l P

Analogies internes â l'électromagnétJsme
-_._-_.. _ - - - - - - lement dans les milieux matériels S 1- l'on cons idère que Pq et J
représentent des densités totales, intégrant les densités de pala-
ILANALOGIES INTERNES A L'ELECTROtY\AGNETISt·:E
risation et d'aimantation. On sait que CL:':' èCILièrc:..:.
champ de polarisation ~(M,t)
On se propose ici de mettre en lumière un certain nombre d'analo-
triques)
et au champ d'aimantation Â(M,t)
gies existant au sein même de l'électromagnétisme, le choix propo-
moments magnét i ques ).
sé étant loin d'être exhaustif. Pour mieux saisir l'essence de ces
de ces aspects dans ce qui suit.
analogies,
les équations de Maxwell (James-Clerk, 1831-1879), celles-ci étant
admises au titre de postulats. C'est une démarche en partie analogue
à
celle
suivie
par
Heinrich
Hertz
(1857-1894)
en
1890
dans
"Equations
fonda-
mentales de l'électrodynamique pour des corps au repos" et
"Equa-
deux mémoires célèbres et devenus classiques
tions fondamentales de l'électrodynamique pour des corps en mouvement".
On a
cODpte
écr i t
les
équat i ons
de
les équations
sont
les
encore
(1) et
équations
(II) ne font pas
intrinsèques
premier groupe
que
en
séparant
les
termes
de
des
du
intervenir les sources: ce
champ
équations
de
électromagnétique
Max'<lell,
la
(1 l 1)
et
(ou
la
(IV) en constituant le deuxième groupe).
Telles quelles, ce sont des équations locales et surtout ce sont
théorème
c'est là que trouve son origine le fa-
de superposition
électrocinétique.
1.1) Enoncé
admettra
Max'<le Il
champs générés des termes de sources. On constate par ailleurs que
meux
Ce
théorème
dont
de
on
connai t
superposition
l'importance
permet
en
également
d'utiliser toutes les ressources de l'analyse de Fourier et donc
l'ensemble
des
propriétés
électromagnétiques
de
l'espace sont traduites par les champs suivants
-
élec-
(densité volumique de
Nous n'a ur ons cependant pas à ten i r
des équations linéaires
1/ EQUATIONS DE MAXWELL
On
/-
il convient toutefois de construire l'électromagnétisme
partir de ce qui constitue ses équations fondamentales, à savoir
à
~':'t);;~.
(densité volumique de moments
les champs sources au nombre de deux,
scalaire densité d'électr!cité Pq(M,t)
de
privilégier
l'étude des
champs
harmoniques
en
particulier
et
plus généralement les ondes dites planes.
à savoir
le
champ
et le champ vectoriel
1.2) Equations intégrées
densité de courant J(M,t) ;
1.2.a) Conservation du flux magnétique
les champs générés, également au nombre de deux,
à savoir
En appliquant le théorème d'Ostrogradski à l'équation (1) on a
le champ électrique E(M,t) et le champ magnétique B(M,t).
Etant admise
l'existence de ces champs,
leur
interdépendance est
traduite par le truchement des équations suivantes :
(l )
èiv(B)
(l l )
rat(E)
&
o
magnétique entrant dans le tube est égal
aB
P 1&
q
rat (B) -
désignant la permittivité
au
flux magnétique sor-
tant.
+ at
( III)
( IV)
Autrement dit, en considérant un tube de champ magnétique, le flux
0
Bien que l'équation (1) ressemble à l'équation (III), ellp traduit
0
c -zaE = J..I.
ât
0
une
J
élec~rique
du vide, J..I. o la perméabili
té magnétique du vide et c la célérité de la lumière dans le vide,
ces trois constantes étant liées par la relation :
z
&oJ.loC
différence
fondamentale
celui de l'électricité
aux sources
électriques,
entre
le
il
n'existe
magnétiques macroscopiques et
du
magnétisme
et
pas de sources monopolaires
formalise
vieille expérience des aimants brisés
1
domaine
elle traduit en effet que, contrairement
en quelque sorte la très
(on ne peut séparer les deux
pôles d'un aimant).
