l’agitation thermique.
L’aimantation augmente quand le champ magnétique augmente, car cela favorise l’alignement.
Dans ces conditions (y << 1), l’aimantation est petite devant H, et donc B ~ µ 0H. On peut alors calculer la
susceptibilité
χ = M/H ~ µ 0M/B = µ 0Nµ 2/3kBT .
C’est la loi de Curie, que l’on écrit χ= CCurie/T, où CCurie est la constante de Curie.
Dans cette approche, nous avons considéré que les dipôles magnétiques pouvaient prendre n’importe quelle
orientation dans l’espace (approche classique). Un traitement quantique des dipôles va restreindre cette
hypothèse puisque la projection du moment angulaire d’un atome dans une direction est quantifiée. Le moment
angulaire total est décrit par le nombre quantique J. On a la relation J = L+S, ou L décrit le magnétisme orbital et
S le magnétisme de spin. L’état fondamental d’un atome est obtenu par la règle de Hund : on forme l’état S
maximum compatible avec le principe d’exclusion et à l’intérieur de cet état on forme la combinaison de L
maximale. La valeur du moment angulaire total est |L-S| quand la couche électronique externe est moins qu’à
moitié pleine, et L+S quand elle est plus qu’à moitié pleine. Quand elle est exactement à moitié pleine, on a L = 0
et J = S.
En continuant de négliger les interactions entre dipôles, mais en tenant compte des restrictions quantiques sur le
moment magnétique des dipôles, on obtient :
χ = C/T, avec C = Nµ 0µ eff2/3kB
µ eff est le moment effectif, il va dépendre des nombres quantiques J, L et S. On introduit µB = eh le magnéton
2me
S(S +1)−L(L+1)
-24
2
3
de Bohr (µB = 9,27 10 A.m ), et g le facteur de Landé : g = +
. On a alors :
2
2J(J +1)
µeff = µB g J(J +1) . On a g = 1 si le magnétisme est purement orbital, et g = 2 s’il est purement intrinsèque.
2.4 Le ferromagnétisme
Jusqu’à présent, nous avons négligé les interactions entre dipôles. Dans cette hypothèse, il est impossible
d’expliquer l’apparition d’un ordre magnétique (ferromagnétique, antiferromagnétique, ou plus compliqué).
Dans un solide, les interactions entre les moments magnétiques µi et µj des ions i et j peuvent se traduire par un
potentiel V(µi, µj, rij) où rij est la distance les séparant. Le problème est a priori extrêmement complexe. Une
hypothèse simplificatrice (hypothèse du champ moléculaire – théorie de Weiss) consiste à écrire le champ
efficace agissant sur un porteur de moment µi sous la forme :
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Beff =B + Bm avec B m = n M
où B est le champ extérieur, Bm le champ moléculaire, M l’aimantation moyenne et n la constante de champ
moléculaire. Bm est supposé proportionnel à M, puisqu’il traduit l’effet des moments environnants sur le
moment considéré : on fait ici une hypothèse dite de « champ moyen ».
Cette hypothèse va permettre d’expliquer l’apparition du ferromagnétisme. Dans le cadre d’une approche
classique, le champ moléculaire Bm est purement phénoménologique (« tout se passe comme si »). Seule
l’approche quantique, à partir de l’hamiltonien de Heisenberg, permet de justifier ce champ : les interactions
entre dipôles sont alors décrites par l’énergie d’échange (selon le signe de cette énergie, l’ordre magnétique
résultant sera ferro ou antiferro).
Dans le cadre de l’hypothèse de champ moléculaire, on peut reprendre l’approche classique développée lors du
paragraphe précédent, en remplaçant B par Beff.
Regardons d’abord ce qui ce passe en absence de champ magnétique extérieur (B = 0). On obtient alors M/Ms =
L(y), avec y = µnM/kBT. Il n’est pas possible d’isoler facilement M dans cette équation, mais on peut la résoudre
graphiquement en utilisant y comme variable intermédiaire, comme le montre la figure suivante :
L’aimantation d’équilibre sera donnée par l’intersection entre la courbe M/Ms = L(y) et M/Ms = kBTy/µnMs. Cette
dernière relation est l’équation d’une droite passant par l’origine, dont la pente augmente proportionnellement
avec la température. Il va donc exister une température critique TC au-dessus de laquelle les deux courbes auront
pour seule intersection M = 0. En dessous de TC en revanche, il y aura trois intersections, dont deux avec une
aimantation non nulle et opposée (voir figure). On peut montrer que dans ces conditions la solution M = 0 est
instable : une aimantation spontanée apparaît donc, c’est le ferromagnétisme. Graphiquement, on voit que cette
aimantation spontanée va augmenter quand la température décroît, jusqu’à atteindre la saturation. La température
critique vaut TC = Nnµ 2/3kB .
Si on applique un champ magnétique B, on a alors M/Ms = L(y), avec y = µ(B+nM)/kBT. La solution graphique
est présentée sur la figure suivante :
La loi que suit l’aimantation devient complexe, mais le régime à haute température peut se simplifier. Si on
suppose que l’on applique un petit champ magnétique B à une température supérieure à TC telle que
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l’aimantation résultante soit petite (c’est-à-dire y < 1). On peut alors faire le développement limité de la fonction
de Langevin, et on obtient :
M/Ms ~ µ(B+nM)/3kBT = (TC/nMs)(B+nM)/T
De cette relation, on montre que le rapport M/B ne dépend pas de B : on peut donc définir la susceptibilité
magnétique :
χ = M/H ~µ 0M/B = C / (T-TC) avec C = µ 0TC/n .
