TD10 Oscillateurs en régime forcé

Signaux physiques
Partie 5 : Comportement dynamique d’un système au voisinage
d’une position d’équilibre. Réponse à une excitation
1TPC
TD 10
Oscillateurs en régime forcé
Exercice 1 Quelques questions pour commencer
1. Qu’appelle-t-on complexe associé à une grandeur sinusoïdale ?
2. Qu’appelle-t-on régime sinusoïdal forcé ou régime harmonique ? Pourquoi la loi des mailles et la
loi des nœuds s’écrivent-elles avec les représentations complexes des grandeurs électriques en
régime sinusoïdal forcé ?
3. Rappeler les expressions des impédances complexes, notées Z, en régime harmonique d’un
conducteur ohmique de résistance R, d’une bobine parfaite d’inductance L et d’un condensateur
parfait de capacité C. Préciser dans chaque cas la relation entre u et i. Que représente arg (Z) ?
Quelle est sa valeur dans chacun des cas précédents ?
4. Comment peut-on remplacer une association série ou parallèle de deux impédances par une
impédance équivalente ? Justifier.
5. Quel est l’intérêt de la notation complexe ? Que devient l’équation différentielle d’un réseau
linéaire en régime sinusoïdal forcé ? Quelle conséquence cela a-t-il sur la façon de résoudre le
réseau ?
6. Donner la représentation spectrale d’un signal sinusoïdal.
Exercice 2 Association de dipôles en série (capacités ……….)
1. Donner l'expression de la tension
complexe u en fonction de Z , Z' et de la
e(t)
tension complexe e (GBF).
Z'
Z
u(t)
u (t)
R
2. On se place en régime sinusoïdal
permanent : e(t) = Emcos(ωt)
i(t)
R
e(t)
L
u (t)
L
2.a. Déterminer l'expression de la tension complexe aux bornes de la bobine uL (t ) en fonction de
R, L, ω, de Em et du temps t (on introduira le nombre complexe j tel que j2 = - 1).
2.b. On pose uL(t) = Umcos(ωt + ϕ).
Déterminer les expressions de Um et ϕ en fonction de Em, R, L et ω.
La tension uL(t) est-elle en avance ou en retard par rapport à e(t) ?
1
3. L'oscillogramme ci-contre représente e(t) et uL(t).
La sensibilité verticale est la même pour les deux voies.
A partir de cet oscillogramme, déterminer:
3.a. la fréquence f du G.B.F.
3.b. les valeurs de Em et Um .
3.c. la valeur de ϕ.
4. Montrer que dans ces conditions Lω = R et en déduire la
valeur du rapport L
R
Sensibilité horizontale: 1ms/carreau
Sensibilité verticale: 2V/carreau
.
Exercice 3 Mesure d’une inductance au pont de Maxwell (capacités ……….)
Une bobine (B) est assimilée à un solénoïde de section S carrée. Elle comporte N spires parcourues par
le même courant I. Sa longueur est l.
1. L’inductance propre de la bobine assimilée à un solénoïde de longueur très grande vaut : L = µ 0
N2
S ; Vérifier l’homogénéité de la relation ; Calculer L.
l
Application Numérique : S = 24 cm2 ; N = 1 000 ; l = 7 cm ; µ 0 = 4 π 10-7 H.m-1
2.a. On propose deux expressions de la résistance r de la bobine en fonction de la section s du fil, de la
l'
ρl '
résistivité du matériau ρ (en Ω.m.) et de la longueur totale de fil appelée l’ : r =
ou r =
. Par une
ρS
S
analyse de l’homogénéité, retrouver laquelle des deux est la bonne expression.
2.b. Calculer l’ en fonction de S. AN.
2.c. En déduire la valeur de r avec s = 0,37 mm2 et ρ = 1,6 10-8 Ω.m.
3. La bobine (B) est placée dans la branche M1M4 d’un pont de mesure (de Maxwell) (représenté cidessous), alimenté par un générateur idéal de tension sinusoïdale e(t), de fréquence f, de f.é.m
d’amplitude E. Les branches M1M2 et M3M4 sont des résistances pures P et Q. Z1 est constituée par la
bobine (B), Z2 est constituée d’une résistance R et d’un condensateur C (réglable) branchés en dérivation.