Telles qu'elles sont données, ces équations sont applicables éga-
._~~-----------
stage Analogies En Physique
-~--
Page 1
stage Analogies en Physique
Page 2
Analogjes internes
1
~
'élpctromagn~tj5mc
I.2.b) Théorème de Faraday-Hertz
La forme de l'équation (II) incline à
et à utiliser le théorème de Stokes :
.
-Jj"ôt'
'!."". dYu
~
··itJ...,~·d.)'Un
·it - j j"rol(É) .oJ
7
"
une surface
C'est
la
loi
trouvée
empiriquement
et formaI isée par Hertz,
électromotrice e
l'opposé
du
induite le
taux
de
1
'élpctromagn~tj5mc
.. "")~
n
égal
à
+c 4~t
une raison que nous verrons plus
pour
loin.
On
remarquera au passage qu'en absence de courant, la quatrième équation est alors symétrique, voire analogue à l'équation de Faraday-
par
Faraday
stipulant que
temporelle
(Michaël,
la mal
long d'un contour
variation
~
le théorème d'Ampèze est à la ma~nétnstatiSl1e rn qUf: le
contour
théorème de Gauss est à l'électrostatique.
C'est Maxwell qui a introduit le terme de courant dit de déplacement
~=- -~tJ
soit:
1867)
l'intégrer sur
Analogjes internes
nommée
fermé
du
flux
est
1791-
Hertz
force
fermé
toute variation du
flux
électrique à
travers
un
contour
induira le long de ce contour une circulation de champ ma-
égale
à
gnétique non nulle (force magnéto-motrice induite). L'existence du
magnétique
à
facteur
travers ce contour, le signe "_" traduisant la loi d'inertie élec-
c- z
nécessite
que
les
variations
~(M,t)
de
soient
très
rapides pour que l'effet soit observable.
tromagnétique de Lentz.
11/ CONSEQUENCES IMMEDIATES DES EQUATIONS DE MAXWELL
l.2.ci Théorème de Gauss
La forme de l'équation (III)
II.1) Conservation de l'électricité
incline à
l'intégrer sur un volume,
ce qui donne par application du théorème d'Ostrogradski
~f
e0
oU
pdT
=
q
~lq·
&0
=
f
.. n t . u
div(~)dT
1 !I>j"~.dj"i!n =
\q
L
Lnl
représentant
les
charges
à
!I> ~.dj"~
y
1777-1855)
stipulant
que
et appliquons
div(rot[Bl) - C-ZdiV(:) = -c
~2q;.n,
En
utilisant
l'équation
(III)
et
du
volume
flux
du
champ
'Y
l imi té
l'opérateur diver-
électrique
à
conservation de
ges se trouvant à l'intérieur
Sous forme intégrée, on aura donc
cette surface.
l'électricité de
~:;
l.2.di Théorème d'Ampère-Maxwell
.
:t
.,.
Ft;dlV(l!;)
=
relation
entre
ilodiv(J)
les
coeffi-
:y]
On trouve ici une équation de continuité traduisant le principe de
travers une surface fermée est proportionnel à la somme des chard~
lui
il vient
~q
1 div(!) +
(Carl Frie-
-zô
la
cients électromagnétiques du vide,
l' intér ieur
le
(IV)
gence :
n
par la surface fermée j" : c'est le théorème de Gauss
drich,
Considérons l'équation
Œ:;) + Œf)
D
Franklin
=
l
+
M
(Benjamin,
Œf) .
1706-1790).