C’est la loi de Curie-Weiss.
Si la température est supérieure à TC, un corps ferromagnétique aura donc un comportement paramagnétique. Si
au contraire la température est inférieure à TC, le corps aura une aimantation non nulle lorsque le champ extérieur
sera nul.
Ce modèle de Weiss décrit bien les comportements expérimentaux des ferromagnétiques. Mais les valeurs de
champs moléculaires obtenues (1000 T pour le fer, par exemple) sont trop élevées pour représenter un champ
magnétique réel : pour décrire correctement ces phénomènes, il faut utiliser le formalisme de la physique
quantique et modéliser les interactions entre dipôles par l’énergie d’échange. Qualitativement, on obtient
alors les mêmes résultats, c’est-à-dire l’existence d’une température de Curie TC, en dessous de laquelle une
aimantation spontanée apparaît. Au-dessus de TC, l’aimantation suit une loi paramagnétique et la susceptibilité
peut également s’écrire :
χ= C
T −Tc
avec
C = N
µeff2 µ0
3k B
et TC = nC/ µ 0
2.5 Transition ferromagnétisme / paramagnétisme
La détermination expérimentale de la température de Curie est assez délicate, la transition ferromagnétique /
paramagnétique n’étant pas aussi brusque que le prévoit la théorie. On peut montrer qu’il existe une température
de Curie ferromagnétique et une température de Curie expérimentale « paramagnétique ». Dans la zone de
transition, le matériau garde le souvenir de son état ferromagnétique.
3 Montage expérimental
Lorsqu'on place un aimant au dessus d'un supraconducteur, celui-ci peut léviter dans certaines conditions. On
observe de plus qu'il est en général stable. Cette lévitation et la stabilité mettent en jeux des forces que l'on se
propose de mesurer et de comprendre dans ce TP.
1. La force magnétique
Un échantillon possédant un moment magnétique M, en présence d’un champ magnétique, va subir une force
magnétique F. C’est cette force qui, par exemple, maintient les magnets sur les portes des frigos.
Cette force s'écrit :
r
r
F = V M grad B ,
ou, si on projette sur un axe,
∂B z
Fz = V M
,
∂z
r
où V est le volume de l'échantillon supraconducteur, et B le champ magnétique. Mesurer la force magnétique
permet donc de mesure l’aimantation.
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2. Montage expérimental
Le montage est représenté sur la figure ci-contre :
azote liquide
bras de hauteur
réglable
délivrant une tension
électrique
proportionnelle à sa
hauteur
échantillon
aimant
NdFeB
balance
L’échantillon peut éventuellement être refroidi par de l'azote liquide afin de varier la température. L'aimant est
placé au-dessus d'une balance. La force exercée par l’échantillon sur l'aimant est donc mesurée via le poids
exercé sur la balance.
L'azote : Il est impératif de demander l’autorisation à l’enseignant avant toute manipulation impliquant
l’azote liquide. Ne prenez pas d’initiative à ce sujet !
La balance : ne jamais approcher d'aimant trop près du plateau de la balance. Choisir la balance adaptée à votre
mesure (deux balances disponibles). On vous fournir l'interface de dialogue avec labview.
Différents échantillons vous sont proposés, ayant tous des comportements différents.
4 Nature du travail à effectuer
Différents échantillons vous sont proposés, de natures différentes.
Testez qualitativement l’amplitude et le signe des forces pour prendre un peu en main l’expérience.
Réalisez un programme pour mesurer le poids exercé sur la balance (le sous-programme de dialogue avec la
balance sera fourni) en fonction de la hauteur du supraconducteur (lu grâce à une tension continue liée au
déplacement du bras réglable). Dans ce programme, on doit pouvoir suivre en direct les variations de hauteur et
de poids et choisir par action sur un bouton quand on souhaite sauver un point de mesure dans un fichier.
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Mesure de l'effet de l'aimant : mesurez le champ magnétique (en réalité "l'induction" en Gauss ou en Tesla) créé
par l'aimant en fonction de la hauteur au dessus de l'aimant grâce à une sonde Hall. En déduire un ajustement
phénoménologique permettant de déterminer le champ magnétique si on connaît l'altitude. Introduire dans votre
programme cette conversion hauteur-champ magnétique.
Analysez qualitativement puis quantitativement les différents échantillons qui vous sont proposés.
5 Travail bibliographique
Pour le travail bibliographique on pourra par exemple traiter l’un des thèmes suivants :
- traitement quantique du paramagnétisme, loi de Brillouin ;
- cycle d’hystérésis d’un ferromagnétique, application à l’enregistrement magnétique ;
- les différents types de comportement magnétique ;
- les interactions entre moments magnétiques à l’échelle microscopique ;
- magnétisme non conventionnel : les verres de spin.
Quelques ouvrages de référence pour vous aider :
- C. Kittel,”Physique de l’état solide”, Dunod Université
- Ashcroft/Mermin,”Solid state physics”, S+aunders college publishing
E. du Trémolet de Lacheisserie, “Magnétisme I et II”, collection Grenoble Sciences
- S. Blundell, “Magnetism in Condensed Matter”, Oxford Press
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