Z1
M1
Q
M4
M3
D
P
M2
Z2
E
E (t) = E cos (ωt )
Dans la diagonale M2M4, un détecteur (D) d’impédance infinie
mesure la différence de potentiel d’amplitude complexe U =
VM4 - V M2.
3.a. Etablir la condition d’équilibre du pont.
3.b. En déduire les expressions littérales de L et r en fonction des données.
3.c. Application Numérique : le pont est équilibré avec : f = 1 000 Hz ; P = 100 Ω ; Q = 200 Ω ; R = 2 300 Ω ;
C = 2,080 µF. Calculer L et r. Comparer ces résultats expérimentaux aux valeurs théoriques. Commenter.
Exercice 4 Circuit RLC série et résonance (capacités ……….)
On réalise le montage électrique ci-dessous dans lequel l’alimentation est une source de tension
sinusoïdale : e(t) = E 2 cos(ωt).
2
E = 5V ; R = 200 Ω ; C = 100nF ; L = 0,1H et r négligeable.
L,r
C
R
On fait varier la fréquence du signal délivré par le générateur et
on utilise un ampèremètre en position alternative placé en série
dans le circuit. L’ampèremètre donne les résultats expérimentaux
suivants :
e(t)
f (Hz)
50
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Iexp(mA)
0,2
1,6
5,1
21,5
10,0
5,2
3,7
2,8
2,4
1/ Les valeurs Iexp relevées à l’aide de l’ampèremètre en position alternative, sont-elles les valeurs efficaces
ou les amplitudes de l’intensité dans le circuit ?
2/ Tracer le graphe de Iexp en fonction de la fréquence f. Quel est le phénomène observé ?
3/ Donner les expressions des impédances complexes de la bobine, du condensateur et de la résistance.
4/ Etablir l’expression théorique de i(t), expression complexe de i(t) en fonction de R, L, C, ω et de
expression complexe de e(t).
5/ En déduire :
a/ Ith : valeur efficace théorique de l’intensité en fonction de E, R, L, C et ω.
b/ ϕ : déphasage de l’intensité par rapport à e(t) en fonction de R, L, C et ω.
6/ a/ Quelles sont les limites de Ith en basse fréquence et en haute fréquence (quand f → 0 et quand f → ∞
b/ Montrer que Ith passe bien par un maximum pour une fréquence f0 que l’on explicitera en fonction de L et
C. Application numérique.
c/ Quelle est alors la valeur théorique I0th correspondante ? Application numérique.
d/ Ceci est-il en accord avec la courbe expérimentale tracée en 2/ ? Qu’aurait-on du faire pour améliorer la
courbe expérimentale ?
7/ Tracer la courbe théorique ϕ(f) du déphasage de l’intensité par rapport à e(t) en fonction de la fréquence f.
Dans quel cas peut-on dire que le comportement du dipôle est plutôt inductif (effet de la bobine
prépondérant) ou capacitif (effet du condensateur prépondérant) ? Justifier.
8/ L’expression du facteur de qualité (nombre sans dimension) est donné par une des deux relations
1 L
1 C
suivantes : Q =
ou Q =
.
R C
R L
A l’aide d’une analyse dimensionnelle (grâce aux impédances), retrouver la bonne expression de Q. Donner la
valeur numérique de Q dans le cas présent.
9/ On modifie la valeur de R en prenant une résistance R’ = 100Ω. Observera-t-on toujours le même
phénomène qu'en 2/ ?
Exercice 5 Questions pratiques
1. Lors de l’étude du comportement en haute et basse fréquence d’une impédance, on est parfois
conduit à négliger un imaginaire pur devant un réel, ou l’inverse. Justifier la validité de ce calcul.
2. Rechercher les ordres de grandeur des puissances mises en jeu dans un téléphone portable, un néon,
une ampoule, un téléviseur, un four à micro-ondes, un fer à repasser, une machine à laver, une centrale
électrique. Sachant que le prix du kWh est d’environ 0,10 €TTC, estimer le coût horaire d’une télévision
en marche.
3. Comment avec un dipôle RLC alimenté avec un générateur sinusoïdal de 12V, peut-on récupérer 60 V
aux bornes du condensateur (ou de l’inductance) ? Expliquer en quoi ce résultat n’est pas en contradiction
avec la loi d’ohm.
4. Sur quel principe fonctionne le récepteur d’un poste radio ?
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