= 0
En d'autres termes, toute variation locale de charge électrique à
Considérons enfin la quatrième équation en supposant que le champ
l'intérieur d'une surface de contrôle se traduira par l'apparition
électrique ne varie pas trop vite,
d'un courant électrique traversant cette surface de contrôle.
terme c
ce qui
-2â~
ôt (régime quasi-stationnaire).
intégrer sur
permet de
négliger
le
La forme obtenue incite
une surface et à utiliser le théorème de
Stokes,
~
Cf'
C'est là l'une des origines de
rant
qui donne :
f j"rot (tl) .dj"u
-,o;t
->
de
déplacement
d'Ampère,
n
mais alors
en
il
tion de l'électricité,
l'introduction par Maxwell du cou-
effet,
fallait
où
l'on
rejeter
acceptait
le
le principe de
théorème
conserva-
ou l'on acceptait ce dernier (et un physi-
cien répugnera toujours a abandonner avec légèreté un principe de
1
C'est le théorème d'Ampère
(André-Marie,
1775-1836)
la circulation du champ magnétique sur un contour
portionnelle à
la somme des
stage Analogies en Physique
intensités électriques
stipulant que
fermé
est
pro-
traversant cc
Page ]
conservation), et il fallait alors modifier le théorème d'Ampère à
l'aide
d'un
terme
nul
en
régime
stationnaire
ou
très
petit
en
régime quasi-stationnaire: c'est ce qu'a fait Maxwell.
stage Analogies en Physique
Page 4
1 'élf'rtromagnptj ,;me
Analogjes internes à
II.2) Existence de vuLentiels
L'équation
vat~±
d(;r~c
et
flux conser-
!
~,.rj~' - n
l ________------l
:
C'est
II
rot(A[M,tl)
un
le potentiel
est
vecteur magnétique.
potentiel n'est pas défini
tion
augmentée
d'un
de
gradient
façon
de
Comme
univoque
champ
on
puisque
scalaire
le voit,
ce
toute solu-
quelconque
sera
aussi solution; cet aspect des choses, a priori gênant (un physicien préfère l'univocité des concepts qu'il
néanmoins
d'ajouter
supplémentaire
ailleurs,
pour
régissant
A(M,t)
les
besoins
ce
de
potentiel
sera souvent
très
introduit),
la
cause
(condition
commode
une
de
rot(~)
lorsque
jauge
A(M)
obéit
Coulomb,
il est régi par une équation de Poisson.
Or
connaissons
nous
solution que
l'on
lectrostatique
la
solution
générale
d'une
peut retrouver aisément
partir
à
d'être
lui-mêm,'
à
la
telle
équation,
en reconstruisant
du champ électr ique
créé
par
de
une
l'é-
charge
ponctuelle dont on trouve l'expression par application du théorème
jauge).
le
Par
Gauss
(potentiel
coulombiens,
coulombien).
En
superposant
des
potentiels
on obtient en effet :
flux
=
l
P (N)dT l
q4rre
-NM
v
0
En utilisant le tableau de correspondance suivant
on obtient:
=~
V(M)
~
+
~A
=
<-----> A(M)
p
q
(N)
l/e o
<-----+ !(N)
li
-~(Vl
V(M,t) est le potentiel scalaire électrique,
l
-NM
lui aussi
non défini
de façon univoque.
PREMIERE
ANALOGIE
EQUATIONS
FONDAMENTALES
EN
(dont la divergence est ici automatiquement nulle
les équations de Maxwell prennent la forme
suivante
la
loi de Diot et Savart
div(E)
=
p
=
-cr
q
le
o
0
/-l
o
d~(Nl
l ~o!(N)dT NM
v
4rr
"NM"
(en fait formalisée
ce
qui
permet
d'étudier
Chacun de ces domaines sont donc
l'un
de
par
deux équations
fondamentales qui peuvent se réduire à une seule si
l'on considère
les potentiels. On a en effet
h.V + pie
q
0
h.A + /-l 0 j
0
= grad(div[All
On constate alors que la magnétostatique n'est
Poisson.
on peut ajouter
une
Mais,
en
pas d'emblée régie
utilisant
la
Laplace).
~
de
tel que
T.dt (distribution linéïque)
indépf'ndamment
régis
par
j(N)dT (distribution volumique)
j
immédiatement que champ électrique pt magnétiguf' sont
par une équation de
=
On peut généraliser cette expression pour toute distribution
non-univocité
condition supplémentaire
pour
qu'il
(distribution surfacique)
= [(NldZ
et on aura
l'autre le rlomaine de l'électrostatique et celui de la magnétosta-
de A(Ml,
~
= rot(A[Mll
courants en introduisant l'élément source d~(Nl
rat(E)
découplés,
jauge), on en déduit le champ magnétique
I1(M)
REGIME
C'est
En régime stationnaire,
On constate
Connaissant A(M)
par contrainte de
STATI ONNAl RE
. tique.
Ainsi,
vecteur
on obtient :
3 V(M,t)1
alors
vecteur.
potentiel
de
Ains i
III/
potentiel
au
et donc d'être dérivable
permettra
pour calculer
+ :tA)
impose
conservatif ...
V(M)
rot(~
+ :trot(A)
flux
condition
de ~(M,t) à travers un contour fermé.
En utilisant alors l'équation (II),
la jauge de Coulomb qui
champ~.
d'un
A(M,t)
l'élf'rtromagnptJsmc
en soit ainsi, et la condition qui s'impose ici est
implique que le champ magnétique est à
(1)
Analog j es internes à
J
d~(N) 1
1-'
A(M)
=
~
0
. __
NM
4rr
IV/ DEUXIEME ANALOGIE:
DIPOLES
Il
ici
n'est
pas
respectivement
dressera
question
au
cependant
dipôle
un
de
et B(M)
refaire
électrique
tableau
et
tous
au
analogique
les
calculs
dipôle
mettant
relati fs
magnétique _ On
en
lumière
le
parallélisme des formules trouvées (ces formules valant lorsque le
------------------stage Analogies en Physique
Page 5
stage Analogies en Physique
Page 6
AnalogJes Jnternes â
l'électromagnétjsme
----------------- ..
point H est loin du dipôle).
r
,,'
Analogies internes à l'électromagnétisme
------------_._---------tout
comme
le
potentiel
dipo1:1ire
électrique, et sûn exi~tenre résulte du f~it que le rotationne' du
champ ~ (M) est nul en absence de courant, Ma is on pourra i t :, ont
/'
,"'"
~
.. -
C'est un potentiel dipolaire,
(." '._+---1
1_______-1.Z
0-
_ _ _ _ _ :::
_
,_ _ _ _5::.
"
,,;L
~/.N
aussi bien alors parler de potentiel vecteur électrique dont l'ex-
--,-,----.z
pression. serait
:
1.
=
(M)
1 .~LaM
,_.
OM 3
l'existence de ce potentiel résultant du fait que la divergence du
..
V(M)
417';;0
champ électrique est alors nulle en absence de charge.
On remarquera que l'analogie se poursuit également lorsque
~(M)
""
~(M)
_graJ(_I_'~'aM)
OMS
4Tl&o
"" '-graJ (
:0
considère les actions
,.M'aM)
Tl
l'on
sur les dipôles:
énergie potentielle dans un champ extérieur
OMS
~
On constate qu'en définitive, champ électrique et champ magnétique
sont formellement analogues,
s'exer~ant
=
p
-t,~
:5
p
-.M,~
=
couple exercé par un champ uniforme
bien qu'usuellement l'un dérive d'un
potentiel scalaire, alors que l'autre dérive d'un potentiel vecetc ...
teur. Cette analogie conduit évidemment à ce que la di str i but i on
des lignes de champ soit strictement identique dans un cas comme
dans l'autre (et on obtiendrait une distribution analogue avec un
doublet hydraul ique, const i tué d'une source et d'un pui ts de même
débit en valeur absolue).
On peut alors légitimement se demander où réside l'origine d'une
analogie aussi forte. Il suffit pour cela d'observer les équations
de
Maxwe Il
rappelons que
les
lorsque le point d'observation
que
sol ut i ons
Mest
données
sont
sources électromagnétiques et dans ce cas,
zone d'espace vide
de
les équations de Max-
~utrement
o
0
dit, l'électrostatique et la magnétostatlque en ahsence
Il
est
que
les
équations
fondamentales
de
la
magnétostatique
le champ
ont
pour
forme :
div(~)
j
=
0
désignant les seuls courants de conduction ;
le champ magnéti-
c.
que
est alors
magnétique
lié
A l'excitation magnétique par
absolue
(dans
le
cas
d'un
Dans le cas des milieux ferromagnétiques,
de charge et de courant sont régies par des équations formellement
,'similaires
peut être utile d'utiliser
il
la perméabilité
et
homogène
milieu
isotrope) :
well ont pour expression
div(~)
CIRCUITS MAGNETIQUES
excitation magnétique ~(M) dans les équations de Maxwell de sorte
va lables
loin du dipôle, c'est-A-dire
l'on cons idère dans les deux cas une
V/ TROISIEME ANALOGIE:
En présence d'un milieu,
donc
normal
que
l'on
obtiennent
les
mêmes
solutions lorsque l'on a éliminé le cas où la charge de la source
de champ électrique est non
nulle
(solution monopolairel.
C'est
pour cela que l'on parle parfois de potentiel scalaire magnétique
Sous forme intégrée, ces équat!ons peuvent s'exprimer de la
que est égal au flux masnétique qui en sort.
_
la circulation de l'excitation magnétique
égale
à
la
somme des
intensités
sur
des
un contour
courants
de
conduction traversant ce contour.
v m (M)
stage Analogies en Physique
fa~on
suivante :
_ le flux magnétique entrant dans un tube de champ magnéti-
fermé est
d'expression:
cette perméahilité peut
dépendre du module de ~ (non linéarités).
-----,----Page 7
Stage Analogies en Physique
Page 8
Analogies internes à l'é1pctromagnétismc
Analogies internes à l'é1pctromagnétismc
------------------------- ... _._---_._-------Considérons alors A titre d'exemple le circuit magnétique repré-
manière suivante :
Nz l z
nentp ri-dessous:
l
-.
---
--_. ------
>
2
1
......
... _
-
LN l
NIT
••
""
o
Cette analogie électrocinétique d'un circuit magnétique présente
de multiples intérêts
-- Tout d'abord, l'expression de la réluctance est formelleCe circuit est constitué d'un entrefer, de deux noyaux de perméabilité Ji. et d'une
respectivement So'
magnétique ~ dans
culasse de
S,
perméabilité Ji 2
chacune des
parties
Nous
•
et S2 la section moyenne
appellerons
offerte
au champ
(et par définition de
la
ment analogue A celle de la résistance d'un conducteur filiforme, la perméabilité jouant ici le rôle de la conductivité.
Ainsi peut-on mieux comprendre la signification de ce terme
perméabilité magnétique
un milieu de
faible
perméabilité
notion de section moyenne, nous supposerons que ~ est uniforme sur
(comme le vide) est de fait peu "perméable" au champ magnéti-
chacune de ces sect ions) et lo' l, et l2 la longueur de
que, c'est-A-dire "résiste" non pas au passage mais A l'éta-
la
ligne
de champ moyenne dans chacune des parties (et nous supposerons que
il
le long de chacune de ces portions,
est constant en module et
tangent A cette ligne de champ moyenne). La première loi fondamenBoSo = B,S, = B2 S 2 = <P
représentant le flux utile A l;intérieur du circuit. La deuxième
loi nous permet d'écrire quant-A-elle
Hl
00
+Hl
11
+Hl
(!_-
li'o
:0
~o
NI
22
En utilisant le fait que B
11.
= ~.H,
+ __ J..i 1
:1
+
1
+NI
22
(en H- 1
)
f.e .m.
localisent
(mécanique,
les
transformations
chimique) en énergie élec-
(forces magnéto-motrices) sont ici locali-
sées et traduisent le passage de l'électrique au magnétique.
-- Dans l'exemple traité,
les réluctances
logues A des résistances
internes de
~1
et
~2
générateurs
sont anaou encore
aux résistances des fils de connection : on aura donc intérêt
+NI
33
A les
~. :2)4> = \N
1-1 2
2
Li
l
L
-- La
L
=
!-~ que l'on
J.I S
l'express i on obtenue
présente
_de fortes similitudes avec la loi dite de Pouillet, bien connue en
électrocinétique. En utilisant le tableau de correspondances suivant :
~
flux magnétique <p
forces électro-motrices E
~
forces magnéto-motrices NI
résistance R
~
réluctance
rendre
les
pl us
perméabi lité
du
pet i tes
vide
poss i bl e
étant
de
~
et
l'ordre
A ut i liser
de
1000
des
fn i s
moins grande que celle des matériaux ferromagnétiques usuels,
à section égale l
mm d'entrefer sera équivalent A environ l m
de matériau. Autrement dit,
toute augmentation de l'entrefer
augmentera considérablement la réluctance du circuit et donc,
A f.m.m.
imposées, diminuera le flux,
donc le champ magnéti-
que dans
l'entrefer.
condu i t
Auss i
sera -t - on
entrefers les plus faibles possibles,
A ménager des
lorsqu' ils sont néces-
saires, afin de ne pas avoir A trop "exciter" le circuit (ce
qui se traduira en particulier par des pertes Joule dans les
on pourra représenter schématiquement le circuit magnétique de la
stage Analogies en Physique
les
matériaux magnétiquement très perméables (fers doux).
et que
intensité électrique
que
on obtient
On constate qu'appraît un coefficient de la forme ~
appe Ile rél uctance
même
d'une forme d'énergie
trique, les f.m.m.
tale de la magnétostatique nous permet alors d'écrire:
4>
blissement de ce champ pour une excitation donnée.
-- De
Page 9
bobinages).
stage Analogies en Physique
Page 10
iJJLl:J:.J1t.'!..
UlllILt..l.L"JJ.L_'
d.
l't.?ll!t:ttOmaqné'rlsme
On peut développer l'analogie précédente en considérant des branrnaqn~tiC]np.r::
c-hps
des
réluctances
f">n
f'aTi111èJc,
étant
du
type
1oi~
lc!>
1901
et
régissant
donc
l'association
analogues
celles
à
régissant les résistances. Plus généralement, on pourrait développer une magnéto-cinétique (comme
la 10 i
des noeuds s' expr i mera i t
il y a une électro-cinétique)
de
la fa<;on sui vante
où
"la somme
des flux magnétiques qui convergent vers un noeud de circuit ma-
gnétique est égale à la somme des
gent".
flux magnétiques qui en diver-
La loi des mailles nécessiterait l'introduction de
tion de
la no-
tension magnétique définie comme étant la circulation de
l'excitation magnétique,
cette
dernière
étant analogue
au
champ
électrique en électricité et on pourrait alors énoncer la loi des
"la somme algébrique des tensions
mailles de la fa<;on suivante
magnétiques
sur
une maille
reconnaître qu'une
est
nulle".
Toutefois,
force
est
de
telle généralisation serait de peu d'intérêt,
les circuits magnétiques étant usuellement de structure simplissime,
ce qui n'est pas le cas des circuits électriques.
bornera-t-on à cette
1790-1868)
loi analogue de
celle de Pouillet
Aussi
se
(Claude,
:
*
stage Analogies en Physique
*
*
Page Il